数学物理方法:理论、历史与计算机

绪论第1章 数学物理方程及其定解条件1.1 数学物理基本方程的建立1.1.1 波动方程1.1.2 热传导方程和扩散方程1.1.3 泊松方程和拉普拉斯方程1.1.4 亥姆霍茨方程1.2 定解条件1.2.1 初始条件1.2.2 边界条件1.3 定解问题的提法1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理1.4.1 含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简1.4.2 线性偏微分方程的叠加原理1.5 历史注记——数学物理学家：达朗贝尔1.6 例题分析习题1 第2章 分离变量法1482.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法2.1.1 有界弦的自由振动2.1.2 有限长杆上的热传导2.2 二维Laplace方程的定解问题2.3 非齐次方程的解法2.4 非齐次边界条件的处理2.5 历史注记——数学物理学家：傅里叶2.6 例题分析习题2 第3章 二阶常微分方程的级数解法本征值问题3.1 二阶常微分方程的级数解法3.1.1 常点邻域内的级数解法3.1.2 正则奇点附近的级数解法3.2 Legendre方程的级数解3.3 Bessel方程的级数解lOl3.4 Sturm-Liouville本征值问题3.4.1 Sturm-Liouville方程3.4.2 本征值问题的一般提法3.4.3 本征值问题的一般性质3.5 历史注记——数学物理学家：刘维尔3.6 例题分析习题3 第4章 Bessel函数的性质及其应用4.1 Bessel方程的引出4.2 Bessel函数的性质4.2.1 Bessel函数的基本形态及本征值问题4.2.2 Bessel函数的递推公式4.2.3 Bessel函数的正交性和模方4.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开4.3 Bessel函数在定解问题中的应用4.4 修正Bessel函数4.4.1 **类修正Bessel函数4.4.2 第二类修正Bessel函数4.5 可化为Bessel方程的方程4.5.1 Kelvin（W.Thomson）方程4.5.2 其他例子4.5.3 含Bessel函数的积分4.6 历史注记——天文学家、数学家：贝塞尔4.7 例题分析习题4 第5章 Legendre多项式及其应用5.1 Legendre方程与Legendre多项式的引入5.2 Legendre多项式的性质5.2.1 Legendre多项式的微分表示5.2.2 Legendre多项式的积分表示5.2.3 Legendre多项式的母函数5.2.4 Legendre多项式的递推公式5.2.5 Legendre多项式的正交归一性5.2.6 按P（x）的广义Fourier级数展开5.2.7 一个重要公式5.3 Legendre多项式的应用5.4 关联Legendre多项式5.4.1 关联Legendre函数的微分表示5.4.2 关联Legendre函数的积分表示5.4.3 关联Legendre函数的正交性与模方5.4.4 按Pr（z）的广义Fourier级数展开5.4.5 关联Legendre函数递推公式5.5 其他特殊函数方程简介5.5.1 Hermite多项式5.5.2 Laguerre多项式5.6 历史注记——数学家：勒让德5.7 例题分析习题5 第6章 行波法和积分变换法6.1 一维波动方程的dAlember公式6.2 三维波动方程的Poisson公式6.2.1 三维波动方程的球对称解6.2.2 三维波动方程的Poisson公式6.2.3 Poisson公式的物理意义6.3 Fourier积分变换法求定解问题6.3.1 预备知识——Fourier变换及性质6.3.2 Fourier变换法6.4 Laplace积分变换法解定解问题6.4.1 Laplace变换及其性质6.4.2 Laplace变换法6.5 历史注记6.5.1 数学家、天文学家：拉普拉斯6.5.2 数学物理学家：泊松6.6 例题分析习题6 第7章 Green函数法7.1 引言7.2 占函数的定义与性质7.2.1 函数的定义7.2.2 广义函数的导数7.2.3 函数的Fourier变换7.2.4 高维函数7.3 Poisson方程的边值问题7.3.1 Green公式7.3.2 解的积分形式——Green函数法7.3.3 Green函数关于源点和场点是对称的7.4 Green函数的一般求法7.4.1 无界区域的Green函数7.4.2 用本征函数展开法求边值问题的Gteen函数7.5 用电像法求某些特殊区域的Dirichle-Green函数7.5.1 Poisson方程的DchieFGreen函数及其物理意义7.5.2 用电像法求Green函数7.6 历史注记——数学物理学家：格林7.7 例题分析习题7 第8章 积分方程和非线性微分方程简介8.1 积分方程的分类及解法8.1.1 积分方程的概念与分类8.1.2 退化核方程的求解8.1.3 积分方程的迭代解法8.1.4 对称核的Fredholm方程8.1.5 微分方程与积分方程的联系8.2 非线性微分方程及其某些解法8.2.1 求解非线性微分方程的函数变换方法8.2.2 非线性偏微分方程的孤立波解8.2.3 解析近似解与正则摄动法8.3 历史注记——数学家：庞加莱习题8附录附录A 正交曲线坐标系中的Laplace算符附录B r函数的定义和基本性质附录C 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演附录D Fourier变换和Laplace变换简表参考文献