物理光学简明教程/顾宏

　　第3章光的衍射　　光的衍射现象是光的波动性的另一个主要标志，也是光波在传播过程中的*重要属性之一。光的衍射现象是指光波在传播的过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向而弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。使光波发生衍射的障碍物可以是开有小孔或狭缝的不透明光屏、光栅，也可以是使入射光波的振幅和位相分布发生某种变化的透明光屏，这些光屏统称为衍射屏。典型的衍射实验如图3.1所示，让一个单色点光源S发出的光透过一个圆孔Σ，照射到屏幕K上，当圆孔足够小时，在屏幕上呈现出一组明暗交替的圆环条纹。当使用白光点光源时，这一衍射图样将带有彩色。后一现象说明光的衍射与光波的波长有关。　　图3.1典型的衍射实验　　建立在光的直线传播定律基础上的几何光学不可能解释光的衍射现象，只能用光的波动理论来加以说明。历史上*早成功运用波动光学理论来解释衍射现象的是菲涅耳，他把惠更斯在17世纪提出的惠更斯原理用干涉理论加以补充，发展成为惠更斯菲涅耳原理，从而相当完善地解释了光的衍射。　　光的衍射现象与光的干涉现象就其本质来讲，都是相干光波叠加引起的光强的重新分布。不同之处在于，干涉现象是有限个相干光波的叠加，而衍射现象则是无限多个相干光波叠加的结果。因此对衍射现象的理论处理，从本质上来说与干涉现象相同，但是由于衍射现象的特殊性，在数学上遇到了很大困难。实际所用的衍射理论都是一些近似解法，本章介绍的基尔霍夫衍射理论是一种标量衍射理论(一种近似理论)，它能够处理大多数衍射问题。　　衍射现象通常分为两类进行研究： ①菲涅耳衍射，②夫琅禾费衍射。菲涅耳衍射是观察屏在距离衍射屏不是太远时观察到的衍射现象，如上述的衍射实验。夫琅禾费衍射是光源和观察屏距离衍射屏都相当于无限远的衍射。　　3.1惠更斯菲涅耳原理　　3.1.1惠更斯原理　　1690年惠更斯为了说明波在空间各点逐步传播的机理，曾提出一种假设： 波前(波阵面)上的每一点都可以看作一个次级的扰动中心，发出球面子波； 在后一时刻，这些子波的包络面就是新的波前，这就是惠更斯原理。波前的法线方向就是光波的传播方向(在各向同性介质中也是光线的传播方向)，所以应用惠更斯原理可以决定光波从一个时刻到另一个时刻的传播。　　图3.2光波通过圆孔的　　惠更斯作图法　　利用惠更斯原理可以说明衍射现象的存在。为此，我们再来考察本章开头所述的衍射实验。假设光源是单色点光源，当光源发出的球面波前到达圆孔边缘时，波前只有DD′部分暴露在圆孔范围内，其余部分受光屏阻挡(图3.2)。按照惠更斯原理，暴露在圆孔范围内的波前上的各点可以看作次级扰动中心，发出前面子波，并且这些子波的包络面决定圆孔后的新的波前。由图3.2可见，新的波前扩展到SD、SD′锥体外。利用惠更斯原理可以说明衍射的存在，但不能确定光波通过圆孔后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。　　3.1.2惠更斯菲涅耳原理　　菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到惠更斯子波来自同一光源，它们应该是相干的，因而波前外任一点光振动应该是波前上所有子波相干叠加的结果。这样用“子波相干叠加”思想补充的惠更斯原理叫作惠更斯菲涅耳原理。　　图3.3单色点光源S在P点的振动　　惠更斯菲涅耳原理是研究衍射问题的理论基础。为了能够应用这一原理定量地计算衍射问题，下面来推导它的数学表达式。　　图3.3所示的是一个单色点光源S对于空间任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面Σ上各点发出的次波在P点相干叠加的结果。