数学物理方法与仿真

**篇 复变函数
第1 章 复数与复变函数..................... 3
1. 1 复数概念及其运算..................... 3
I. I. 1 复数概念…….................……. 3
I. 1. 2 复数的基本代数运算............... 4
1. 2 复数的表示.........….................. 4
I. 2. 1 复数的几何表示..............…… ·4
1. 2. 2 复数的三角表示.......…........... 6
I. 2 3 复数的指数表示….................. 6
1.2.4 共辄复数…........….........…… ·7
1.2.5 复球面、元穷远点........….......... 7
1. 3 复数的乘幕与方根…...... … 8
I. 3 1 复数的乘罪.......................…. 8
I. 3. 2 复数的方根..............….......... 9
I. 3. 3 实践编程：正十七边形的几何作图法.............................. 10
1. 4 区域…........……................... 11
I. 4 1 基本概念…......... …… 11
I. 4. 2 区域的判断方法及实例分析…… 14
1. 5 复变函数........……………....... 14
I. 5 1 复变函数概念….................. 14
I. 5. 2 复变函数的儿何意义一一映射… 15
1. 6 复变函数的极限........……....... 16
I. 6. 1 复变函数极限概念.................. 16
I. 6. 2 复变函数极限的基本定理…… 17
1. 7 复变函数的连续........……....... 18
I. 7. 1 复变函数连续的概念............... 18
I. 7. 2 复变函数连续的基本定理…… 18
1. 8 典型综合实例……...............… 19
小结..............…............................ 23
习题1 …........... ........ …… 25
计算机仿真编程实践……...............… 26
第2 章 解析函数........................... 28
2. 1 复变函数导数与微分….…… 28
2 1 1 复变函数的导数…..............…. 28
2. 1. 2 复变函数的微分概念............... 30
2 1 3 可导的必要条件..................... 30
2. 1. 4 可导的充分必要条件............... 32
2 1 5 求导法则…… ........ …. 33
2. 1. 6 复变函数导数的几何意义......... 34
2.2 解析函数……… ........ …. 35
2 2. 1 解析函数的概念……............... 35
2. 2. 2 解析函数的法则..................... 36
2.2.3 函数解析的充分必要条件......... 37
2.2.4 解析函数的几何意义（映射的
保角性） ….......….............. 39
2.3 初等解析函数........................ 40
2. 3. 1 指数函数（单值函数） ............... 40
2. 3. 2 对数函数一一指数函数的
反函数（多值函数） .......…........ 41
2.3.3 三角函数（单值函数） ............... 43
2. 3.4 反三角函数（多值函数）…......... 45
2.3.5 双曲函数（单值函数） ............... 46
2. 3. 6 反双曲函数（多值函数）….…. 47
2.3. 7 整幕函数z＂（单值函数）…......... 47
2.3.8 一般辱函数与根式函数w=＇:fi
（多值函数）………............... 48
·2. 3. 9 多值函数的基本概念…… …. 49
2.4 解析函数与调和函数的关系…… 51
2.4. 1 调和函数与共辄调和函数的概念…........……................ 51
2.4.2 解析函数与调和函数之间的关系…........……................ 51
2.4.3 解析函数的构建方法…… …. 52
2.5 解析函数的物理意义平面矢量场………......... …. 53
2. 5. 1 用解析函数表述平面矢量场...... 53
2. 5. 2 静电场的复势..................... 54
2.6 典型综合实例.............…........ 56
小结…·........... ........ …… 58
习题2 ................….............…....... 59
计算机仿真编程实践......... …… ω
第3 章 复变函数的积分...............… 61
3. 1 复变函数积分及性质….........… 61
3. 1. 1 复变函数积分的概念............... 61
3. 1. 2 复积分存在的条件及计算方法… 62
3. 1. 3 复积分的基本性质.................. 62
3. 1.4 复积分的计算典型实例.......….. 63
3. 1. s 复变函数环路积分的物理意义... 64
3.2 柯西积分定理及其应用.........… 65
3 2 1 柯西积分定理………….. 65
3.2.2 不定积分…........….........…. 66
3. 2 3 典型应用实例………….. 68
3. 2.4 柯西积分定理（柯西古萨定理）的物理意义.................. 68
3.3 基本定理的推广一一复合闭路定理…................................. 69
3.4 柯西积分公式........................ 72
3. 4.1 有界区域的单连通柯西积分公式................….............. 72
3.4.2 有界区域的复连通柯西积分公式................................. 73
