实变函数概要

目录
第1章 集合论初步 1
1.1 集合及其运算 1
1.1.1 基本概念 1
1.1.2 集合的运算 2
1.1.3 集合的上、下极限集 3
1.1.4 示性函数 4
1.2 映射与基数 5
1.2.1 映射 5
1.2.2 对等与基数 6
1.2.3 可数集 7
1.2.4 不可数集 10
1.3 开集 11
1.3.1 欧氏空间 11
1.3.2 开集与闭集 12
1.3.3 开集的构造与Borel 集 17
1.3.4 连续函数 19
1.4 Cantor 集 20
第2章 可测集 23
2.1 外测度 23
2.1.1 定义 23
2.1.2 性质 25
2.2 测度 27
2.2.1 可测集的定义 27
2.2.2 可测集的性质 29
2.2.3 测度的性质 31
2.3 可测集与开集 32
2.4 不可测集 35
第3章 可测函数 37
3.1 可测函数的定义及性质 37
3.1.1 可测函数的定义 37
3.1.2 可测函数的性质 39
3.1.3 可测函数的逼近定理 40
3.2 可测函数的收敛性 42
3.2.1 收敛性定义 42
3.2.2 收敛性之间的关系 43
3.2.3 依测度收敛的性质 46
3.3 可测函数与连续函数 48
第4章 可积函数 52
4.1 Lebesgue 积分的定义和性质 52
4.1.1 Lebesgue 积分的定义 52
4.1.2 Lebesgue 积分的性质 55
4.2 积分收敛定理 61
4.2.1 单调收敛定理 61
4.2.2 Fatou 引理 63
4.2.3 控制收敛定理 64
4.3 可积函数与连续函数 66
4.4 Lebesgue 积分与Riemann 积分 67
4.4.1 Riemann 可积函数的特征 67
4.4.2 Lebesgue 积分与Riemann 积分之间的关系 70
4.5 Fubini 定理 72
第5章 微分与积分 79
5.1 单调函数与有界变差函数 79
5.1.1 单调函数 79
5.1.2 有界变差函数 80
5.1.3 有界变差函数的性质 81
5.2 微积分基本定理 86
5.2.1 **连续函数 86
5.2.2 不定积分 89
第6章 Lp 空间 94
6.1 Lp 空间简介 94
6.2 Lp 空间的完备性 101
参考文献 106