实用偏微分方程

第1章　热传导方程1
1.1　引言1
1.2　一维杆中热传导方程的推导2
1.3　边界条件11
1.4　平衡温度分布14
1.4.1　给定温度14
1.4.2　绝热边界16
1.5　二维或三维热传导方程的推导19
第2章　分离变量法32
2.1　引言32
2.2　线性性质32
2.3　在有限端处具有零温度的热传导方程35
2.3.1　概述35
2.3.2　分离变量35
2.3.3　时变常微分方程37
2.3.4　边值问题38
2.3.5　乘积解和叠加原理43
2.3.6　正弦函数的正交性46
2.3.7　实例48
2.3.8　小结50
2.4　有关热传导方程的例子：其他边值问题55
2.4.1　绝热端杆中的热传导55
2.4.2　细绝热圆环中的热传导59
2.4.3　边值问题小结64
2.5　拉普拉斯方程：求解和定性性质67
2.5.1　矩形区域内的拉普拉斯方程67
2.5.2　圆盘内的拉普拉斯方程72
2.5.3　绕过圆柱体的流体流动（升力）76
2.5.4　拉普拉斯方程的定性性质79
第3章　傅里叶级数86
3.1　引言86
3.2　收敛定理88
3.3　傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数92
3.3.1　傅里叶正弦级数92
3.3.2　傅里叶余弦级数102
3.3.3　用正弦级数和余弦级数表示f(x)105
3.3.4　偶部和奇部106
3.3.5　连续傅里叶级数107
3.4　傅里叶级数的逐项微分112
3.5　傅里叶级数的逐项积分123
3.6　傅里叶级数的复形式127
第4章　波动方程：振动弦与振动膜130
4.1　引言130
4.2　弦振动方程的建立130
4.3　边界条件133
4.4　端点固定的振动弦137
4.5　振动膜143
4.6　电磁波与声波的反射与折射145
4.6.1　斯涅耳折射定律146
4.6.2　反射波与折射波的强度（振幅）148
4.6.3　内部全反射149
第5章　施图姆–刘维尔特征值问题151
5.1　引言151
5.2　例子151
5.2.1　非均匀杆内的热流151
5.2.2　圆对称热流153
5.3　施图姆–刘维尔特征值问题155
5.3.1　一般分类155
5.3.2　正则施图姆–刘维尔特征值问题156
5.3.3　定理的举例和说明157
5.4　例子：非均匀杆中的无热源热流163
5.5　自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题167
5.6　瑞利商184
5.7　例子：非均匀弦的振动189
5.8　第三类边界条件192
5.9　大特征值（渐近行为）207
5.10　逼近性质211
第6章　偏微分方程的有限差分数值法217
6.1　引言217
6.2　有限差分与截断泰勒级数217
6.3　热传导方程224
6.3.1　概述224
6.3.2　偏差分方程224
6.3.3　计算226
6.3.4　傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析228
6.3.5　偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解235
6.3.6　矩阵记号238
6.3.7　非齐次问题242
6.3.8　其他数值格式242
6.3.9　其他类型的边界条件243
6.4　二维热传导方程247
6.5　波动方程250
6.6　拉普拉斯方程253
6.7　有限元法260
6.7.1　非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式）260
6.7.2　*简三角形有限元263
第7章　高维偏微分方程268
7.1　引言268
7.2　时间变量的分离269
7.2.1　振动膜：任意形状269
7.2.2　热传导：任意区域271
7.2.3　小结272
7.3　振动矩形膜272
7.4　特征值问题?φ φ= 0的定理叙述和说明282
7.5　格林公式、自伴算子和多维特征值问题287
7.6　瑞利商和拉普拉斯方程293
7.6.1　瑞利商293
7.6.2　依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程294
7.7　振动圆形膜和贝塞尔函数295
7.7.1　概述295
7.7.2　分离变量296
7.7.3　特征值问题（一维情形）297
7.7.4　贝塞尔微分方程299
7.7.5　奇异点和贝塞尔微分方程299
7.7.6　贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）301
7.7.7　涉及贝塞尔函数的特征值问题302
7.7.8　振动圆形膜的初值问题304
7.7.9　圆对称情形305
7.8　贝塞尔函数的进一步讨论312
7.8.1　贝塞尔函数的定性性质312
7.8.2　特征值的渐近公式313
7.8.3　贝塞尔函数的零点和结点曲线314
7.8.4　贝塞尔函数的级数表示316
7.9　圆柱体上的拉普拉斯方程319
7.9.1　概述319
7.9.2　分离变量320
7.9.3　侧面及顶部或底部为零温度的情形322
7.9.4　顶部和底部为零温度的情形323
7.9.5　修正贝塞尔函数326
7.10　球内的问题和勒让德多项式330
7.10.1　概述330
7.10.2　分离变量和一维特征值问题330
7.10.3　连带勒让德函数和勒让德多项式332
7.10.4　径向特征值问题335
7.10.5　乘积解、振动模式和初值问题335
7.10.6　球内部的拉普拉斯方程336
第8章　非齐次问题341
8.1　引言341
8.2　有源热流与非齐次边界条件341
8.3　带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）347
8.4　利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）353
8.5　受迫振动膜与共振358
8.6　泊松方程366
第9章　定常问题的格林函数374
9.1　引言374
9.2　一维热传导方程374
9.3　常微分方程边值问题的格林函数379
9.3.1　一维稳态热传导方程379
9.3.2　参数变易法379
9.3.3　格林函数的特征函数展开法382
9.3.4　狄拉克δ函数及其与格林函数的关系384
9.3.5　非齐次边界条件391
9.3.6　小结392
9.4　弗雷德霍姆择一性与广义格林函数398
9.4.1　概述398
9.4.2　弗雷德霍姆择一性400
9.4.3　广义格林函数402
9.5　泊松方程的格林函数409
9.5.1　概述409
9.5.2　多维狄拉克δ函数与格林函数410
9.5.3　用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性411
