高等数学(上册)

第1章 函数、极限与连续 1 1.1 集合与函数 1 1.1.1 集合 1 1.1.2 函数 3 习题 1.1 6 1.2 数列的极限 7 1.2.1 数列极限的概念 7 1.2.2 数列极限的性质 9 习题 1.2 10 1.3 函数的极限 11 1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 11 1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 12 1.3.3 单侧极限 14 1.3.4 函数极限的性质 15 习题 1.3 17 1.4 无穷大与无穷小 18 1.4.1 无穷大 18 1.4.2 无穷小 18 1.4.3 无穷小的运算法则 19 习题 1.4 20 1.5 极限的运算法则 21 1.5.1 极限的四则运算法则 21 1.5.2 复合函数的极限运算法则 24 习题 1.5 25 1.6 极限存在准则 两个重要极限 26 1.6.1 极限存在准则 26 1.6.2 两个重要极限 27 习题 1.6 30 1.7 无穷小的比较 31 习题 1.7 34 1.8 函数的连续性与间断点 34 1.8.1 函数的连续性 34 1.8.2 函数的间断点及其分类 36 1.8.3 连续函数的运算 38 习题 1.8 40 1.9 闭区间上连续函数的性质 41 习题 1.9 42 1.10 巩固与提高▲ 43 1.10.1 知识图谱 43 1.10.2 关于极限的若干讨论 44 1.10.3 杂例 51 习题 1.10 52 第2章 导数与微分 56 2.1 函数的导数 56 2.1.1 引例 56 2.1.2 导数的概念 57 2.1.3 导数的几何意义 59 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 60 习题 2.1 61 2.2 函数的求导法则 61 2.2.1 函数的四则运算求导法则 62 2.2.2 反函数的求导法则 63 2.2.3 复合函数的求导法则 64 2.2.4 基本导数公式和求导法则 66 习题 2.2 67 2.3 高阶导数 68 2.3.1 高阶导数的概念 68 2.3.2 高阶导数的运算法则 70 习题 2.3 70 2.4 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 71 2.4.1 隐函数的导数 71 2.4.2 由参数方程所确定函数的导数 72 习题 2.4 74 2.5 函数的微分 74 2.5.1 微分的概念 74 2.5.2 微分的几何意义 76 2.5.3 微分的基本公式和运算法则 77 2.5.4 微分在近似计算中的应用 78 习题 2.5 79 2.6 巩固与提高▲ 80 2.6.1 知识图谱 81 2.6.2 导数定义模型 81 习题 2.6 83 第3章 微分中值定理与导数的应用 85 3.1 微分中值定理 85 3.1.1 罗尔定理 85 3.1.2 拉格朗日中值定理 86 3.1.3 柯西中值定理 89 习题 3.1 90 3.2 泰勒公式 91 习题 3.2 95 3.3 洛必达法则 95 3.3.1 00型未定式 95 3.3.2 ∞∞型未定式 97 3.3.3 其他类型的未定式 98 习题 3.3 100 3.4 函数的单调性、极值与*值 100 3.4.1 函数的单调性 100 3.4.2 函数的极值 102 3.4.3 函数的*值 104 习题 3.4 106 3.5 曲线的凹凸性与函数作图 108 3.5.1 曲线的凹凸性 108 3.5.2 曲线的渐近线与函数作图 110 习题3.5 112 3.6 平面曲线的曲率* 113 3.6.1 弧微分 113 3.6.2 曲率的概念及计算公式 114 3.6.3 曲率圆与曲率半径 115 习题 3.6 116 3.7 导数在经济学中的应用# 116 3.7.1 边际分析 116 3.7.2 弹性分析 118 习题 3.7 120 3.8 巩固与提高▲ 121 3.8.1 知识图谱 121 3.8.2 利用洛必达法则和泰勒公式求极限 122 3.8.3 “逆推法”与微分中值定理的应用 127 3.8.4 不等式的微分证法 129 3.8.5 杂例 132 习题 3.8 135 第4章 不定积分 139 4.1 不定积分的概念与性质 139 4.1.1 原函数与不定积分的概念 139 4.1.2 不定积分的性质 141 4.1.3 基本积分公式 