假设波面Σ上任意一点Q的光场复振幅为E～(Q)，在Q点取一个面元dσ，则dσ面元上的次波源对P点光场的贡献为　　dE～(P)=CK(θ)E～(Q)eikrrdσ　　式中，C是比例系数，r=QP，K(θ)称为倾斜因子，它是与元波面法线和QP之间的夹角θ(称为衍射角)有关的量。按照菲涅耳的假设： 当θ=0时，K有*大值，且随θ的增大，K迅速减小； 当θ≥π/2时，K=0。因此，图中波面Σ上只有ZZ′范围内的部分对P点的振动有贡献，则P点的光场复振幅为　　E～(P)=CΣE～(Q)eikrrK(θ)dσ(31)　　这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯菲涅耳公式。因为一般情况下K(θ)的表达式是未知的，上式不能精确地确定E～(P)的值，所以惠更斯菲涅耳原理是不完善的。　　3.2基尔霍夫衍射公式　　惠更斯菲涅耳公式可以对一些简单形状的孔径衍射现象进行计算，但菲涅耳理论本身是不够完善的。基尔霍夫弥补了菲涅耳理论的不足，他从微分波动方程出发，利用场论中的格林定理，给惠更斯菲涅耳原理找到了比较完善的数学表达式，得到了菲涅耳理论中没有确定的那个倾斜因子的具体形式。基尔霍夫理论只适用于标量波的衍射，所以又称为标量衍射理论。它可用于处理光学仪器中遇到的大多数衍射问题。　　3.2.1基尔霍夫积分定理　　假定有一单色光波通过闭合曲面Σ传播，如图3.4所示，从第1章中的讨论可以知道，光场应满足如下的标量波动方程：　　图3.4空间积分曲面　　2E－1c22Et2=0(32)　　以及P点处，t时刻的光电场可以表示为　　E(P,t)=E～(P)e－iωt(33)　　将式(33)代入式(32)，可得　　2E～(P)+k2E～(P)=0(34)　　式中k是波矢，这就是亥姆霍兹方程。上面的三个式子中已经不考虑电磁场其他分量的影响，孤立地把E～看成一个标量场，并用曲面上的E～和E～/n的值表示面内任一点的E～，这就是标量衍射理论。　　利用场论中的格林定理可以把E～和曲面上的值联系起来。假设另有一个任意复函数U～，也满足亥姆霍兹方程　　2U～+k2U～=0(35)　　且在曲面Σ上和Σ内都有连续的一阶和二阶偏微商，则由格林定理，有　　V(U～2E～－E～2U～)=ΣU～E～n－E～U～ndσ(36)　　式中，V是闭合面Σ所包围的面积，/n表示在Σ上每一点沿外法线方向的偏微商。利用亥姆霍兹方程，上式左边的被积函数在V内处处等于零，因而，　　ΣU～E～n－E～U～ndσ=0(37)　　根据U～所满足的条件，选取U～为球面波的波函数　　U～=exp(ikr)r(38)　　式中r表示Σ内考察点P与任一点Q之间的距离。这个函数除了在r=0点外，处处解析。在r=0处不满足格林定理成立的条件，故必须从积分域中将P点除去。为此，以P为圆心作一半径为ε的小球，并取积分域为复合曲面Σ+Σε，如图3.4所示，这样，式(37)应改写为　　Σ+ΣεU～E～n－E～U～ndσ=0(39)　　根据式(38)，有　　U～n=nexp(ikr)r=cos(n,r)ik－1rexp(ikr)r(310)　　式中，cos(n,r)代表积分面外法线n与从P到积分面上Q的矢量r之间夹角的余弦。对于Σε上的Q点，cos(n,r)=－1，U～=exp(ikε)ε，所以　　U～n=1ε－ikexp(ikε)ε(311)　　所以　　ΣεU～E～n－E～U～ndσ=4πε2eikεεE～n－E～1ε－ikeikεεε→0 －4πE～(P)　　E～(P)=14πΣE～neikrr－E～neikrrdσ(312)　　这就是亥姆霍兹基尔霍夫积分定理。它的意义在于把曲面Σ内任一点P的电磁场值E～(P)用曲面上的场值E～和E～n表示出来，因而它也可以看作是惠更斯菲涅耳原理的一种数学表示。事实上，在上式的被积函数中，因子eikrr可视为由曲面Σ上的Q点向Σ内空间的P点传播的波，波源的强弱由Q点上的E～和E～n值来确定。因此，曲面上每一点可以看作一个次级光源，发射出子波，而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的叠加。　　……