数学模型八讲-模型.模式与文化

bsp; 前言
    作为教学改革的一项重大举措，2l世纪初，北京大学为全校本科生增设了一类新型课
程——通选课，其目的是进一步贯彻“加强基础，淡化专业，分流培养，因材施教”的方针，打
破院系与学科界限，把按专业划分的以传授知识为主要目的分门别类的课程，转变为强调指
导思想与观点的阐述，强调对知识的整体把握，侧重学科联系，侧重学生能力提高的通识教
育，力图建立以素质培育为导向的新型课程体系．在此范围内，笔者有幸开设了一门以介绍
数学模型为具体内容，试图贯彻以上方针的课程．本书就是在原有讲稿基础上，在通选课所
应遵循的原则指导下，修改、充实、润色而成．
    通选课的总体目标无疑是正确的，但这并不意味着所开设的每一门课程都达到了要求．
笔者自知，他的课程与理想的通选课就有相当距离．这种现象是很自然的，主要出自于以下
两方面原因．其一是：这的确是一项意义深远的改革，尽管国内外优秀的同类课程不胜枚
举，但总的说来，尚无系统的、全面成熟的经验可供借鉴．其二则是教师个人的原因．北京大
学人才济济，无疑有众多学养深厚的老一辈学者或青年才俊开设了非常优秀的通选课；但也
毋庸讳言，如笔者这样的教师，囿于自身成长年代的社会氛围、所受教育的背景、个人品性的
愚拙，并非是神话中的百宝箱，想要什么，就能给出什么．对笔者而言，通识教育的要求，首先
就是对教师自身的挑战．这一挑战涉及颇广，它不仅涉及教师自身的知识结构、深度、广度，
认识能力与表达能力，更要涉及教师自身的哲学指导思想，对学科内容和方法的理解与认
识．因此，对于不同的通选课程和相应教材要具体分析，认真看待每门课程的成功与不足．就
笔者个人而言，则难免有滥竽之嫌，出版这部教材的目的主要是报告一下，笔者在这方面到
底想了什么?做了什么?总结经验，吸取教训，听取各方面的批评与指正，以便改进．丑媳妇
也要见公婆嘛!
    手头的这部讲义以数学模型和模式的讨论为主要内容，这是因为笔者此前曾为北京大
学数学系与部分理科院系本科生开设过一门数学模型课程，部分学生对其很感兴趣，因而建
议在更大的范围内讲授有关内容．这就是与此有关的通选课的缘起．然而，通选课不同于讲
授应用数学内容的专业课，课程素材即便类似，渗透其中的指导思想，所要传达的信息，讲授
的角度、重点、编排都会完全不同．前面已经指出，通选课不以介绍特定的专业知识、技巧与
方法为目的，它的精髓在于讲授思想、深层次的哲学观点，强调学科联系，培养学生把握辩证
唯物主义的观点和方法论．这是一个困难的任务，笔者只不过做了些许尝试．
    本书的**讲探讨数学中的主要哲学问题，其目的在于说明：数学不仅仅是一种专门
知识或研究问题的独特方法，它实际与研究者本身的世界观密切关联；数学哲学不仅仅是对
  数学的不同观点，而是直接影响到你认同什么样的数学，如何按照你所欣赏的途径学习与发
  展数学，以至影响一个人对一般科学思想与方法的理解．显然数学哲学问题是没有唯一答案
  的，书中力图客观地介绍不同流派的基本思想，当然，侧重点是在笔者个人赞同的派别上．这
  一讲中还试图阐述数学与其他领域，或者大言不惭地说数学与文化的关系．显然笔者本人不
  具备全面地明晰阐述如上问题的学识素养，因而不得不把讨论局限在数学与计算机科学以
  及艺术的关系上．虽然限定后的两个方面仍然超出笔者的能力，但此处不揣冒昧、大胆放言
  的原因在于：笔者深感有关的问题现今已经实际影响了学生的行为，影响了很多学生对知
  识的选择与把握．无论如何，把矛盾揭示出来总是有益的．
    本书的素材除了包含某些数学模型之外，还含有与“数学模式”有关的部分内容．“数学
  模式”这个词的使用当然与数学哲学中的结构主义流派有关，但书中是在更“自由”的意义上
  使用这一词语的．例如在第二讲中，我们就把撒谎者悖论所含的逻辑结构视为一种“模式”，
  这一模式不仅出现在众多悖论的构成中，还以更复杂的形式表现在哥德尔不完全性定理的
  证明里，它的变形又是图灵停机问题的证明主线，它还是著名的集合论悖论一—罗素悖论的
  本质．实际上存在有更多的数学物理的重要结果，它们均可视做这同一模式在不同领域的表
