数值计算原理与实现

目录
前言
第1章 数学基础与误差理论 1
1.1 微积分基础 1
1.1.1 函数的极限与连续 1
1.1.2 导数与微分 2
1.1.3 微分中值定理及 Taylor 展开 3
1.1.4 定积分及积分中值定理 4
1.2 线性代数基础 4
1.2.1 常见矩阵及其性质 4
1.2.2 方阵特征值及其对角化 5
1.2.3 线性空间与内积空间 6
1.2.4 向量范数与矩阵范数 8
1.3 误差与算法稳定性 14
1.3.1 误差分类 14
1.3.2 误差与有效数字 14
1.3.3 算法的数值稳定性 18
习题1 19
第2章 插值法 21
2.1 多项式插值 21
2.2 Lagrange 插值多项式 22
2.2.1 Lagrange 插值 22
2.2.2 Lagrange 插值余项 24
2.3 Newton 插值多项式 27
2.3.1 差商与差分 27
2.3.2 Newton 插值多项式与插值公式 30
2.3.3 Newton 插值多项式余项 32
2.4 Hermite 插值 34
2.4.1 两点三次 Hermite 插值 35
2.4.2 待定系数法与重节点差商 38
2.5 分段低次插值 40
2.5.1 Runge 现象 40
2.5.2 分段线性插值 42
2.5.3 分段三次 Hermite 插值 42
2.6 三次样条插值 44
2.6.1 三次样条插值思想 44
2.6.2 三次样条插值求法 45
2.6.3 三次样条误差界与收敛性 49
习题2 50
第3章 函数逼近与曲线拟合 52
3.1 正交多项式 53
3.1.1 正交函数族 53
3.1.2 正交多项式的结论 54
3.1.3 常用的正交多项式 55
3.2 *佳平方逼近 60
3.2.1 *佳平方逼近原理 60
3.2.2 利用正交多项式作*佳平方逼近 62
3.3 曲线拟合的*小二乘法 64
3.3.1 *小二乘拟合 64
3.3.2 利用正交多项式作*小二乘法 67
3.3.3 非线性*小二乘法的线性化 67
习题3 70
第4章 数值积分与数值微分 72
4.1 数值积分的基本概念 72
4.1.1 机械求积公式 72
4.1.2 求积公式的代数精度 73
4.2 插值型求积公式 74
4.2.1 插值型求积 74
4.2.2 求积公式余项 75
4.2.3 Newton-Cotes 公式 75
4.2.4 常用的 Newton-Cotes 求积公式 78
4.3 复化求积公式 80
4.3.1 复化梯形公式 80
4.3.2 复化 Simpson 公式 82
4.3.3 复化 Cotes 公式 82
4.3.4 复化求积公式的收敛阶 85
4.4 Romberg 算法 85
4.4.1 步长减半技术 85
4.4.2 复化梯形的减半递推 86
4.4.3 Richardson 外推加速法 87
4.4.4 Romberg 算法 88
4.5 Gauss 型求积公式 89
4.5.1 Gauss 型求积公式原理 89
4.5.2 Gauss 求积的余项 92
4.5.3 Gauss-Legendre 求积公式 93
4.5.4 Gauss-Chebyshev 求积公式 95
4.6 数值微分 96
4.6.1 利用插值多项式求导 96
4.6.2 利用三次样条函数求导 98
习题4 99
第5章 非线性方程求根 101
5.1 根的搜索 101
5.2 不动点迭代与压缩映像原理 104
5.2.1 不动点迭代 104
5.2.2 压缩映像原理 105
5.2.3 迭代法的收敛阶 107
5.3 Newton 迭代及其修正 109
5.3.1 Newton 法及其收敛性 109
5.3.2 Newton 法的修正 110
5.3.3 重根迭代 114
5.4 迭代收敛的加速方法 115
5.4.1 Aitken 加速收敛方法 115
5.4.2 Ste.ensen 迭代法 116
5.5 非线性方程组的迭代法简介 118
5.6 多变量的不动点迭代 118
5.7 多变量的 Newton 迭代法 119
习题5 121
第6章 线性方程组的直接法 123
6.1 Gauss 消去法 123
6.1.1 Gauss 消去法原理 123
