概率论与数理统计

**章 概率论的基本概念 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科．它已广泛应用于工业、国防、经济、金融及工程技术等各个领域．事件及其概率是概率论的两个基本概念．本章从随机现象着手，给出事件的概念并讨论其关系与运算．从概率的古典定义、几何定义、统计定义出发，建立概率的公理化结构，进而给出三个重要的概率公式——乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式． 节 随机试验样市空间事件 一、随机现象 在自然界与人类社会中，人们观察到的现象存在两种重要类型：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象．确定性现象是在一定条件下必然发生，即在相同的条件下，其结果总是确定的一种现象，试验条件不变，其结果是不变的．例如，重物总是垂直落到地面；在一个大气压下，纯净水加热到100℃必然会沸腾； 电荷必相互排斥等．早期的科学就是研究这一类现象的规律性，所用的数学工具如几何、代数、微分方程等是大家所熟悉的． 随机现象是指事前不可预测的，即在相同条件下重复进行试验，可能发生多种不确定结果的现象；在试验之前，无法预测哪一种结果发生．例如抛一枚匀质硬币，可能正面向上，也可能反面向上；新生婴儿的牲别可能是男或女；向一目标靶射击，各次弹着点不尽相同等，这些现象都是随机现象． 随机现象从表面看似乎无规律可循，就个别试验来看，无法预知其确切结果．但人们经过长期实践和研究，发现这一类现象在大量重复试验或观察下，其结果呈现一种规律性．例如，多次重复抛一枚匀质硬币，出现正面和反面的次数几乎各占一半；向一目标射击，弹着点按一定的规律分布等．这种通过大量重复试验和观察呈现出来的规律性，称为随机现象的统计规律性．概率论与数理统计就是从数量角度研究随机现象统计规律性的一门数学学科. 二、随机试验与事件 要对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称为试验． 在概率论中，所研究的试验有以下特征： (1)可重复性：试验可以在相同条件下重复进行； (2)可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； (3)不确定性：进行每次试验之前不能确定哪一个结果会出现． 我们称具有上述三个特征的试验为随机试验，简称试验，通常用字母E表示． 例1.1 抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况． 例1.2 掷一颗骰子，观察出现的点数，结果可能是1点，2点， ，6点中的一个． 例1.3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数．为数学上的方便起见，认为呼叫次数没有上限，则可能的呼叫次数为O，1，2， ． 例1.4 在一个均匀陀螺的圆周上，均匀刻上区间[0，1）的数字．旋转这个陀螺，当它停下时，把圆周与桌面接触点处的刻度记录下来，每次所记录的刻度是区间[0，1)上的一个数． 例1.5 测量人的身高，一般来说，人的身高是区间(0，3)(单位：m)中的一个实数． 进行一次试验会观察到多种不同的可能结果，试验的每一个可能结果一般称为随机事件，简称事件，用大写英文字母A，B，C， 表示． 我们把不可能再分的事件称为基本事件．如例1.1中“出现正面”，例1.2中“出现1点”、。出现2点”等都是基本事件．曲若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件，例1.2中“出现奇数点”是复合事件，它是由“出现1点”、“出现3点”、“出现5点”三个基本事件组合而成，一个事件是否为基本事件是相对于试验目的来说的. 在每次试验中必然发生的事件称为必然事件，必然事件用S表示，必然不发生的事件称为不可能事件，不可能事件用乃表示．例1.2中，“出现的点数大于0”是必然事件，“出现的点数大于6”是不可能事件．必然事件与不可能事件已经失去不确定性，也就是说它们不是随机事件，但为了以后讨论方便，我们把它们当作特殊的事件． 三、事件间的关系与运算 在实际问题中，往往要研究一个试验中不同事件间的联系． 1．子事件若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A是事件B的子事件，记作AcB或.如例1.2中，令A表示“出现奇数点”，B表示“出现点数小于等于5”，则AcB.为方便起见，规定对任一事件A，有够cA，AcS. 2．相等若ACB且BcA，则称事件A与事件B相等，记作A=B. 3．和事件“事件A与B至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记为AUB.如例1.2中，令A表示“出现奇数点”，B表示“出觋的点数大于等于5”，则AUB表示“出现点数是奇数，或大于等于5”，即“出现点数为1，3，5，6之一”． 4．积事件“事件A与B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记为A nB或AB.如例1.2中，令A表示“出现奇数点”，B表示“出现的点数大于等于5”，则AnB表示“出现点数是奇数，且大于等于5”，即“出现点数为5”， 和事件与积事件可以推广到有限多个事件的情形，即 有时还需要考虑到可列无限多个事件，需要把和事件与积事件推广到可列无限多个的情形，即 5．差事件“事件A发生而事件B不发生”这一事件称为事件A与B的差事件，记作A-B.如例1.2中，令A表示“出现奇数点”，B表示“出现的点数大于等于5”，则A-B表示“出现点数是奇数，且不能大于等于5”，即“出现点数为1或3”． 6．互不相容事件若事件A与B不能同时发生，即AB=万，则称事件A与B是互不相容的（互斥的）．