  达；不仅如此，这一模式还被诸多的文学家、艺术家以多种方式幻化在各自的作品里．如此种
  种不仅表现了数学模式的普遍意义，也从另一个角度说明了数学与其他领域的关系．深刻的
  思想并非数学家所独有，不同领域的优秀人物“英雄所见略同”．本书还探讨了其他几种“模
  式”，如对称模式、变分模式、投影模式，等等．这种处理是否恰当，欢迎读者指正．
    本书强调的另一主题是数学与其他学科、其他领域的广泛联系和交互作用．除了传统的
  物理学、力学领域外，第三讲中介绍了如何利用“群”的概念，刻画由两性关系所决定的早期
  人类社会结构．第八讲中，叙述了如何利用概率统计方法“量化”一个作家的文学特点．尽管
  有关用数学方法处理文学作品的理论与方法还不完全成熟，我们仍将其收入本书，目的在于
  说明：对于人文、社会科学而言，数学仍是一个可能有所作为的尚待开拓的领域．本书特别
  强调数学与生物学的关系，第四、第五讲完全用于这方面的讨论．数学生物学实际是现代科
  学的前沿，它不仅包含生动、丰富的内容，而且处于蓬勃发展之中．本书的内容只是一个引
  子，一个十分初等的介绍，目的仅在于引起读者对有关课题的关注．
    本书中有部分内容需要读者有较强的数学基础，例如第六讲中关于控制论模型的论述，
  第七讲中关于“广义逆”的一节等．对于是否将这些内容按现在的形式保留在书中，笔者曾考
  虑再三，*终还是留下了．其原因是：读者或选课的学生中有相当一部分具有很不错的数学
  修养，他们不仅希望通过通选课得到思想上的启发，对学科整体有所把握，还希望对某些具
  体问题与方法有比较确切的了解，这一部分内容就是为了满足他们的需要而安排的；对于阅
  读这些内容有数学障碍的读者。则完全可以将它们跳过，丝毫不会影响对本书主旨的把握．
    本课程考核主要采取期末课程论文的形式，题目由学生自己选定．由于选课的学生文理
  科各系均有，数学基础参差不齐，独立完成论文有困难者允许以某个专题或数学课程的读书
报告代替，唯一的要求是不得抄袭．凡是认真对待，有独立见解，即使未必完善，失之偏颇者
也予以鼓励，目的是提倡学生独立思考，发挥创造力与想象力．笔者认为，凡是以探讨思想观
点、强调整体把握与学科联系，不以讲授专门技术为主要目的通选类课程，在考查学生方面
均不宜过严、过细．理由有二，一是不合课程宗旨，二是难于把握．本书*后，选辑了学生论文
所使用过的50个题目作为附录，从一个侧面大致反映了学生的学习情况．
    本书在编写过程中得到了学校有关部门，尤其是数学科学学院及北京大学出版社等部
门各级负责同志的关怀和支持，也得到了众多师友的指导和帮助．笔者特别要感谢李忠、张
顺燕、王长平、郭懋正、徐树方、刘旭峰、刘力平、周铁、邓明华诸位先生，他们从多个方面给予
笔者以巨大的支持、鼓励和帮助．张树义先生协助作者绘制了第三讲中的图3—3和图3—4，责
任编辑曾琬婷以及出版社刘勇同志也为本书的出版付出了诸多心血，在此一并致以诚挚的
谢意．*后还要感谢我学数学的女儿雷悦，她阅读了全部手稿，提出了一些其他批评者不便
直抒的意见．
    雷功炎
    2007年6月

第五讲
有关生命现象的几q-数学模型
    这一讲的**节首先介绍了元胞自动机的基本概念，然后叙
  述了它的一个典型代表——康维的生命游戏，进而介绍了沃尔夫
  对一维元胞自动机的模拟研究．第二节讨论涉及生命现象的另一
  模型——图灵扩散，并介绍了对有关问题进行数值模拟的基本方
  法．第三节从博弈论的观点出发，解释了生物群体雌雄性别比一
  般为1：l的’原因．
    计算机的出现和发展，大大改变了世界的面貌，它不仅改变了传统
  的生产模式，而且渗透进了人们的日常生活，甚至影响了部分人的思维
  方式．当前，在世界范围内，不仅学习与应用计算机的热潮澎湃汹涌，同
  时还泛滥着部分人对计算机的顶礼膜拜与图腾．计算机的确是一个好东
  西．但是学习、普及计算机必须有正确的观点，在任何情况下，计算机都
  只能是人所掌握的工具．永远是人支配机器，而不可能是机器支配人．我
  们面临的问题是：如何更好地发挥计算机的潜能，更好地使用计算机?
