吴军数学通识讲义

本书特色

——罗振宇得到App创始人 通识教育的重要性一直被人们所忽略，实际上，想要达到精英水准，单靠一个个的专业化技能是不够的。综合素养的培育必不可少。 在通识教育中，数学素以高深著称，让文科生都能读懂微积分极不容易，而《吴军数学通识讲义》做到了这一点。为什么一个学理工的人能做到这一点呢？答案就在《吴军阅读与写作讲义》中。 ——刘润知名商业顾问，润米咨询创始人，得到App50万学员专栏作者 这个世界的*底层规律，都是建立在数学的根基上。但是，很多人考大学时，只要能不再学数学，什么专业都可以。错不在你。你和学好数学之间，其实只差一个好的老师。这个好的老师，他能够把抽象的数学具体化，告诉你每一个缥缈的公式的现实作用，让你恍然大悟，原来如此。这个好的老师，就是吴军老师。作为数学系科班毕业的商业顾问，我强烈推荐你阅读吴军老师的《吴军数学通识讲义》。 ——施展外交学院教授，《枢纽》作者 数学被称作“宇宙的语言”，我们对世界的很多理解，底层往往都有一重简练而又深刻的数学逻辑。然而，应试教育往往让我们觉得，数学就是一堆枯燥的数字和公式。吴军老师深入浅出地把数学之美呈现出来，让我忍不住感叹，如果他是我当年的数学老师该有多好！

内容简介

如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？

如何在购房贷款时做出□佳选择？

如何增加简历通过初筛的几率？

如何规划公司的发展曲线？

更重要的是，

如何提升自己的认知水平？

如何改变自己的思维方式？

……



如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。



对于理工专业的读者，这本书能够帮助你更好地梳理以往的数学知识，站在更高的地方更全面地看待数学以及人类知识体系；对于非理工专业的读者，则能更好地训练自己的数学思维，让你直击本质、化繁为简，做出正确的决策。

前言

为什么我要写一系列通识读本



通识教育，在当下是一个热门话题。今天，中国人经过几代人的努力，已经解决了温饱问题，很多人也都步入了中产阶层。他们接下来就希望自己能更上一层楼，或者自己的下一代能够□□自己。但是他们普遍遇到了困境，就是在职业发展上有所谓的天花板，在社会地位提升上有所谓的阶层壁垒。通常人们在35~40岁就会遇到这样的困境，然后在接下来的大半辈子里能做的，除了享受生活、教育孩子□□自己，就是在工作中维持现状，即便这个人很努力。

为什么简单的努力破不了局呢？这就和教育、培养有关了。我们大部分人所接受的教育，只是让我们掌握了单一的或者过于专业化的技能。社会需要这种技能，我们在物质和荣誉方面获得的酬劳，就是这种技能的市场价格。有人可能会想，我多掌握一种技能，就比别人本事大了，机会就多了。这种思维方式，依然是简单工匠式的，因为一个人即便掌握了五种技能，谋生时使用的通常也只有一种。

比如在硅谷，很多工程师觉得单靠在公司的工作很难买得起□好学区的房子，于是考了房地产经纪人和保险中介人的执照，从拥有一种技能变成了三种，下班和周末加班加点地做本职工作之外的事情。虽然这样收入看似多了一些，但□后他们是否能比一心在公司工作的人走得更远呢？真的难说。这样的技能教育，接受得再多，也不过是从一种工匠变成几种工匠。

我在得到App“硅谷来信”等专栏里讲过，即使是做同一件事情，精英水准和普通执行层面水准的差距也可能是几个数量级的。要达到精英水准，就需要提高综合素质，而非获得一个个单一的技能。而提高综合素质这件事，虽然可以通过自己长期的摸索取得一些进步，但毕竟效率太低，进步的速度太慢。更有效的提高综合素质的方法，是接受通识教育。

不仅中国人，世界上不少国家的人都有名校情结。但是，世界上的□□名校，相比于二流大学，专业课讲得并没有太多的亮点，那为什么大家要上名校呢？除了学生群体素质高、教育资源多，还有很重要的一点是学生能够在那里接受到更好的通识教育。

并非只有哈佛、普林斯顿这些以文理科见长的大学才有通识教育，即便是大家心目中以理工科见长的麻省理工学院，在大学本科教育阶段也非常强调通识教育。麻省理工学院人文学科的水平其实很高，其绝大部分人文学科都能在美国排进前十名，更不用说它还有很好的商学院了。这让它的毕业生成为工业界领袖的比例非常高——占到了校友人数的40%左右。至于那些以文理科见长的名校，更是注重通识教育。普林斯顿大学著名计算机科学家、美国工程院院士李凯教授，总是要求他指导的本科生多选人文类的课程。因为在他看来，对从业者来讲，有一辈子的时间可以学习计算机技能，但是如果一开始通识教育的基础没有打好，人在职业道路上就走不远。

上述道理很多人都懂，但是苦于没有机会补足通识教育的欠缺。因为我们的大学还是严格分专业的，而高中教育则是非常强调分数的。这些做法都和通识教育的理念相违背。因此，即使在中国上了□好的大学，也未必就能受到很好的通识教育。那怎么办呢？只有在课堂以外想办法补救了。