如例1.2中，令A表示“出现点数为1”，B表示“出现点数为2”，则事件A与B是互不相容的． 7．逆事件事件S-A称为事件A的逆事件，记为万．如在例1.2中，令A表示“出现奇数点”，B表示“出现偶数点”，则事件B是事件A的逆事件，即有B=A. 8. 划分如果事件Ai，A2， ，A。满足如下条件： (1) (2) (A1，A2， ，A这72个事件是两两互不相容的)，则称A1，A2， ，A为S的一个划分（或称A1，A2， ，A为S的一个完备事件组）． 可以验证一般事件的运算满足下述运算规律： (1)交换律： (2)结合律： (3)分配律： (4)德摩根(DeMorgan)律： 对有限或可列无限多个事件A，恒有 四、样本空间事件的集合表示 为了使概率论建立在严密的理论基础上，下面从集合论的角度来描述事件，这样 直观且易于理解， 对一个试验的每一个基本事件，用只含一个元素的单点集{8）表示，由若干个基本事件组成的复合事件，用包含若干个元素的集合表示，由所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间（或基本空间），用S表示，每个基本事件对应的元素称为样本空间的样本点．显然，基本事件对应的单点集和复合事件所对应的集合都是样本空间S的子集合． 为了表述方便，可以用适当的符号或数字表示试验结果，用这些符号或数字组成的集合表示样本空间．例如，在例1.1中，样本空间为S=(H，T）；在例1.2中，若用数字“i”表示“出现i点”(i=1，2，3，4，5，6)，则S={l，2，3，4，5，6）便是由所有结果构成的样本空间；在例1.4中，以数字z表示“陀螺圆周与桌面接触点的刻度”，则区间S=[0，1）便是样本空间， 一般地，称样本空间S的子集A为事件，在随机试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生， 事件可以用样本空间的子集来表示，将事件间的关系及运算与集合间的关系及运算进行比较，可以看出事件间的关系及运算与集合间的关系及运算是一致的．我们把两者间的关系及运算列于表1-1． 表1-1 以平面上的一矩形区域表示样本空间，矩形内的每一点表示样本点，用两个小圆形表示上述事件A与B，阴影部分表示事件A与B的各种关系及运算，见图1 -1． 第二节 事件的市既率 研究试验不仅要知道它可能出现哪些事件， 重要的是要研究事件出现的可能性大小，也就是找到一个合适的数量指标来表征事件在一次试验中发生的可能性大小．这个数量指标至少应满足两个要求： (1)它应具有一定的客观性，不能随意改变，并且理论上可通过在相同条件下大量重复试验予以检验． (2)它要符合实际，事件发生可能性大的，对应值就大；事件发生可能性小的，对应值就小；必然事件对应的值 ，不可能事件对应的值 小，等于0． 我们把表征事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率，事件A的概率以P(A)表示． 在概率论的发展 ，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法．我们将从这些概率模型着手，给出概率定义的公理化方法． 一、古典概型 我们称具有下列两个特点的试验模型为古典概率模型： (1)基本事件总数为有限个； (2)每个基本事件发生的可能性大小相同． 古典概率模型简称古典概型，又称等可能概型．它是概率论发展初期的主要研究对象，也是实际应用中常见的一种概率模型． 下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式． 设试验的样本空间为S= （e1，e2， ，e3)．试验中每一个基本事件发生的可能性相同，则对任意一个事件A，定义其概率P(A)为 (2.1) (2.1)式定义的概率称为古典概率， 例2.1 掷一颗匀质骰子，设A表示“出现奇数点”，求P(A)． 解样本空间S={1，2，3，4，5，6），而A=（1，3，5），S中包含有限个元素，且每个基本事件发生的概率相同，故 例2.2 一个口袋中装有10只球，其中6只红球，4只白球，从袋中取球两次，每次一只，取球方式有两种： (1) 次取一只，观察颜色后放回，然后再取下一只，这种取球方式称为放回抽样； (2) 次取一只不放回袋中，再从余下的球中取第二只，这种取球方式称为不放回抽样，试就两种方式分别求取到两只球都是红球的概率． 解 设A表示“取到的两只球都是红球”． (1)放回抽样 因为是放回抽样，每次都是从10只球中取一只球，所以所有可能取法有102种，即样本空间的基本事件数为. 袋中红球有6只，取到两只球都是红球的取法有62种，即A包含的基本事件数为忌=62.按古典概率计算 (2)不放回抽样 由于是不放回抽样，因此 次从10只球中抽取一只球，而第二次只能从剩下的9只球中抽取一只，故所有可能取法有10×9=90种，即样本空间的基本事件数为n=90． 同理，可求得A包含的基本事件数为k-6×5=30. 所以，不放回抽样时 一般情况下，放回抽样与不放回抽样计算的概率是不同的．当抽取的个体数量很大时，放回抽样与不放回抽样计算的概率差别很小．例如本例中，当球的总数为100只，其中红球60只，白球40只时，计算出事件A的概率分别为0.360和0.358.所以实际工作中常利用这一点，把抽样对象数量较大时的不放回抽样，当作放回抽样来处理，这样计算概率较简单． 例2.3 设有k(k≤365)个人，且每个人的生日在一年（以365天计算）中的每 都是等可能的，求他们生日各不相同的概率． 解 基本事件总数为3656，所求事件包含基本事件数为365×364× ×（365-k+l），故所求概率为 例2.4 设有N件产品，其中N1件一等品，N2件二等品，N3件三等品，N1+N2 +N3 =N.从中任取n件，问其中恰有n1件一等品，n件二等品，三等品的概率是多少？ 解 从N件产品中任取n件共有n种取法，n件中恰有n件一等品，n2件二等品