高等数学(下册)

第8章 向量代数与空间解析几何* 1 8.1 向量及其线性运算 1 8.1.1 向量的概念 1 8.1.2 向量的线性运算 2 8.1.3 空间直角坐标系 3 习题8.1 5 8.2 向量的坐标 5 8.2.1 向量在轴上的投影与投影定理 5 8.2.2 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 7 8.2.3 向量的模与方向余弦的坐标表示式 8 习题8.2 10 8.3 向量的数量积、 向量积与混合积 10 8.3.1 两向量的数量积 10 8.3.2 两向量的向量积 12 8.3.3 两向量的混合积 14 习题8.3 16 8.4 平面及其方程 16 8.4.1 平面的点法式方程 17 8.4.2 平面的一般式方程 17 8.4.3 平面的截距式方程 18 8.4.4 点到平面的距离 19 8.4.5 两平面的位置关系 19 习题8.4 20 8.5 空间直线及其方程 20 8.5.1 空间直线的一般方程 20 8.5.2 空间直线的对称式方程及参数方程 21 8.5.3 直线与直线的位置关系 22 8.5.4 直线与平面的位置关系 23 习题8.5 24 8.6 曲面及其方程 25 8.6.1 曲面的方程 25 8.6.2 柱面 26 8.6.3 旋转曲面 27 8.6.4 二次曲面 28 习题 8.6 31 8.7 空间曲线及其方程 32 8.7.1 空间曲线的一般方程 32 8.7.2 空间曲线的参数方程 33 8.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 33 习题 8.7 35 8.8 巩固与提高▲ 35 8.8.1 知识图谱 37 8.8.2 空间中几个距离公式 37 习题 8.8 38 第9章 多元函数微分法及其应用 41 9.1 多元函数的基本概念 41 9.1.1 n维空间中的点集和区域 41 9.1.2 多元函数的概念 43 9.1.3 多元函数的极限 44 9.1.4 多元函数的连续性 45 习题 9.1 46 9.2 偏导数与全微分 46 9.2.1 偏导数的定义 46 9.2.2 偏导数的几何意义 47 9.2.3 偏导数的计算 48 9.2.4 高阶偏导数 49 9.2.5 全微分 51 习题9.2 54 9.3 多元复合函数的求导 55 9.3.1 多元复合函数的求导法则 55 9.3.2 一阶全微分形式的不变性 58 习题9.3 58 9.4 隐函数的求导* 59 9.4.1 一个方程确定的隐函数的求导法则 59 9.4.2 方程组确定的隐函数的求导法则 61 习题9.4 63 9.5 偏导数在几何中的应用* 63 9.5.1 空间曲线的切线与法平面 63 9.5.2 曲面的切平面与法线 66 习题9.5 67 9.6 方向导数与梯度* 68 9.6.1 方向导数 68 9.6.2 梯度 70 习题9.6 74 9.7 多元函数的极值与*值 75 9.7.1 多元函数的无条件极值与*值 75 9.7.2 条件极值问题与拉格朗日乘数法 77 习题9.7 80 9.8 巩固与提高▲ 80 9.8.1 知识图谱 81 9.8.2 二元函数可微性的证明 81 9.8.3 隐函数确定的函数的导数解法 83 9.8.4 多元函数极值的判别 84 习题9.8 87 第10章 重积分 90 10.1 二重积分的概念与性质 90 10.1.1 二重积分的概念 90 10.1.2 二重积分的性质 92 习题10.1 94 10.2 二重积分的计算 95 10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 95 10.2.2 极坐标系下二重积分的计算 100 习题10.2 103 10.3 三重积分* 106 10.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 106 10.3.2 柱面坐标及球面坐标下三重积分的计算 110 习题10.3 114 10.4 重积分的应用* 116 10.4.1 曲面的面积 116 10.4.2 质心 118 10.4.3 转动惯量 120 10.4.4 引力 121 习题10.4 122 10.5 巩固与提高▲ 123 10.5.1 知识图谱 124 10.5.2 积分次序的交换 124 10.5.3 应用对称性计算重积分 127 10.5.4 重积分变量代换 131 10.5.5 杂例 132 习题10.5 134 第11章 曲线积分与曲面积分* 140 11.1 对弧长的曲线积分 140 11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 140 11.1.2 对弧长的曲线积分的计算 142 习题11.1 144 11.2 对坐标的曲线积分 144 11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 144 11.2.2 对坐标的曲线积分的计算 147 11.2.3 两类曲线积分的关系 150 习题11.2 151 11.3 格林公式 152 11.3.1 格林公式 152 11.3.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件 157 习题11.3 160 11.4 对面积的曲面积分 161 11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 161 11.4.2 对面积的曲面积分的计算 163 习题11.4 165 11.5 对坐标的曲面积分 166 11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 166 11.5.2 对坐标的曲面积分的计算 170 11.5.3 两类曲面积分之间的关系 172 习题11.5 173 11.6 高斯公式 173 习题11.6 177 11.7 斯托克斯公式 178 习题11.7 183 11.8 巩固与提高▲ 184 11.8.1 知识图谱 185 11.8.2 积分模型 185 11.8.3 利用对称性计算曲线积分和曲面积分 187 11.8.4 第二类曲面积分“三向一投”公式 196 11.8.5 杂例 197 习题11.8 203 第12章 无穷级数 208 12.1 常数项级数的概念与性质 208 12.1.1 常数项级数的概念 208 12.1.2 常数项级数的性质 210 习题12.1 213 12.2 正项级数及其判别法 214 12.2.1 正项级数的概念 214 12.2.2 正项级数的判别法 214 习题12.2 219 12.3 任意项级数 220 12.3.1 交错级数及其判别法 220 12.3.2 绝对收敛与条件收敛 221 习题12.3 222 12.4 幂级数 223 12.4.1 函数项级数的概念 223 12.4.2 幂级数及其收敛域 224 12.4.3 幂级数和函数的性质 227 习题12.4 229 12.5 函数的幂级数展开 230 12.5.1 泰勒级数 230 12.5.2 函数展开成幂级数 234 习题12.5 235 12.6 傅里叶级数* 236 12.6.1 三角级数及三角函数系的正交性 236 12.6.2 函数展开成傅里叶级数 237 12.6.3 正弦级数和余弦级数 241 12.6.4 一般周期函数的傅里叶级数 245 习题12.6 247 12.7 巩固与提高▲ 248 12.7.1 知识图谱 249 12.7.2 常用于比较判别法的级数 249 12.7.3 级数的求和问题 250 12.7.4 杂例 252 习题12.7 253 参考答案 259 参考文献 280