数值分析与算法

目录
第1章数值计算导论1
1.1概述1
1.1.1数值计算与数值算法1
1.1.2数值计算的问题与策略2
1.1.3数值计算软件4
1.2误差分析基础6
1.2.1数值计算的近似6
1.2.2误差及其分类7
1.2.3问题的敏感性与数据传递误差估算11
1.2.4算法的稳定性14
1.3计算机浮点数系统与舍入误差16
1.3.1计算机浮点数系统16
1.3.2舍入与机器精度18
1.3.3浮点运算的舍入误差20
1.3.4抵消现象21
1.4保证数值计算的准确性22
1.4.1减少舍入误差的几条建议22
1.4.2影响结果准确性的主要因素25
评述26
算法背后的历史： 浮点运算的先驱——威廉·卡亨27
练习题28
上机题29
第2章非线性方程求根31
2.1引言31
2.1.1非线性方程的解31
2.1.2问题的敏感性32
2.2二分法32
2.2.1方法原理32
2.2.2算法稳定性和结果准确度34
2.3不动点迭代法36
2.3.1基本原理36
2.3.2全局收敛的充分条件37
2.3.3局部收敛性39
2.3.4稳定性与收敛阶40
2.4牛顿迭代法41
2.4.1方法原理42
2.4.2重根的情况44
2.4.3判停准则44
2.4.4牛顿法的问题45
2.5割线法与抛物线法45
2.5.1割线法46
2.5.2抛物线法47
2.6实用的方程求根技术48
2.6.1阻尼牛顿法48
2.6.2多项式方程求根48
2.6.3通用求根算法zeroin49
应用实例： 城市水管应埋于地下多深52
2.7非线性方程组和有关数值软件53
2.7.1非线性方程组53
2.7.2非线性方程求根的相关软件55
评述56
算法背后的历史： 牛顿与牛顿法57
练习题58
上机题59
第3章线性方程组的直接解法61
3.1基本概念与问题的敏感性61
3.1.1线性代数中的有关概念61
3.1.2向量范数与矩阵范数64
3.1.3问题的敏感性与矩阵条件数68
3.2高斯消去法71
3.2.1基本的高斯消去法71
3.2.2高斯约当消去法74
3.3矩阵的LU分解78
3.3.1高斯消去过程的矩阵形式78
3.3.2矩阵的直接LU分解算法81
3.3.3LU分解的用途84
3.4选主元技术与算法稳定性86
3.4.1为什么要选主元86
3.4.2使用部分主元技术的LU分解88
3.4.3其他选主元技术92
3.4.4算法的稳定性93
3.5对称正定矩阵与带状矩阵的解法94
3.5.1对称正定矩阵的Cholesky分解94
3.5.2带状线性方程组的解法97
应用实例: 稳态电路的求解100
3.6有关稀疏线性方程组的实用技术101
3.6.1稀疏矩阵的基本概念102
3.6.2MATLAB中的相关功能104
3.7有关数值软件107
评述109
算法背后的历史: 威尔金森与数值分析110
练习题111
上机题113
第4章线性方程组的迭代解法114
4.1迭代解法的基本理论114
4.1.1基本概念114
4.1.21阶定常迭代法的收敛性115
4.1.3收敛阶与收敛速度118
4.2经典迭代法120
4.2.1雅可比迭代法120
4.2.2高斯赛德尔迭代法121
4.2.3逐次超松弛迭代法123
4.2.43种迭代法的收敛条件125
应用实例： 桁架结构的应力分析128
4.3共轭梯度法简介130
4.3.1*速下降法130
4.3.2共轭梯度法133
4.4各种方法的比较137
4.4.1迭代法之间的比较137
4.4.2直接法与迭代法的对比140
4.5有关数值软件141
评述142
算法背后的历史： 雅可比144
练习题145
上机题146
第5章矩阵特征值计算148
5.1基本概念与特征值分布148
5.1.1基本概念与性质148
5.1.2特征值分布范围的估计152
5.2幂法与反幂法154
5.2.1幂法154
5.2.2加速收敛的方法158
5.2.3反幂法160
应用实例： Google的PageRank算法162
5.3矩阵的正交三角化165
5.3.1Householder变换165
