高等数学

绪论预备知识 1 0.1代数式 1 一、乘法公式 1 二、因式分解 2 三、分式 4 习题0.1 5 0.2常用函数 6 一、变量、区间与邻域 6 二、函数的概念 6 三、基本初等函数 8 习题0.2 17 0.3数列 18 一、数列的概念 18 二、等差数列 18 三、等比数列 19 习题0.3 19 本章小结 20 总习题0 22 **章函数、极限与连续 23 1.1函数 23 一、函数的概念 23 二、初等函数 25 习题1.1 26 1.2极限的概念 27 一、数列的极限 27 二、函数的极限 28 三、极限的性质 30 习题1.2 31 1.3无穷小与无穷大 31 一、无穷小 31 二、无穷大 32 三、无穷小的比较 33 习题1.3 35 1.4极限的运算法则和两个重要极限 36 一、极限的四则运算法则 36 二、两个重要极限 38 习题1.4 40 1.5函数的连续性 41 一、函数连续性的定义 41 二、初等函数的连续性 43 三、闭区间上连续函数的性质 44 习题1.5 44 本章小结 46 总习题一 49 第二章导数与微分 52 2.1导数的概念 52 一、引例 52 二、导数的定义 54 三、求导举例 56 四、函数的可导性与连续性的关系 57 习题2.1 57 2.2函数的求导法则 59 一、函数和、差、积、商的求导法则 59 二、反函数的求导法则 60 三、复合函数的求导法则 61 四、基本初等函数的求导公式 63 习题2.2 63 2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 64 一、隐函数及其求导法 64 二、对数求导法 65 三、参数方程所确定的函数的导数 66 习题2.3 66 2.4高阶导数 67 习题2.4 70 2.5函数的微分 70 一、微分的概念 70 二、微分的几何意义 72 三、微分运算法则及微分公式表 72 四、微分在近似计算中的应用 73 习题2.5 74 本章小结 75 总习题二 77 第三章微分中值定理与导数的应用 80 3.1微分中值定理 80 一、罗尔(Rolle)中值定理 80 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 81 三、柯西(Cauchy)中值定理 82 习题3.1 83 3.2洛必达法则 84 一、00型和∞∞型未定式 84 二、其他类型的未定式 85 习题3.2 87 3.3函数的单调性与极值 88 一、函数单调性的判定法 88 二、函数的极值及其求法 89 习题3.3 91 3.4*大值和*小值问题 92 习题3.4 95 3.5曲线的凹凸性和拐点及函数图像的描绘 95 一、曲线的凹凸性与拐点 95 二、函数图像的描绘 98 习题3.5 99 3.6*曲线的曲率 101 一、曲率的概念 101 二、曲率的计算公式 102 三、曲率圆 103 习题3.6 103 本章小结 104 总习题三 107 第四章不定积分 110 4.1不定积分的概念 110 一、原函数 110 二、不定积分的概念 111 三、不定积分的几何意义 111 习题4.1 112 4.2基本积分公式和运算法则 113 一、基本积分公式 113 二、不定积分的运算法则 114 习题4.2 116 4.3换元积分法 116 一、**类换元积分法(凑微分法) 116 二、第二类换元积分法 120 习题4.3 122 4.4分部积分法 124 习题4.4 126 本章小结 127 总习题四 129 第五章定积分及其应用 131 5.1定积分的概念 131 一、引例 131 二、定积分的定义 133 三、定积分的几何意义 135 习题5.1 135 5.2定积分的性质 136 习题5.2 137 5.3微积分的基本定理 138 一、引例 138 二、变上限的定积分 138 三、微积分的基本定理 139 习题5.3 140 5.4定积分的换元积分法与分部积分法 141 一、定积分的换元积分法 141 二、定积分的分部积分法 142 习题5.4 142 5.5反常积分 144 一、引例 144 二、无穷限上的反常积分 144 三*、无界函数的反常积分 145 习题5.5 146 5.6定积分的应用 147 一、平面图形的面积 147 二、旋转体的体积 149 三、平行截面面积为已知的立体的体积 150 习题5.6 151 本章小结 152 总习题五 155 第六章微分方程 160 6.1微分方程的概念 160 习题6.1 163 6.2一阶微分方程 163 一、可分离变量的微分方程 163 二、一阶线性微分方程 165 习题6.2 168 6.3二阶常系数线性微分方程 169 一、二阶常系数齐次线性微分方程 170 