泛函分析学习指南/林源渠

**章 度量空间
1 压缩映像原理
基本内容
距离空间的定义
距离空间的刻画
典型例题精解

2 完备化
基本内容
典型例题精解

3 列紧集
基本内容
典型例题精解

4 线性赋范空间
基本内容
线性空间与线性赋范空间
几个重要的：Banach空间
应用（**逼近问题）
有穷维B空间的刻画
商空间
典型例题精解

5 凸集与不动点
基本内容
定义与基本性质
Brower与Schauder不动点定理
典型例题精解

6 内积空间
基本内容
典型例题精解

第二章 线性算子与线性泛函
1 线性算子和线性泛函的定义
基本内容
线性算子和线性泛函的定义
线性算子的连续性和有界性
典型例题精解

2 Riesz定理及其应用
基本内容
典型例题精解

3 纲与开映像定理
基本内容
纲与纲推理
开映像定理
闭图像定理
共鸣定理
应用
典型例题精解

4 Hahn-Banach定理
基本内容
Hahn-Banach定理
几何形式——凸集分离定理
应用
典型例题精解

5 共轭空间·弱收敛·自反空间
基本内容
共轭空间与自然映射
弱列紧性与弱*列紧性
典型例题精解

6 线性算子的谱
基本内容
谱的定义与性质
Gelfand定理
典型例题精解

第三章 广义函数与Sobolev空间
1 广义函数的概念
基本内容
软化子（磨光函数）
基本函数空间（Ω）
广义函数的定义和基本性质
广义函数的收敛性
典型例题精解

2 B0空间
基本内容
典型例题精解

3 广义函数的运算
基本内容
广义微商
广义函数的乘法
平移算子与反射算子
几个公式
典型例题精解

4 上的Fourier变换
基本内容
Fourier变换的定义
Fourier变换的性质
几个公式
典型例题精解

5 sobolev空间与嵌入定理
基本内容
典型例题精解

第四章 紧算子与Fredholm算子
1 紧算子定义和基本性质
基本内容
典型例题精解

2 Riesz-Fredholm理论
基本内容
记号
重要结论
典型例题精解

3 紧算子的谱理论（Riesz-Schauder理论）
基本内容
紧算子的谱
不变子空间
紧算子的结构
典型例题精解

4 Hilbert-Schmidt定理
基本内容
典型例题精解

5 对椭圆型方程的应用
基本内容
对于边值问题的应用
对于特征值问题的应用
典型例题精解

6 Fredholm算子
基本内容
典型例题精解
符号表