数学物理/杨师杰

第1章复变函数

1.1复数及几何表示

1. 复数和复数域

2. 几何表示

3. 球极投影

4. 代数基本定理

1.2函数定义

1. 映射与区域

2. 初等复变函数

1.3复变函数导数

1. 极限与导数

2. 柯西黎曼条件

3. 求导法则

1.4解析函数

1. 解析函数定义

2. 基本性质

1.5多值函数

1. 支点和割线

2. 黎曼面

3. 复射影曲线

1.6复势

1. 平面静电场

2. 平面速度场

3. 平面热流场

第2章路径积分

2.1复变函数积分

1. 积分定义

2. 基本性质

3. 计算路径积分

2.2柯西定理

1. 单连通域

2. 多连通域

3. 原函数

2.3柯西积分公式

1. 单连通域

2. 多连通域

3. 导数的积分表示

4. 模定理

2.4多值函数积分

2.5椭圆函数

1. 椭圆积分

2. 积分取逆

3. 雅可比椭圆函数

数学物理

目录

第3章级数展开

3.1复函数项级数

1. 级数收敛性

2. 幂级数

3.2泰勒级数展开

1. 泰勒定理

2. 解析函数零点

3.3洛朗级数展开

1. 双边幂级数

2. 洛朗定理

3.4奇点分类

1. 奇点

2. 孤立奇点分类

3. 支点分类

4. 解析函数分类

3.5奇性平面场

1. 源点与涡点

2. 复势

第4章留数积分

4.1留数定理

1. 留数

2. 留数计算

3. 无穷远点留数

4.2实函数积分

1. 三种基本积分类型

2. 实轴上有单极点

4.3特殊积分

1. 多值函数积分

2. 特殊回路积分

3. 半无穷积分

4. “狗骨头”积分

4.4级数求和

第5章解析函数

5.1解析延拓

5.2解析延拓函数

1. Γ函数

2. B函数

3. ψ函数

4. 黎曼ζ函数

5.3对数积分

1. 零点与极点

2. 辐角原理

3. 儒歇定理

5.4亚纯函数分解

1. 部分分式展开

2. 米塔列夫勒定理

5.5整函数乘积展开

1. 整函数因式分解

2. 无穷乘积收敛性

3. 魏尔斯特拉斯乘积定理

第6章共形映射

6.1保角变换

1. 调和方程不变性

2. 导数的几何意义

3. 共形映射

6.2初等函数变换

1. 幂函数变换

2. 指数函数和对数函数变换

3. 分式线性变换

6.3茹科夫斯基变换

1. 基本性质

2. 机翼模型

6.4多角形变换

6.5共形自映射

1. 区域自映射

2. 双曲几何

3. 茹利亚集

4. 曼德布罗集

第7章傅里叶分析

7.1傅里叶级数

1. 正交三角函数集

2. 狄里希利定理

3. 指数形式傅里叶级数

4. 三维傅里叶级数

7.2傅里叶变换

1. 傅里叶积分

2. 基本性质

3. 三维傅里叶变换

7.3卷积定理

1. 卷积函数

2. 相关函数

7.4泊松求和公式

第8章函数变换

8.1拉普拉斯变换

1. 绝对可积问题

2. 基本性质

8.2拉普拉斯逆变换

1. 分解有理式法

2. 卷积定理法

3. 黎曼梅林反演法

8.3应用举例

1. 解微分方程

2. 解积分方程

3. 实函数积分

4. 计算级数和

8.4z变换

1. z变换定义

2. 基本性质

3. 反演变换

4. 应用举例

5. 与拉普拉斯变换的关系

第9章微分方程通解

9.1常系数常微分方程

1. 齐次方程

2. 非齐次方程

3. 欧拉型方程

9.2变系数常微分方程

1. 常点

2. 正规奇点

3. 方程第二个解

4. 非齐次方程特解

9.3常系数偏微分方程