3.4.3 元界区域的柯西积分公式......... 74
3.5 柯西积分公式的几个重要推论… 76
3. 5.1 解析函数的元限次可微性（高阶导数公式）………… …… 76
3.5.2 解析函数的平均值公式…......... 78
3.5 3 柯西不等式......... …… 78
3.5.4 刘维尔定理........................ 79
3.5 s 莫勒纳定理.......….............. 79
3.5.6 *大模原理.......….............. 79
3.5 7 代数基本定理….................. 80
3.6 典型综合实例.............…........ 80
小结............................................. 85
习题3 …........... ........ …… 86
计算机仿真编程实践………............... 88
第4 章 解析函数的幂级数表示…… 89
4. 1 复数项级数的基本概念…......... 89
4. 1 1 复数项级数概念….................. 89
4. I. 2 复数项级数的判断准则和定理… 89
4.2 复变函数项级数..................... 91
4.3 幂级数................................. 93
4 3. 1 幂级数概念........….........…. 93
4. 3. 2 收敛圆与收敛半径…… …. 94
4 3 3 收敛半径的求法..................... 95
4.4 解析函数的泰勒级数展开式…… 98
4.4. 1 泰勒级数…........................ 98
4.4.2 将函数展开成泰勒级数的方法… 99
4.5 罗朗级数及展开方法............... 100
4. s. 1 罗朗级数…........…….......... 100
4. s. 2 罗朗级数展开方法实例......... 103
4.5.3 用级数展开法计算闭合环路积分..............…........….. 105
4.6 典型综合实例.........…........…. 105
小结.........….............................. 108
习题4 ..................……........……. 110
计算机仿真编程实践................….. 112
第5 章 留数定理………·…….. 113
5. 1 解析函数的孤立奇点............... 113
s. I. 1 孤立奇点概念.................…. 113
s. I. 2 孤立奇点的分类及其判断定理…….......…………….. 113
5.2 解析函数在元穷远点的性质….. 117
5.3 留数概念........….......…......... 118
5.4 留数定理与留数和定理…......... 120
5.5 留数的计算方法..................... 121
s. s. 1 有限远点留数的计算方法.….121
5.5.2 元穷远点的留数计算方法......... 123
5.6 用留数定理计算实积分.........… 125 ,,.
5. 6. 1 / R( cos8 ,sin8) d8 型裂分…… 125
5 6 2 I 一一一出型积分….......….. 127
5.6.3 r:f(x）型积分..............…….......... 128
5.6.4 其他类型（积分路径上有奇点）的识分计算举例................….. 130
5. 7 典型综合实例……… … ….. 132
小结.............….......................... 136
习题5 …..........…….........…........ 137
计算机仿真编程实践……............... 139
第6 章 保角映射…........................ 140
6. 1 保角映射的概念……............... 140
6.2 分式线性映射........................ 141
6.2.1 分式线性映射的概念…......... 141
6.2.2 两种基本映射……............... 142
6.2.3 分式线性映射的性质........…. 143
6.2.4 分式线性映射的确定及应用…… 145
6.2.5 三类典型的分式结性映射......... 148
6.3 几个初等画数所构成的映射…… 150
6. 3. 1 幕函数映射........…........….. 150
6.3.2 指数函数w=e＇ 映射…………… 151
·6. 3. 3 儒可夫斯基函数映射.... ...….. 152
6.4 典型综合实例........…….......… 153
小结.............………...............….. 156
习题6 .............…... .....…..... ..….. 157
计算机仿真编程实践................….. 158
**篇复变函数论全篇总结框图…… 158
**篇综合测试题........................ 159

第二篇 数学物理方程
第7 章 数学建模一一散学物理定解问题........……................… 162
7. 1 数学建模一一波动方程类型的建立.................…................ 163
7. 1.1 被动方程的建立……………… 163
7. 1. 2 波动方程的定解条件…......... 169
7.2 数学建模一一热传导方程类型的建立.................…................ 171
7.2.1 数学物理方程一一热传导类型方程的建立…….......…………….. 171
7.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件…….......…………….. 174
7.3 数学建模一一稳定场方程类型的建立.................................... 175
7. 3.1 稳定场方程类型的建立......... 175
7.3.2 泊松