高等代数

目录 前言 第1章 行列式 1 1.1 2阶行列式和3阶行列式 1 1.1.1 引言 1 1.1.2 2阶行列式和3阶行列式的定义 2 1.1.3 2阶行列式和3阶行列式的性质 4 1.2 n阶行列式 13 1.2.1 n阶行列式的定义 13 1.2.2 n阶行列式的性质 16 1.2.3 行列式的等价定义 18 1.3 n阶行列式的计算 24 1.3.1 数字行列式 24 1.3.2 字母行列式 26 1.3.3 行列式的Laplace定理及其应用 31 1.4 Cramer法则 37 第2章 线性方程组与n维向量 43 2.1 线性方程组Gauss消元法 43 2.1.1 方程组的解 44 2.1.2 方程组的初等变换 45 2.1.3 矩阵的初等变换 47 2.2 向量及向量之间的线性关系 54 2.2.1 n维向量的定义 54 2.2.2 向量的运算 55 2.2.3 向量组的线性相关性 57 2.3 向量组的秩与矩阵的秩 67 2.3.1 向量组的秩 67 2.3.2 矩阵的秩 69 2.4 线性方程组解的结构与求解 78 2.4.1 线性方程组解的结构 79 2.4.2 线性方程组解的判定 80 2.4.3 线性方程组求解 81 2.4.4 方程组的公共解 90 2.4.5 解析几何中的应用 91 第3章 矩阵 96 3.1 矩阵的定义及基本运算 96 3.1.1 矩阵的定义 96 3.1.2 矩阵的基本运算 98 3.1.3 矩阵乘积的行列式与秩 106 3.2 方阵的逆 110 3.2.1 方阵逆的定义 110 3.2.2 可逆矩阵的判定与计算 112 3.2.3 矩阵方程 118 3.3 初等矩阵 122 3.3.1 初等矩阵的定义 122 3.3.2 初等矩阵的应用 124 3.4 分块矩阵 131 3.4.1 分块矩阵的运算 131 3.4.2 分块矩阵的初等变换 134 3.4.3 分块矩阵的秩 135 第4章 矩阵特征值与相似对角化 139 4.1 矩阵特征值与特征向量的定义 139 4.1.1 特征值与特征向量的概念 139 4.1.2 特征值的性质 142 4.2 矩阵相似对角化 146 4.2.1 相似矩阵 146 4.2.2 矩阵相似对角化 149 4.3 正交矩阵与实对称矩阵相似对角化 154 4.3.1 正交矩阵 154 4.3.2 实对称矩阵的对角化 156 4.4 应用举例 159 第5章 二次型 165 5.1 二次型的定义与合同矩阵 165 5.1.1 二次型的定义 165 5.1.2 合同矩阵 167 5.1.3 标准二次型 168 5.2 二次型的化简 171 5.2.1 配方法 171 5.2.2 正交变换法 172 *5.2.3 初等变换法 175 5.3 唯一性与惯性定理 177 5.3.1 唯一性 178 5.3.2 二次型几何应用 181 5.4 正定二次型与非正定二次型 184 *5.5 双线性函数 190 第6章 多项式 194 6.1 一元多项式及其基本运算 194 6.1.1 数域 194 6.1.2 整数的因子分解 195 6.1.3 一元多项式的定义 196 6.1.4 一元多项式的基本运算 197 6.1.5 多项式的整除 198 6.2 *大公因式 203 6.3 因式分解 209 6.3.1 基本概念 209 6.3.2 重因式 211 6.4 一元n次代数方程 214 6.4.1 代数方程的基本定理 214 6.4.2 复数域上代数方程 216 6.4.3 一元3次代数方程的根和4次代数方程的根 218 6.5 实系数多项式和有理系数多项式 220 6.5.1 实系数多项式 220 6.5.2 有理系数多项式 221 *6.6 对称多项式 225 第7章 线性空间 230 7.1 线性空间与子空间的定义及性质 230 7.1.1 引言 230 7.1.2 线性空间的定义与性质 231 7.1.3 线性空间的基本属性 233 7.1.4 线性空间的基本概念 233 7.1.5 子空间 235 7.2 线性空间的基与维数 237 7.2.1 线性空间的维数与基 238 7.2.2 线性空间的基变换与向量的坐标 241 7.3 子空间的交与和运算 247 7.3.1 子空间的交与和 247 7.3.2 子空间的直和 251 7.4 线性空间的同构 255 7.4.1 映射 255 7.4.2 线性空间的同构 258 *7.5 线性函数与对偶空间 262 第8章 线性变换 267 8.1 线性变换的定义及运算 267 8.1.1 线性变换的定义 267 8.1.2 线性变换的运算 268 8.2 线性变换的矩阵 270 8.3 线性变换的特征值与特征向量 277 8.3.1 线性变换特征值与特征向量的定义 277 8.3.2 具有对角矩阵的线性变换 278 8.4 线性变换的值域与核 282 8.5 不变子空间 287 8.6 Jordan标准形 294 8.6.1 Jordan矩阵 294 *8.6.2 幂零变换的Jordan标准形 296 *8.7 *小多项式 298 第9章 矩阵的相似标准形 302 9.1 多项式矩阵及其初等变换 302 9.1.1 多项式矩阵的定义 302 9.1.2 多项式矩阵的初等变换 303 9.2 行列式因子 309 9.3 矩阵相似的条件 313 9.4 初等因子与Jordan标准形 315 9.4.1 初等因子 316 9.4.2 初等因子确定Jordan标准形 319 *9.5 矩阵函数简介 324 第10章 Euclid空间 329 10.1 Euclid空间的定义与性质 329 10.2 标准正交基 334 10.3 Euclid空间上的正交变换 339 10.4 正交补空间 341 *10.5 *小二乘法 345 *10.6 酉空间 348 部分习题参考答案或提示 352 参考文献 374