高等学校电子信息类专业系列教材数字信号处理基础教程

第5章 CHAPTER 5 数字滤波器基本结构 及状态变量分析法 数字信号处理的目的之一，是设计某种设备或建立某种算法分析处理序列，使序列具有某些确定的性质，这种设备或是算法结构就是数字滤波器。与FFT一样，网络结构是数字滤波器设计中的一个非常重要内容，也是数字信号处理的重要内容。因为数字滤波器的稳定性、运算速度以及系统的成本和体积等许多重要性能都取决于其网络结构。本章的主要内容就是理解数字滤波器结构的表示方法； 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构，掌握IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构； 有限长脉冲响应(FIR)基本网络结构，掌握FIR滤波器的直接型、级联型、频率采样型结构； *后，阐述了滤波器网络结构的状态变量分析方法。 5.1引言 1. 描述数字滤波器的方法 一般，数字滤波器可以采用下面4种方法描述。 (1) 系统单位脉冲响应h(n)(系统的时域特性)。 (2) 系统频率响应(变换域特性)： H(ejω)=∑∞n=－∞h(n)·e－jωn，Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(51) (3) 系统函数H(z)(变换域特性)： H(z)=∑∞n=－∞h(n)·z－n(52) (4) 差分方程(输入输出序列间的关系)： y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i)(53) 2. 实现方法 硬件实现： 根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件设计成一台专门的设备，构成专用的信号处理机。 软件实现： 直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让计算机执行。 为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理(运算)，必须把式(52)或者式(53)变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。其实，式(53)就是对输入信号的一种直接算法，如果已知输入信号x(n)以及ai、bi和n时刻以前的y(n－i)，则可以递推出y(n)值。但给定一个差分方程，不同的算法有多种，例如： H(z)=11－3z－1+2z－2=21－2z－1－11－z－1=11－2z－1·11－z－1(54) 不同的算法将直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。本章是第6、7章数字滤波器设计的必要基础。在介绍数字系统的基本网络结构之前，先介绍网络结构的表示方法。 5.2用信号流图表示网络结构 观察式(53)可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算框图及其流图如图51所示。 图51三种基本运算的流图表示 例如,二阶数字滤波器为 y(n)=a1y(n－1)+a2y(n－2)+b0x(n) 其方框图及信号流图结构如图52所示。 图52二阶网络方框图及信号流图 图52（b）中，1、2、3、4、5为网络节点。x(n)： 输入节点或源节点(没有输入支路)，y(n)： 输出节点或阱节点(没有输出支路)。节点之间用有向支路连接，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，任意节点的节点值等于它所有输入支路的信号和。而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果支路上不标传输系数值，则认为其传输系数为1。节点2处的节点值可以用w2(n)表示，其他节点类似，则有如下方程组： w2(n)=y(n)=w1(n) w3(n)=w2(n－1)=y(n－1) w4(n)=w3(n－1)=y(n－2) w5(n)=a1w3+a2w4=a1y(n－1)+a2y(n－2) w1(n)=b0x(n)+w5(n)=b0x(n)+a1y(n－1)+a2y(n－2) 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数，可以有很多种信号流图与其对应。从基本运算考虑，满足以下三个条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1。 (2) 流图环路中必须存在延时支路。 (3) 节点和支路的数目是有限的。 从该例中可以看出，用信号流图表示系统的运算情况(网络结构)是比较简明的。以下我们均用信号流图表示网络结构。一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应(Finite Impulse Response，FIR)网络，另一类称为无限长单位脉冲响应(Infinite Impulse Response，IIR)网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程为 y(n)=∑Mi=0bix(n－i)(55) 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照式(55)，则 h(n)=bn,0≤n≤M 0,其他 系统函数为 H(z)=∑Mn=0bnz－n 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的： y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i) 系统函数为 H(z)=∑Mi=0biz－i1+∑Ni=1aiz－i(56) 例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为 y(n)=ay(n－1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。 综上所述，这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。 5.3无限长单位冲激响应滤波器的基本结构 无限长单位冲激响应(IIR)特点包括： ①系统的单位冲激响应h(n)是无限长的； ②系统函数H(z)在有限Z平面上有极点存在； ③结构上存在输出到输入的反馈，即结构是递归的。其基本结构有： 直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并联型。 5.3.1直接型 1. 直接Ⅰ型 系统输入输出关系的N阶差分方程为 y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i) 对应的系统函数为 H(z)=N(z)·1D(z)=∑Mi=0biz－i·11+∑Ni=1aiz－i=H1(z)·H2(z)(57) 直接Ⅰ型IIR滤波器结构如图53所示。 图53直接Ⅰ型IIR滤波器结构 直接Ⅰ型网络结构特点： (1) ∑Mi=0bix(n－i)表示将输入及延时后的输入组成M阶的延时网络，即横向延时网络，实现零点。 (2) ∑Ni=1aiy(n－i)表示输出及其延时组成N阶延时网络，实现极点。 (3) 总的网络由上面两个网络级联而成。 (4) 直接Ⅰ型需要N+M级延时单元。 2. 直接Ⅱ型 按照差分方程可以直接画出网络结构如图53所示。图中**部分系统函数用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)·Hz(z)，当然也可以写成H(z)=H2(z)·H1(z)，相当于将图53中两部分流图交换位置，如图54(a)所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图54(b)所示的网络结构流图，图54(b)所示的这类流图称为IIR直接Ⅱ型网络结构。 图54直接Ⅰ型向直接Ⅱ型IIR滤波器结构的转变 直接Ⅱ型网络结构优点： 结构简单、清晰，延时支路比直接Ⅰ型减少1/2。 直接Ⅱ型网络结构缺点： （1） ai、bi常数对滤波器的性能控制作用不明显； (2) 零、极点关系不明显，调整困难； (3) 系数量化效应敏感度高。 【例51】IIR数字滤波器的系统函数H(z)为 H(z)=8－4z－1+11z－2－2z－31－54z－1+34z－2－18z－3 画出该滤波器的直接Ⅱ型结构。 【解】由H(z)写出差分方程如下： y(n)=54y(n－1)－34y(n－2)+18y(n－3)+8x(n) －4x(n－1)+11x(n－2)－2x(n－3) 该滤波器的直接Ⅱ型结构如图55所示。 图55例51直接Ⅱ型结构