数学哲学

第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——**次数学危机与实数理论／11.1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数1.2 **个无理数1.3 无理数之谜1.4 连续性的奥秘1.5 戴德金分割1.6 连续归纳原理1.7 “万物皆数”的再生1.8 勾股定理的多种证明1.9 无理数与**次数学危机1.10 中国古代文化中的“万物皆数”1.11 一分为二和一分为三第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”／192.1 欧几里得的公理方法2.2 欧几里得的几何定理是真理吗2.3 非欧几何的发现2.4 哪一个是真的2.5 公理是什么2.6 古今由圆外－点向圆作切线的不同2.7 定义的多样性和局限性第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念／323.1 数学怎么描述运动与变化3.2 瞬时速度3.3 微分是量的鬼魂吗3.4 无穷小量的再生3.5 不用极限的微积分第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念／504.1 伽利略的困惑4.2 康托，闯入无穷王国的先锋4.3 希尔伯特的“无穷旅店4.4 所有的无穷都一样吗4.5 自然数究竟有多少4.6 有理数的自白4.7 素数无穷的不同表述4.8 数学的严格第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机／675.1 逻辑－集合一数5.2 罗素悖论5.3 集合的层次理论5.4 集合论的公理化5.5 连续统假设5.6 地平线仍在前方5.7 悖论与危机第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法／796.1 1是什么6.2 柏拉图主义——数存在于理念世界6.3 唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念6.4 康德：数是思维创造的抽象实体6.5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定6.6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分6.7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动6.8 形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作6.9 争论与统一6.10 存在与构造6.11 0.9＝1吗第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理／987.1 哥德尔定理7.2 说谎者悖论与理查德悖论7.3 算术有多少种7.4 数学的力量与局限7.5 数学的局限与加密7.6 数学的局限与博弈第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点／1098.1 在逻辑长链的背后8.2 形形色色的加法8.3 基本的结构8.4 分析与综合的艺术8.5 布尔巴基学派和新数运动第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考／1259.1 两种对立的哲学观点9.2 从偶然产生必然9.3 从必然产生偶然9.4 一场风暴或－口痰能影响民族的命运吗9.5 什么叫必然?什么叫偶然9.6 抽屉原理9.7 五百年必有王者兴第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一／14310.1 例证法——用演绎支持归纳10.2 几何定理也能用例子证明10.3 进一步的思考10.4 验证三角形内角和定理10.5 精确数学和近似数学10.6 例证法与动态几何第11章 计算机正在改变数学／15511.1 四色定理的机器证明11.2 计算机证明的定理可靠吗11.3 数学和计算机共同发展11.4 《九章算术》的算法思想11.5 几何信息搜索系统简介11.6 机器证明软件简介第12章 数学与哲学随想／17412.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小12.2 数学始终在影响着哲学12.3 抽象与具体12.4 涉及具体问题时，语言必须精确严格12.5 个别与一般12.6 事物与概念12.7 “我不需要这个假设12.8 证实与证伪12.9 数学世界是人的创造，但它是客观的12.10 事物的总体性12.11 变化中的不变12.12 预言12.13 “没有两件事物完全一样”12.14 物极必反12.15 论怀疑12.16 量变与质变12.17 罗素与“事素”参考文献／201