142 习题 4.1 144 4.2 换元积分法 146 4.2.1 **类换元积分法 146 4.2.2 第二类换元积分法 150 习题 4.2 155 4.3 分部积分法 156 习题 4.3 159 4.4 有理函数的不定积分 159 4.4.1 有理函数的不定积分 159 4.4.2 三角函数有理式的不定积分 161 4.4.3 简单无理函数的不定积分 162 习题 4.4 163 4.5 巩固与提高▲ 163 4.5.1 知识图谱 164 4.5.2 分部积分运算技巧 164 4.5.3 有理真分式的*简分式分解 165 4.5.4 例释积分技巧 169 习题 4.5 172 第5章 定积分 175 5.1 定积分的概念 175 5.1.1 引例 175 5.1.2 定积分的定义 177 5.1.3 定积分的几何意义 178 习题 5.1 179 5.2 定积分的性质 179 5.2.1 定积分的基本性质 179 5.2.2 定积分中值定理 182 习题 5.2 182 5.3 微积分基本公式 183 5.3.1 积分上限的函数及其导数 183 5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 185 习题5.3 186 5.4 定积分的换元法和分部积分法 187 5.4.1 定积分的换元积分法 187 5.4.2 定积分的分部积分法 191 习题 5.4 193 5.5 反常积分及其收敛判别法 194 5.5.1 无穷限的反常积分 194 5.5.2 无界函数的反常积分 199 习题 5.5 202 5.6 巩固与提高▲ 203 5.6.1 知识图谱 204 5.6.2 利用定积分定义求无穷和数列的极限 204 5.6.3 定积分中值定理的推广 206 5.6.4 重要结论 207 5.6.5 杂例 209 习题 5.6 215 第6章 定积分的应用 219 6.1 定积分的元素法 219 6.2 定积分在几何上的应用 221 6.2.1 平面图形的面积 221 6.2.2 体积 226 6.2.3 平面曲线的弧长* 229 习题 6.2 232 6.3 定积分在物理学上的应用* 233 6.3.1 变力沿直线所做的功 233 6.3.2 水压力 234 6.3.3 引力 235 习题 6.3 236 6.4 定积分在经济学上的应用# 237 6.4.1 由边际函数求总函数 237 6.4.2 资金的现值和将来值 239 习题 6.4 240 6.5 巩固与提高▲ 240 6.5.1 知识图谱 241 6.5.2 定积分在几何上的应用梳理 241 6.5.3 杂例 244 习题 6.5 245 第7章 常微分方程与差分方程 247 7.1 微分方程的基本概念 247 7.1.1 引例 247 7.1.2 微分方程的概念 248 习题 7.1 249 7.2 一阶微分方程 250 7.2.1 可分离变量的微分方程 250 7.2.2 齐次方程 252 7.2.3 一阶线性微分方程 256 7.2.4 伯努利方程 257 习题 7.2 258 7.3 可降阶的高阶微分方程* 259 7.3.1 y的n阶导数为f(x)的情形 259 7.3.2 F(x, y′, y″)=0的情形 260 7.3.3 F(y, y′, y″)=0的情形 261 习题 7.3 262 7.4 线性微分方程解的结构 263 习题 7.4 265 7.5 常系数齐次线性微分方程 265 习题 7.5 268 7.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 268 7.6.1 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 268 7.6.2 非齐次项为多项式、指数函数与正弦或余弦函数之积的情形 269 习题 7.6 271 7.7 欧拉方程* 271 习题 7.7 272 7.8 差分方程初步# 272 7.8.1 差分及差分方程的概念 272 7.8.2 线性差分方程解的结构 274 7.8.3 一阶常系数线性差分方程 274 7.8.4 差分方程的应用 277 习题 7.8 278 7.9 巩固与提高▲ 278 7.9.1 知识图谱 279 7.9.2 常系数线性非齐次微分方程特解的算子解法 279 7.9.3 杂例 282 习题 7.9 284 附录 286 附录1 符号表 286 附录2 重要数学公式 287 参考答案 289 参考文献 312