5.3.2Givens旋转变换167
5.3.3矩阵的QR分解168
5.4所有特征值的计算与QR算法172
5.4.1收缩技术172
5.4.2基本QR算法173
5.4.3实用QR算法的有关技术176
5.5奇异值分解简介179
5.5.1基本概念与奇异值分解定理179
5.5.2有关性质与计算方法182
5.6有关数值软件184
评述186
算法背后的历史： A.Householder与矩阵分解187
练习题188
上机题191
第6章函数逼近与函数插值193
6.1函数逼近的基本概念193
6.1.1函数空间193
6.1.2函数逼近的不同类型196
6.2连续函数的*佳平方逼近198
6.2.1一般的法方程方法198
6.2.2用正交函数族进行逼近202
6.3曲线拟合与*小二乘法206
6.3.1问题的矩阵形式与法方程法206
6.3.2用正交化方法求解*小二乘问题209
应用实例: 原子弹爆炸的能量估计213
6.4函数插值与拉格朗日插值法214
6.4.1插值的基本概念214
6.4.2拉格朗日插值法215
6.4.3多项式插值的误差估计218
6.5牛顿插值法220
6.5.1基本思想220
6.5.2差商与牛顿插值公式221
6.6分段多项式插值226
6.6.1高次多项式插值的病态性质226
6.6.2分段线性插值227
6.6.3分段埃尔米特插值228
6.6.4保形分段插值231
6.7样条插值函数233
6.7.1三次样条插值233
6.7.2三次样条插值函数的构造234
6.7.3B样条函数236
评述239
算法背后的历史: 拉格朗日与插值法240
练习题242
上机题244
第7章数值积分与数值微分246
7.1数值积分概论246
7.1.1基本思想246
7.1.2求积公式的积分余项与代数精度248
7.1.3求积公式的收敛性与稳定性249
7.2牛顿柯特斯公式250
7.2.1柯特斯系数与几个低阶公式250
7.2.2牛顿柯特斯公式的代数精度252
7.2.3几个低阶公式的余项253
7.3复合求积公式254
7.3.1复合梯形公式254
7.3.2复合辛普森公式255
7.3.3步长折半的复合求积公式计算257
7.4龙贝格积分算法与理查森外推258
7.4.1复合梯形公式的余项展开式258
7.4.2理查森外推法259
7.4.3Romberg算法260
7.5自适应积分算法262
7.5.1自适应积分的原理262
7.5.2一个具体的自适应积分算法263
7.6高斯求积公式265
7.6.1一般理论266
7.6.2高斯勒让德积分公式及其他269
应用实例： 探月卫星轨道长度计算270
7.7数值微分272
7.7.1基本的有限差分公式272
7.7.2插值型求导公式274
7.7.3数值微分的外推算法276
评述277
算法背后的历史： “数学王子”高斯279
练习题280
上机题281
第8章常微分方程初值问题的解法283
8.1引言283
8.1.1问题分类与可解性283
8.1.2问题的敏感性284
8.2简单的数值解法与有关概念286
8.2.1欧拉法286
8.2.2数值解法的稳定性与准确度288
8.2.3向后欧拉法与梯形法290
8.3龙格库塔方法292
8.3.1基本思想292
8.3.2几种显式RK公式293
8.3.3显式RK公式的稳定性与收敛性297
8.3.4自动变步长的RK方法298
8.4多步法300
8.4.1多步法公式的推导300
8.4.2Adams公式303
8.4.3更多讨论307
8.5常微分方程组与实用技术307
8.5.11阶常微分方程组308
8.5.2MATLAB中的实用ODE求解器311
应用实例: 洛伦兹吸引子314
评述316
算法背后的历史: “数学家之英雄”欧拉317
练习题318
上机题320
附录A有关数学记号的说明322
附录BMATLAB简介324
附录CPython数值计算简介344
附录D部分习题答案348
算法索引352
术语索引354
参考文献362