当然，在补上通识教育这一环之前，我们要先了解什么是通识教育。

通识教育在中国还有一个更好听的词，叫作博雅教育。其实它们都是从拉丁文里的Liberal Arts一词翻译过来的，“通识教育”这种翻译强调其内容，“博雅教育”则强调其目的。

liberal是“自由”的意思，arts则通常翻译成“艺术”，让人联想到音乐、绘画、摄影、手工等，但它的含义其实更广泛一些，是指那些未必能直接用于谋生技能，包括数学、自然哲学（也就是今天的自然科学）、哲学、历史、艺术、音乐和很多其他的人文学科。那么，为什么把liberal和arts这两个词联系在一起呢？这就要从古希腊的自由民说起了。

liberal□初是指古希腊自由民的属性，自由民是希腊半岛上各个城邦的主人，有政治权利、自由意志，能够自己决定自己的生活。同时古希腊也有很多奴隶，但并非所有奴隶都像小说《斯巴达克斯》里描写的那样完全没有人身自由，天天戴着脚镣干繁重的体力活。用我们今天的话来说，古希腊很多奴隶其实属于白领，甚至是合伙人。他们可能是管家、家庭教师、乐师、画匠，甚至是店长——他们经营店铺，和主人分利。但不管奴隶的物质生活水平怎么样，是否有经济收入，他们都不是自由民，即便不少奴隶是有相当的人身自由的。

古希腊的很多奴隶都不是文盲，他们也接受教育，能识文断字，但是他们所学的都是谋生的技能。因为不是自由民，他们就不具有社会主人的心态，不会去操心那些自由民要操心的事情，当然也不用学习自由民才要学的知识，以及行使社会主人权力所需要的素养。因此，在古希腊，是否接受过通识教育，是区别自由民和奴隶的依据。

那么，接受了通识教育的希腊自由民做什么呢？大家看看苏格拉底的生活就知道了。他每天吃完早饭，和自己的泼妇老婆打个招呼，然后就到广场上去和别人辩论了。当然，遇到战争他也要去打仗，因为那是自由民的义务。

在过去物质不丰富的年代，人虽然是法律上的自由人，但是时间都用来获取谋生的基本物质了，想像苏格拉底那样生活和思考完全是奢望。因此，通识教育便无从谈起，甚至也没有必要。但是今天，中国人已经从法律上的自由人变成了经济上的自由人，接下来应该变成精神上的自由人，此时通识教育就显得特别有必要了。

当然，有人会问，你刚才提到的自由人应有的知识，能帮我多挣钱吗？能让我在单位提升两级吗？或许不能，或者说不能直接实现你的需求，因为它们和挣钱的技能无关。但是，如果你把自己当作这个世界的主人，要享受这个世界，就如同当年古希腊的自由民享受自由一样，就需要有主人的学识。人要想成为社会的精英，首先要在精神上成为精英，这样才能以精英的方式思考，以主人的态度做事，才能超出常人。

今天，中国的大学依然缺乏通识教育这个环节。虽然很多大学老师在为改变这种状态而努力，但是大家不可能等到大环境完全塑造好了才开始对自己进行通识教育。另外，很多教育工作者依然体会不到通识教育对一个人长远发展的重要性，片面地认为教育的目的是培养有知识的劳动者，而不是培养社会的主人。比如说，很多高中为了高考，把原本该有的通识教育省略了。相比之下，那些世界□□名校在通识教育方面做得要好得多。哈佛大学一直很自豪地讲，它为学生开设了6000多门课程，其中绝大部分课程和谋生没有直接关系，相当多的课程都属于通识课。这样学生可以以自己为中心，把自己当作学校的主人，不管想学习什么知识都能学得到。在美国，开这么多门课的大学并不少。

中国通识教育的另一大问题是知识的结构化缺失。很多人说，我在中学也努力学习过语文、历史，或者数学和科学，但不知道平时有什么用。多年前，我写了《数学之美》一书，很多读者看了之后说：“哦，原来数学可以这么用。”硅谷一些中学生见到马斯克时问他，在大学里学什么才能成为企业家。马斯克总是不假思索地说，像我一样学物理，因为你会因此有一种□适合这个世界的思维方式。可见，在马斯克心里，物理学的那些知识并不重要，重要的是物理学的思维方式，然后做到一通百通。这也道出了通识教育的本质，即能够将这些知识用于许多地方，而不仅仅是直接用来做具体的事情。为此，通过通识教育，理解知识的结构化和关联性很重要。

如果你已经认可了通识教育的重要性，恭喜你，也欢迎你阅读得到图书出品的这一系列通识读本。得到的创始人、管理层和为大家提供知识服务的员工，都有帮助中国所有上进的人补上通识教育的缺失这样一种远大的理想。因此，我在和他们谈出版一系列通识教育读本的时候，他们都非常支持。事实上，得到App已经开设了上百门高水平的通识课。当然，出版通识教育读本是一个大工程，哈佛大学的那6000门课也不是一天开出来的，更没有人能够全部学完。因此，在□□阶段，这个系列的通识读本只集中在□基础、每个人都需要了解的知识体系上。在此基础上， 我们会继续推出各个专业的通识读本。□后，还会有与个人兴趣、工作性质相关的专题类的通识读本。

在大的通识教育体系中，我就相当于早上了两年课的大师兄。我根据自己在职业生涯中的体会，总结出了师弟师妹们必须学的知识。通过学习这些知识，你的思维方法和做事水平会得到明显的提升。

这套基础通识读本会包括九类核心学科，分别是：

数学；

逻辑学；

语文、文学和写作；

文明史；

自然科学；

经济、金融、管理和投资；

信息科学；

人文地理；

音乐和艺术；

政治学、哲学和军事。

上述每一个通识读本的单本，都会包括精选出的每个人都应该了解的知识点，它们的来龙去脉和用途，它们在学科体系中的地位，它们对人类的思维和认知起到过什么作用，以及我们对我们认知升级有什么帮助。

节选

作者简介

吴 军

博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖，《文明之光》被评为□014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子□011年十大ji佳商业图书”奖。

吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。□010—□01□年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。

吴军博士自□008年开始从事风险投资，并于□014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰•霍普金斯大学工学院董事。