二*、二阶常系数非齐次线性微分方程 172 习题6.3 174 本章小结 175 总习题六 177 第七章空间解析几何 179 7.1空间直角坐标系与向量 179 一、空间直角坐标系 179 二、向量的坐标 181 三、向量的模与方向余弦 181 四、向量的代数运算 182 习题7.1 183 7.2向量的数量积与向量积 183 一、向量的数量积 183 二、向量的向量积 185 习题7.2 186 7.3平面方程 186 一、平面方程 187 二、两平面的位置关系 188 习题7.3 189 7.4 空间直线方程 190 一、直线方程 190 二、直线的夹角 191 三、直线与平面的夹角 192 习题7.4 193 7.5曲面与空间曲线 193 一、曲面及其方程 193 二、旋转曲面 194 三、柱面 195 四、二次曲面 195 五、空间曲线 197 六、空间曲线在坐标面上的投影 198 习题7.5 199 本章小结 199 总习题七 202 第八章多元函数微分学及其应用 204 8.1多元函数的基本概念 204 一、平面区域的概念 204 二、多元函数的概念 204 三、二元函数的极限 206 四、二元函数的连续性 207 习题8.1 208 8.2偏导数 209 一、偏导数的定义及其计算法 209 二、高阶偏导数 211 习题8.2 213 8.3全微分 213 一、全微分的定义 214 二、全微分在近似计算中的应用 215 习题8.3 215 8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数 216 一、多元复合函数的导数 216 二、隐函数的导数 217 习题8.4 219 8.5多元函数的极值与*值 219 一、二元函数的极值 220 二、二元函数的*值 222 三、条件极值 223 习题8.5 224 本章小结 225 总习题八 228 第九章二重积分及其应用 230 9.1二重积分的概念与性质 230 一、引例 230 二、二重积分的定义 232 三、二重积分的性质 232 习题9.1 234 9.2二重积分的计算 234 一、直角坐标系下二重积分的计算 235 二、极坐标系下二重积分的计算 238 习题9.2 242 9.3二重积分的应用 243 一、几何应用 243 二、物理应用 245 习题9.3 245 本章小结 246 总习题九 248 第十章无穷级数 251 10.1常数项级数的概念与性质 251 一、引例【无限循环小数问题】 251 二、常数项级数的概念 252 三、无穷级数的性质 254 习题10.1 256 10.2常数项级数的审敛法 257 一、正项级数及其审敛法 257 二、交错级数及其审敛法 260 三、绝对收敛与条件收敛 261 习题10.2 262 10.3幂级数 263 一、函数项级数的概念 263 二、幂级数及其收敛性 263 三、幂级数的性质 266 习题10.3 267 10.4*将函数展开成幂级数 267 一、泰勒级数与麦克劳林级数 267 二、将函数展开成幂级数 269 三、幂级数的应用 270 习题10.4 272 10.5*傅里叶级数 272 一、三角函数系 273 二、将以2π为周期的周期函数展开成傅 里叶级数 273 三、奇偶函数的傅里叶级数 276 习题10.5 277 本章小结 278 总习题十 282 第十一章拉普拉斯变换 285 11.1拉普拉斯变换的概念与性质 285 一、拉普拉斯变换的概念 285 二、拉氏变换的性质 286 三、单位脉冲函数及其拉氏变换 289 习题11.1 292 11.2拉氏逆变换及拉氏变换的应用 292 一、拉氏逆变换的求法 292 二、拉氏变换的应用举例 293 习题11.2 294 本章小结 295 总习题十一 296 第十二章MATLAB实验 299 实验一函数作图与求极限 299 一、简单的数学运算 299 二、绘制平面曲线图形 300 三、求解函数极限 301 习题12.1 302 实验二用MATLAB求函数的导数 302 习题12.2 304 实验三用MATLAB求函数的极值 304 习题12.3 306 实验四用MATLAB求不定积分 306 习题12.4 308 实验五用MATLAB求定积分 308 习题12.5 310 实验六用MATLAB求解微分方程 310 习题12.6 312 实验七应用MATLAB绘制三维曲线图 312 习题12.7 313 实验八求多元函数的偏导数和极值 314 习题12.8 317 实验九用MATLAB求解二重积分 317 习题12.9 319 实验十用MATLAB作级数运算 319 习题12.10 322 实验十一用MATLAB求拉氏变换与逆变换 323 习题12.11 325 参考文献 326