  但要切忌沦为机器的附庸与奴隶，把思维沦落为计算机的刻板机械模
  式．要清除一切神化计算机的反科学宣传，把计算机称做“电脑”是一种
  比喻，电脑绝对赶不上人脑．计算机在什么意义下拥有“智能”?这种“智
  能”的限度是什么?诸多此类问题一直是学术界关心的课题．
    当然，计算机的确有“过人之处”，问题是：这一过人之处到底是什
  么?事实上，计算机无疑优于人脑之处只是它的算术运算速度．正像起
  重机比人的手臂更有力，汽车比人跑得更快、更持久，计算机能够快速运
  算自然是它的极大优点，现代计算机的所有优越性基本说来都建立在这
  一点之上．应该充分认识这一优点的巨大意义和潜能，但不应在这一能
  力之外认为计算机具有其他“超人”的能力．实际上，计算机特有的算术
  运算能力对于生物生存并不是*基本的需要．如果这种能力对生物和人
  类是必需的，那么可以想象，经过几十亿年之久的进化过程，现在的人类
  早就发展出了超过计算机的此类本领．如果对“计算’’这一概念从更广的
  意义上加以理解，即不是指纯粹的加减乘除，而是把与生物生存有关的
各种信息的收集、识别、估计、判断、整理、加工包括在内，那么我们就会发现，人脑的工作“语
  言”并不是现在通行的数学语言，更不是现在的计算机语言．人脑在上述各方面都大大优于
  电脑．例如，不足一岁的婴儿就能识别人脸，会对父母微笑；而直至今日，人脸识别还是计算
  机科学的前沿课题之一．人脑是稳健的、容错的，神经细胞每天都有生有死，但我们的记忆和
  思维并未因此而受到影响．然而，计算机存储系统一个二进位的偶然跳动，就有可能引起整
  个系统瘫痪．人脑具有很强的学习功能，我们从一降生开始，就在与外部世界的接触过程中，
  通过经验不断地学习，或者说改变着自身思维器官的功能与结构．这是一种天赋的能力，无
  须经由特定的外部设备，把利用某种人工语言，例如C十+或JAVA精心编制的程序化了的
  信息强行输入．而且人脑可以处理具有概率意义的，模糊或不确定的信息，其中可以包含“噪
  声”，甚至不相容的矛盾内容．这不但不会引发混乱，有时还会产生意想不到的结果，如引发
  了灵感，引发了创造，进而产生了社会进步．然而，如果你发给计算机的指令中有矛盾，看看
  会产生什么后果，它可能使你焦头烂额．人是可以一心二用的，很多同学一边听报告，一边记
  外语单词，而且从容不迫．这说明人脑有并行处理的功能．现代计算机也可以有类似的功能，
  但无论是机器结构还是具体应用，都要经过专门设计．从耗能的观点，人脑也大大优于电脑．
  人脑体积很小，结构紧凑，只消耗很少的功率，而对计算机而言，尽管元件的集成度不断提
  高，模数、数模转换器件的尺度越做越小，但在耗能上仍然无法与人脑相比，尤其对大型计算
  机系统说来，电费仍是一笔可观的支出．
    还在现代数字计算机发明不久的时候，它的创始人冯·诺依曼就已认识到计算机的局
  限，它并不是一个*理想的机器．在很多方面，现代计算机远远不及生物所具有的广义计算
  能力．因此冯·诺依曼在20世纪50年代初就开始了新的探索．实际上，人脑时时刻刻都在进
  行“计算”，我们在见到任何一副面孔的同时就在识别、搜索或存储与之有关的一切信息；我
  们行走或行驶在一条道路上时，随时依据各种情况进行估计与判断，以避免碰撞并选择*佳
  路线；人们在百货商店琳琅满目的货架间漫步，不经意间已经决定了自己所选择的商品，它
  们通常具有*高的性能价格比．在进行上述活动时，人们并不认为自己运用了什么高深的学
