包邮普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等

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作者：代鸿、孔昭毅、党庆一、赵润峰

出版社：清华大学出版社

本类榜单：教材

分类：教材 > 研究生/本科/专科教材

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图文详情

ISBN：9787302526292
装帧：平装
册数：暂无
重量：暂无
开本：16开
页数：240
出版时间：2018-03-01
条形码：9787302526292 ; 978-7-302-52629-2

本书特色

本书分为上、下两册.下册内容包括: 微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分法及其应用，重积分和曲线积分，无穷级数共5章. 全书弱化了定理证明，在例题及习题的选取上突出了应用性，强化了高等数学课程与后续专业课程的联系，便于教学和自学. 本书可作为普通高等学校（少学时）、独立学院、成教学院、民办学院本科非数学专业的教材.本书还突出了高等数学在经济中的应用，因而经济类本科院校同样适用.

内容简介

节选

第9章多元函数微分法及其应用上册中讨论的函数只有一个自变量,这种函数称为一元函数.然而在许多实际问题中,很多量是由多方面的因素决定的,反映到数学上就是一个变量依赖于多个变量的情形.这就提出了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.讨论时以二元函数为主，进而推广到二元以上的多元函数. 9.1多元函数的基本概念〖*4/5〗9.1.1平面点集定义9.1.1坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作D={(x,y)|(x,y)具有性质P}例如,平面上以原点为圆心,半径为2的圆内所有点的集合是D={(x,y)|x2+y2 如果点集 D 内任意两点都可用有限条折线连接起来,且该折线上的点都属于 D，则称点集 D 是连通集(如图9.1.3所示). 连通的开集称为区域或开区域.开区域同它的边界组成的点集称为闭区域.例如,集合 (x,y)|1 对于点集 D，如果存在原点的某一个邻域 U(O)，使得图9.1.4 DU(O) 则称点集D为有界集(如图9.1.4所示).反之,称 D 为无界集.例如,集合 (x,y)|1≤x2+y2≤4是有界闭区域,集合 (x,y)|x+y>0 是无界开区域,集合 (x,y)|x+y≥0 是无界闭区域. 9.1.2n维空间由平面解析几何知道R,R2,R3 分别表示实数,二元有序数组 (x,y)，三元有序数组 (x,y,z) 的全体,它们分别对应于数轴,二维平面,三维立体空间.推广到一般情况，n 元有序数组 (x1,x2,…,xn) 的全体用Rn 来表示,它对应于 n 维空间.即Rn=(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,2,…,n 任意一个n元有序数组(x1,x2,…,xn)称为n维空间的一个点P，表示为P(x1,x2,…,xn)，其中xi(i=1,2,…,n)称为点P的第i个坐标. 为了集合Rn 中的元素建立联系,在Rn 中定义的线性运算如下: 设 x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn) 为Rn 中的任意两个元素，λ∈R.规定 x±y=(x1±y1,x2±y2,…,xn±yn)，λx=(λx1,λx2,…,λxn) 设Rn 中任意两点为 P(x1,x2,…,xn) 与 Q(y1,y2,…,yn)，则 P 与 Q 之间的距离表示为 PQ，规定 PQ=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2 显然，n=1,2,3 时,上述规定与数轴上,平面直角坐标系及空间直角坐标系中两点间的距离公式是一致的.由于 Rn 中线性运算和距离的引入,则前面平面点集所叙述的一系列概念,都可以推广到 Rn 中去了.例如，Rn 中的点 P(x1,x2,…,xn) 的邻域 U(P,δ) 可表示为 U(P,δ)=QPQ 在一元函数中,函数关系是因变量的取值仅依赖于一个自变量,而在实际问题中需研究的是因变量依赖于多个自变量的函数关系.例如,圆柱体的体积 V=πr2h，其中 V 是由圆柱体的半径 r 和 h 决定的. 定义9.1.3设 D 是平面上的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 (x,y)，都存在唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的二元函数,记为 z=f(x,y),(x,y)∈D 其中 x,y 称为自变量，z 称为因变量.点集 D 称为函数 z=f(x,y) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D).即 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)∈D 二元函数在点 (x0,y0) 取得的函数值,记为zx=x0y=y0，z(x0,y0)或f(x0,y0) 类似地可定义三元及以上的函数. 定义9.1.4设 D 是 n 维空间Rn 内的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 P(x1,x2,…,xn)，都存在唯一确定的实数 y 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的 n 元函数,记为 y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D 其中 x1,x2,…,xn 称为自变量，y 称为因变量.点集 D 称为函数 y=f(x1,x2,…,xn) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D). 当 n≥2 时，n 元函数称为多元函数.与一元函数类似,一般地,由解析式给出的多元函数 y=f(P) 的自然定义域就是使这个式子有意义的自变量所组成的点集. 例1求 f(x,y)=9－x2－y2+ln(x2+y2－4) 的定义域. 解要使表达式有意义,必须 9－x2－y2≥0 x2+y2－4>0 即 4<> 二元函数的几何意义设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，取P(x,y)∈D，对应的函数值为z=f(x,y)，于是有序数组(x,y,z)确定了空间上的一点M(x,y,z).当(x,y)取遍D中的所有点时,得到一个空间点集 (x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D 称为二元函数 z=f(x,y) 的图形(如图9.1.5所示). 二元函数的图形是空间中一张曲面,它在 xOy平面上的投影区域就是该函数的定义域.例如,二元函数 z=1－x2－y2 表示以原点为中心,1为半径的上半球面(如图9.1.6所示). 图9.1.5 图9.1.6