6.1.2 列主元 Gauss 消去法 126
6.2 矩阵三角分解 127
6.2.1 LU 分解 127
6.2.2 三对角方程组的追赶法 132
6.2.3 Cholesky 分解 134
6.3 矩阵条件数与病态方程组 138
6.3.1 病态现象 138
6.3.2 病态线性方程组的误差分析 139
6.4 Householder 变换与 QR 分解 143
6.4.1 Householder 变换 143
6.4.2 QR 分解 145
习题6 148
第7章 线性方程组迭代法 150
7.1 经典迭代法 150
7.1.1 Jacobi 迭代 150
7.1.2 Gauss-Seidel 迭代 152
7.1.3 SOR 迭代 154
7.2 迭代法收敛性 155
7.3 共轭梯度法 160
7.3.1 *速下降法 161
7.3.2 共轭梯度法原理 162
习题7 164
第8章 方阵特征值的数值方法 166
8.1 引言 166
8.2 幂法与反幂法 168
8.2.1 幂迭代法 168
8.2.2 收敛加速方法 171
8.2.3 反幂法 172
8.3 QR 迭代法 173
8.3.1 Hessenberg 矩阵 174
8.3.2 QR 迭代法原理 177
8.3.3 Jacobi 方法 178
习题8 183
第9章 常微分方程初值问题数值解 184
9.1 单步法 184
9.1.1 Euler 法 185
9.1.2 向后 Euler 法 186
9.1.3 梯形法 187
9.1.4 局部截断误差与收敛阶 188
9.1.5 改进 Euler 法 190
9.2 高阶单步法 191
9.2.1 二阶显式 R-K 方法 192
9.2.2 三阶和四阶显式 R-K 方法 193
9.2.3 变步长的 R-K 方法 195
9.2.4 单步法的收敛性 196
9.2.5 绝对稳定性与绝对稳定域 198
9.3 线性多步法 201
9.3.1 数值积分思想求多步法 201
9.3.2 Taylor 思想求多步法 206
9.3.3 Milne 方法与 Hamming 方法 209
9.3.4 预估-校正方法 210
习题9 213
参考文献 215
附录 主要算法的 MATLAB 程序实现 216
A.1 Lagrange 插值 216
A.2 Newton 基本插值 216
A.3 Newton 向前插值 217
A.4 Hermite 插值 218
A.5 Runge 现象 218
A.6 三次样条插值 219
A.7 Schmidt 正交化构造正交多项式 220
A.8 Legendre 多项式与 Chebyshev 多项式 220
A.9 *佳平方逼近 221
A.10 *小二乘法 221
A.11 复化梯形公式 221
A.12 复化 Simpson 公式 222
A.13 复化 Cotes 公式 222
A.14 Romberg 算法 223
A.15 三点 Gauss 求积公式 224
A.16 二分法 224
A.17 迭代法 225
A.18 Newton 迭代 225
A.19 弦截法 226
A.20 抛物线法 226
A.21 Newton 下山法 227
A.22 Ste.ensen 迭代法 227
A.23 Gauss 列主元消去法 228
A.24 LU 分解法解线性方程组 229
A.25 追赶法 230
A.26 平方根分解法 230
A.27 改进平方根法分解 232
A.28 Householder 变换 232
A.29 QR 分解 233
A.30 Jacobi 迭代 233
A.31 Gauss-Seidel 迭代法 234
A.32 SOR 迭代 234
A.33 *速下降法 235
A.34 共轭梯度法 235
A.35 幂法 236
A.36 反幂法 236
A.37 用Householder变换化矩阵为Hessenberg形式 237
A.38 QR迭代法 237
A.39 Jacobi方法 238
A.40 Euler法 238
A.41 改进Euler 法 239
A.42 四阶Runge-Kutta 法 239
A.43 Milne法 240
A.44 Hamming方法 240
A.45 四阶Adams预估-校正方法 241