9.5.4　格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选）413
9.5.5　用格林函数解带非齐次边界条件的问题415
9.5.6　无穷空间格林函数416
9.5.7　用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数419
9.5.8　用无穷空间格林函数求半无穷平面（y>0）的格林函数：像源法420
9.5.9　圆的格林函数：像源法423
9.6　扰动特征值问题430
9.6.1　概述430
9.6.2　数学例子431
9.6.3　拟圆膜振动432
9.7　小结435
第10章　无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法437
10.1　引言437
10.2　无穷域上的热传导方程437
10.3　傅里叶变换对441
10.3.1　傅里叶级数恒等式的启示441
10.3.2　傅里叶变换442
10.3.3　高斯函数的傅里叶逆变换443
10.4　傅里叶变换与热传导方程450
10.4.1　热传导方程450
10.4.2　傅里叶变换热传导方程：导数的变换455
10.4.3　卷积定理457
10.4.4　傅里叶变换性质小结461
10.5　傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程463
10.5.1　概述463
10.5.2　半无穷区间上的热传导方程Ⅰ463
10.5.3　傅里叶正弦和余弦变换465
10.5.4　导数的变换466
10.5.5　半无穷区间上的热传导方程Ⅱ467
10.5.6　傅里叶正弦和余弦变换表469
10.6　应用变换求解的例子473
10.6.1　无穷区间上的一维波动方程473
10.6.2　半无穷带上的拉普拉斯方程475
10.6.3　半平面上的拉普拉斯方程479
10.6.4　四分之一平面上的拉普拉斯方程482
10.6.5　平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）486
10.6.6　二重傅里叶变换表490
10.7　散射和逆散射495
第11章　波动方程和热传导方程的格林函数499
11.1　引言499
11.2　波动方程的格林函数499
11.2.1　概述499
11.2.2　格林公式500
11.2.3　互反性502
11.2.4　使用格林函数504
11.2.5　波动方程的格林函数506
11.2.6　格林函数的另一个微分方程506
11.2.7　一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解507
11.2.8　三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）509
11.2.9　二维无穷空间格林函数511
11.2.10　小结511
11.3　热传导方程的格林函数514
11.3.1　概述514
11.3.2　热传导方程的非自伴特性515
11.3.3　格林公式516
11.3.4　伴随格林函数517
11.3.5　互反性518
11.3.6　用格林函数表示解518
11.3.7　格林函数的另一个微分方程520
11.3.8　扩散方程的无穷空间格林函数521
11.3.9　热传导方程的格林函数（在半无穷域上）522
11.3.10　热传导方程的格林函数（在有限区域上）523
第12章　线性和拟线性波动方程的特征线法527
12.1　引言527
12.2　一阶波动方程的特征线528
12.2.1　概述528
12.2.2　一阶偏微分方程的特征线法529
12.3　一维波动方程的特征线法534
12.3.1　通解534
12.3.2　初值问题（无穷区域）536
12.3.3　达朗贝尔解540
12.4　半无界弦和反射543
12.5　定长振动弦的特征线法548
12.6　拟线性偏微分方程的特征线法552
12.6.1　特征线法552
12.6.2　交通流量553
12.6.3　特征线法(Q=0)555
12.6.4　冲击波558
12.6.5　拟线性举例570
12.7　一阶非线性偏微分方程575
12.7.1　由波动方程推导出的短时距方程575
12.7.2　求解均匀介质中的短时距方程和反射波576
12.7.3　一阶非线性偏微分方程579
第13章　偏微分方程的拉普拉斯变换解法581
13.1　引言581
13.2　拉普拉斯变换的性质581
13.2.1　概述581
13.2.2　拉普拉斯变换的奇点582
13.2.3　导数的变换586
13.2.4　卷积定理587
13.3　常微分方程初值问题的格林函数591
13.4　波动方程的信号问题593
13.5　有限长度振动弦的信号问题597
13.6　波动方程及其格林函数600
13.7　用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换603
13.8　利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）608
第14章　色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法611
14.1　引言611
14.2　色散波和群速度612
14.2.1　行波和色散关系612
14.2.2　群速度Ⅰ615
14.3　波导617
14.3.1　对f频率集中周期性源的响应620
14.3.2　模式传播的格林函数620
14.3.3　模式不传播的格林函数621
14.3.4　设计思路622
14.4　光纤623
14.5　群速度Ⅱ和稳定相位法627
14.5.1　稳定相位法628
14.5.2　对线性色散波的应用630
14.6　缓变色散波（群速度和焦散曲线）634
14.6.1　色散偏微分方程的近似解634
14.6.2　焦散曲线的形成636
14.7　波包络方程（集中波数）642
14.7.1　薛定谔方程643
14.7.2　线性化KdV方程645
14.7.3　非线性色散波：KdV方程647
14.7.4　孤立子与逆散射650
14.7.5　非线性薛定谔方程652
14.8　稳定性和不稳定性656
14.8.1　常微分方程和分歧理论简介656
14.8.2　偏微分方程稳定平衡解的基本例子663
14.8.3　偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成664
14.8.4　不适定问题667
14.8.5　微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程668
14.8.6　非线性复金茨堡–朗道方程670
14.8.7　长波的不稳定性67