  问或技能，但是你如果试图利用计算机处理上述问题，则其中任何平凡的一部分，肯定是计
  算机科学的尖端领域之一．事实上，生物系统在用一种与现代计算机完全不同的原则处理问
  题．它既不需要算术运算，也不需要离散近似，在生物进化的数十亿年间，已创造出不计其数
  既灵巧又高效的方式，解决各种各样的涉及“计算”的问题．冯·诺依曼认为，人类有必要研究
  某些生物的基本功能．但这种研究不是简单机械地模仿．他提出，首先我们应当研究那些具
  有类似生物系统功能，具有自组织能力的系统．所谓“自组织能力”是指一种自我生长、自我
  复制、与环境交换信息交互作用的能力．这种能够自我复制的系统似乎是有生命的，故冯·诺
  依曼称之为“活的机器”．但是冯·诺依曼深知，利用已有的技术无法造出一台真正的活机器，
  因而他转而考虑用计算机模拟一类模型，探寻这种活机器“生命”过程的逻辑．为实现这一设
  想，冯·诺依曼*终采用了他的同事与学生乌拉姆(Ulam)为解决这一任务所提出的一个极
其聪明的建议，即以一种抽象方式，建立一个一般性框架，称之为“元胞空间”，在此空间中
建立模拟生命过程的模型．这是今日诸多科学与工程领域的多种离散模型的共同来源．当今
更为流行的名字是“元胞自动机”．下面就对有关内容作一简单介绍．
    §1元胞自动机的基本概念
    元胞自动机实际是一类数学模型的总称，是今日众多离散模型的共同框架．首先，设想
一个几何上规则的空间点阵，或者说一块规则的晶体．然后把每个格点(或格子)视为一个细
胞，因此所考虑的是一个细胞组成的世界．每一个细胞可以处于有限多种不同的状态，例如
存活或死亡，这时可以由两种不同的编码如O或1表达．在一般情况下，细胞的有限个不同
状态可以由一组2进制数字表征．对于任何一个格点(或格子)，按照一定规则，指定其邻近
的一组有限格点(或格子)，作为所讨论格点(或格子)的邻域．在所考虑的细胞组成的世界
里，时间是离散的．在离散的时间进程中，细胞状态随时间变化，任何时刻一个细胞的状态仅
取决于此细胞及其邻域内细胞在上一时刻的状态．给定了这样一组两个时刻细胞状态间的
对应规则和一组细胞的初始状态分布，我们就可以在时间进程中跟踪元胞自动机整体的状
态演化，研究它的发展和规律．在元胞自动机的框架下，可以有多种多样的具体模型．例如仅
就平面模型而言，点阵就可以取做正三角形、正方形或正六边形；由于问题不同，细胞可以有
不同数目的有限状态；而变化规则更可以有各种不同，它们可以是确定性规则，也可以引入
随机性考虑，这些都大大丰富了模型的种类．正是因为元胞自动机所具有的如此丰富的内
涵，使之成为了今日多种科学与工程领域大量离散型模型的基础．然而，此类模型都具有如
下的共同特点：(1)空间是离散的；(2)时间是离散的；(3)细胞(因而，自动机)状态是离散
的；(4)细胞状态随时间的演化规则是局域的．由于上述特点，又有人将此类模型称为全离
散模型．
    冯·诺依曼和乌拉姆设计这样一台机器的目的之一是试图寻找一种完全不同于现代计
算机原理的工作方式，为实现广义意义上的“计算”任务，开辟新的途径．然而，从理论上说
来，元胞自动机完全可以具有现代计算机的功能，尽管实现起来十分复杂．*重要的是，元胞
自动机有极强的模拟功能，几乎所有自然科学领域，如数学、物理学、化学、生物学、地质学、
地理学、医学、生态学、材料学等学科的众多课题都可利用元胞自动机加以模拟．这已为今天
的科学发展所证实．