包邮证明的故事:从勾股定理到现代数学

序言 iv

第 1章　欧几里得之前 1

1.1　勾股定理 2

1.2　勾股数组 4

1.3　无理数 7

1.4　从无理数到无穷 8

1.5　对无穷的敬畏 11

1.6　欧多克斯 12

1.7　附注 15

第 2章　欧几里得 16

2.1　定义、定理和证明 17

2.2　等腰三角形定理与SAS 19

2.3　平行公设的变体 22

2.4　再谈勾股定理 25

2.5　代数概览 26

2.6　数论与归纳法 29

2.7　几何级数 32

2.8　附注 36

第3章　欧几里得之后 38

3.1　关联 39

3.2　顺序 40

3.3　合同 43

3.4　完备 44

3.5　欧几里得平面 47

3.6　三角形不等式 49

3.7　射影几何 50

3.8　帕普斯定理和德萨格定理 54

3.9　附注 58

第4章　代数 60

4.1　二次方程 61

4.2　三次方程 63

4.3　作为“普遍算术”的代数 67

4.4　多项式与对称函数 68

4.5　近世代数：群 72

4.6　近世代数：域与环 76

4.7　线性代数 80

4.8　近世代数：向量空间 81

4.9　附注 85

第5章　代数几何 91

5.1　圆锥曲线 92

5.2　费马和笛卡儿 94

5.3　代数曲线 96

5.4　三次曲线 100

5.5　贝祖定理 102

5.6　线性代数和几何 104

5.7　附注 106

第6章　微积分 108

6.1　从列奥纳多到哈里奥特 109

6.2　无穷求和 111

6.3　牛顿的二项式级数 115

6.4　巴塞尔问题的欧拉解法 118

6.5　变化率 120

6.6　面积和体积 124

6.7　无穷小代数和几何 128

6.8　级数微积分 134

6.9　代数函数及其积分 138

6.10　附注 141

第7章　数论 144

7.1　初等数论 145

7.2　再谈勾股数组 149

7.3　费马*后定理 154

7.4　数论中的几何与微积分 157

7.5　高斯整数 163

7.6　代数数论 171

7.7　代数数域 174

7.8　环和理想 178

7.9　整除和素理想 183

7.10　附注 186

第8章　代数基本定理 190

8.1　在证明之前的定理 190

8.2　代数基本定理的早期“证明”及其漏洞 193

8.3　连续性和实数 195

8.4　戴德金对实数的定义 196

8.5　代数学家的基本定理 198

8.6　附注 200

第9章　非欧几里得几何 201

9.1　平行公设 202

9.2　球面几何 203

9.3　球面几何的平面模型 207

9.4　微分几何 209

9.5　常曲率几何 214

9.6　贝尔特拉米的双曲几何模型 218

9.7　复数的几何 222

9.8　附注 224

第 10章　拓扑学 227

10.1　图 228

10.2　欧拉多面体公式 233

10.3　欧拉示性数和亏格 237

10.4　作为曲面的代数曲线 239

10.5　曲面的拓扑 242

10.6　曲线奇点和纽结 247

10.7　赖德迈斯特移动 250

10.8　简单的纽结不变量 253

10.9　附注 258

第 11章　算术化 260

11.1　 的完备性 261

11.2　直线、平面和空间 263

11.3　连续函数 263

11.4　定义“函数”和“积分” 265

11.5　连续性和可微性 271

11.6　一致性 273

11.7　紧致性 277

11.8　编码连续函数 281

11.9　附注 283

第 12章　集合论 288

12.1　无穷简史 289

12.2　等势集合 291

12.3　与 等势的集合 297

12.4　序数 299

12.5　用集合实现序数 301

12.6　根据秩对集合排序 305

12.7　不可达性 306

12.8　无穷的悖论 307

12.9　附注 308

第 13章　数、几何和集合的公理 312

13.1　皮亚诺算术 313

13.2　几何公理 316

13.3　实数的公理 318

13.4　集合论的公理 319

13.5　附注 322

第 14章　选择公理 324

14.1　选择公理和无穷 325

14.2　选择公理和图论 326

14.3　选择公理和分析学 327

14.4　选择公理和测度论 329

14.5　选择公理和集合论 332

14.6　选择公理和代数学 333

14.7　更弱的选择公理 337

14.8　附注 340

第 15章　逻辑与计算 342

15.1　命题逻辑 343

15.2　命题逻辑的公理 345

15.3　谓词逻辑 350

15.4　哥德尔完备性定理 352

15.5　逻辑归约为计算 355

15.6　可计算枚举集 357

15.7　图灵机 359

15.8　半群的字问题 365

15.9　附注 370

第 16章　不完全性 375

16.1　从不可解性到不可证性 376

16.2　句法的算术化 377

16.3　根岑对PA一致性的证明 380

16.4　算术中暗含的ε0 384

16.5　可构造性 387

16.6　算术概括 390

16.7　弱柯尼希引理 392

16.8　五大子系统 394

16.9　附注 396

参考文献 397