1. 齐次偏微分方程

2. 非齐次偏微分方程

9.4非线性方程

1. 波的色散

2. 孤波解

3. 怪波解

4. 椭圆方程解

5. 圆周摆

第10章方程与定解

10.1数学物理方程

1. 弦的横向振动

2. 杆的纵向振动

3. 扩散方程

4. 热传导方程

5. 声波方程

6. 其他物理方程

10.2定解问题

1. 定解条件

2. 衔接条件

10.3达朗贝尔公式

1. 无限长弦的波动方程

2. 端点反射

10.4偏微分方程分类

1. 特征方程

2. 偏微分方程标准型

10.5正交曲线坐标系

1. 坐标变换

2. 三维拉普拉斯算符

3. 高维拉普拉斯算符

第11章分离变量法

11.1齐次边界问题

1. 齐次微分方程

2. 非齐次微分方程

3. 矩形域问题

11.2非齐次边界问题

11.3周期边界问题

1. 齐次方程(拉普拉斯方程)

2. 非齐次方程(泊松方程)

11.4衔接问题

第12章积分变换法

12.1广义函数

1. δ函数

2. 基本性质

3. 阶跃函数

12.2傅里叶变换法

1. 无限空间问题

2. 半无限空间问题

12.3拉普拉斯变换法

第13章球谐函数

13.1勒让德方程

1. 球坐标系

2. 本征值问题

3. 基本性质

4. 广义傅里叶级数

5. 母函数

6. 递推关系

13.2连带勒让德方程

1. 连带勒让德函数

2. 基本性质

3. 广义傅里叶级数

13.3一般球面函数

1. 球面函数方程

2. 广义傅里叶级数

3. 加法公式

第14章本征函数论

14.1线性空间基础

1. 度量空间

2. 完备性

3. 内积空间

14.2希尔伯特空间

1. 贝塞尔不等式

2. 完备性关系

3. 函数空间

4. 连续基

14.3斯图姆刘维尔系统

1. 自伴算符

2. 斯图姆刘维尔本征方程

14.4本征值理论

1. 基本性质

2. 广义傅里叶级数

3. 几种本征值问题

14.5经典正交多项式

1. 正交多项式

2. 正交多项式分类

3. 递推关系

4. 常见正交多项式

5. 母函数

6. 按正交多项式展开

第15章特殊函数

15.1贝塞尔函数

1. 圆柱坐标系

2. 三类贝塞尔函数

3. 基本性质

4. 本征值问题

5. 广义傅里叶级数

6. 母函数

15.2虚宗量贝塞尔函数

15.3球贝塞尔函数

1. 球坐标系亥姆霍兹方程

2. 基本性质

3. 本征值问题

4. 广义傅里叶级数

5. 平面波展开

6. 变形贝塞尔方程

15.4特殊函数分类

1. 富克斯方程

2. 正规奇点

3. 超几何函数

4. 特殊函数类

15.5合流超几何函数

第16章格林函数

16.1格林函数定义

1. 形式理论

2. 二阶线性微分方程

3. 斯图姆刘维尔算符

16.2位势方程

1. 基本解

2. 电像法

3. 本征函数展开法

16.3应用举例

16.4发展方程

1. 含时问题格林函数

2. 本征函数展开法

3. 拉普拉斯变换法

16.5微扰展开

1. 形式解

2. 级数展开

第17章变分法

17.1泛函与变分

1. *速降问题

2. 泛函变分

17.2泛函极值

1. 变分法基本引理

2. 欧拉拉格朗日方程

3. 多元函数

4. 约束系统

5. 可变端点

17.3物理学之数学原理

1. 费马原理

2. *小作用量原理

3. 对称性与守恒定理

4. 哈密顿力学

17.4微分方程定解问题

1. 本征值问题

2. 非齐次方程边值问题

17.5瑞利里兹近似

附录

参考文献