考研数学历年真题分题型详解(数学二)(毛纲源)

第1部分高等数学
第1章函数、极限与连续(3)
考点1.1.1函数的概念及其性质(3)
题型1.1.1.1求分段函数的复合函数(3)
题型1.1.1.2求反函数的表示式(3)
题型1.1.1.3判别函数的奇偶性(3)
题型1.1.1.4判别变上限积分函数F(x)=∫x0f(t)dt的奇偶性(4)
题型1.1.1.5判别（证明）函数的周期性(5)
考点1.1.2极限的概念与基本性质(6)
题型1.1.2.1正确理解极限定义中“εN”“εδ”“εX”语言的含义(6)
题型1.1.2.2运用极限的保序性、保号性求解有关问题(6)
题型1.1.2.3数列极限的概念及其运算性质(7)
考点1.1.3求函数极限(7)
题型1.1.3.1求00型或∞∞型未定式极限(8)
题型1.1.3.2求∞-∞型未定式极限(12)
题型1.1.3.3求幂指函数型（00型、∞0型、1∞型）未定式极限(12)
题型1.1.3.4求含根式和或根式差的未定式极限(15)
题型1.1.3.5求需先考查左、右（单侧）极限的函数极限(16)
题型1.1.3.6求含指数函数差因子的函数极限(16)
题型1.1.3.7利用夹逼准则求函数极限(17)
考点1.1.4数列极限(17)
题型1.1.4.1数列极限存在性的判定(17)
题型1.1.4.2由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法(18)
题型1.1.4.3求数列极限(20)
题型1.1.4.4求积和式的极限(23)
考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较(26)
题型1.1.5.1无穷小量阶的比较(26)
题型1.1.5.2无穷大量阶的比较(29)
考点1.1.6已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待求极限(30)
题型1.1.6.1已知极限式的极限反求其所含的未知参数(30)
题型1.1.6.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限(38)
考点1.1.7讨论函数的连续性及间断点的类型(39)
题型1.1.7.1讨论函数的连续性(39)
题型1.1.7.2判别函数f(x)的间断点的类型(41)
题型1.1.7.3利用连续性确定待定常数(45)
题型1.1.7.4利用函数的连续性证明方程实根的存在性(45)
第2章一元函数微分学(48)
考点1.2.1导数定义的应用(48)
题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性(48)
题型1.2.1.2讨论分段函数的可导性及其导数的求法(50)
题型1.2.1.3利用导数定义求极限或导数(51)
题型1.2.1.4利用导数定义讨论函数性质(52)
考点1.2.2讨论含绝对值函数的可导性(54)
题型1.2.2.1讨论绝对值函数|f(x)|的可导性(54)
题型1.2.2.2讨论函数f(x)=|φ(x)|g(x)的可导性(55)
考点1.2.3求一元函数的导数和微分(57)
题型1.2.3.1求隐函数的导数(57)
题型1.2.3.2求反函数的导数(59)
题型1.2.3.3求由参数方程所确定的函数的导数(59)
题型1.2.3.4求某些简单函数的高阶导数(62)
题型1.2.3.5求一元函数的微分(64)
考点1.2.4利用微分中值定理证明中值等式(66)
题型1.2.4.1利用罗尔定理证明中值等式(66)
题型1.2.4.2拉格朗日中值定理在证明与中值等式有关问题上的应用(69)
题型1.2.4.3柯西中值定理的应用(71)
题型1.2.4.4求解高阶导数中值满足的等式(72)
考点1.2.5利用导数和极限讨论函数的性态(73)
题型1.2.5.1判定函数的单调性(73)
题型1.2.5.2函数极值点的判定(75)
题型1.2.5.3利用极限式判定函数是否取得极值(77)
题型1.2.5.4利用方程或函数导数图形讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点(78)
题型1.2.5.5求曲线的凹凸区间与拐点(79)
题型1.2.5.6求函数f(x)在区间［a,b］上的*值(84)
题型1.2.5.7求函数的极值(85)
题型1.2.5.8求曲线的渐近线(86)
题型1.2.5.9确定函数方程存在实根(90)
考点1.2.6利用导数证明函数不等式(93)
题型1.2.6.1证明函数不等式(93)
题型1.2.6.2证明数值不等式(96)
考点1.2.7导数的几何和物理应用(100)
题型1.2.7.1平面曲线方程由显函数y=f(x)给出，求其切线和法线方程(100)
题型1.2.7.2曲线方程由隐函数方程F(x,y)=0给出，求其切线或（和）法线方程(101)
题型1.2.7.3曲线方程由参数方程x=x(t)
y=y(t)给出，求其切线与法线(102)
题型1.2.7.4曲线方程由极坐标方程r=r(θ)给出，求其切线与法线方程(103)
题型1.2.7.5求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(104)
题型1.2.7.6求解与两曲线相切有关的问题(105)
题型1.2.7.7求解与曲率有关的问题(105)
题型1.2.7.8求解与变化率有关的问题(107)
第3章一元函数积分学(109)
考点1.3.1计算不定积分(109)
题型1.3.1.1已知某函数或其导数，求其原函数(109)
题型1.3.1.2计算被积函数中含有对数函数的不定积分(110)
题型1.3.1.3求被积函数含反三角函数的不定积分(111)
题型1.3.1.4求被积函数为两类不同函数乘积的不定积分(111)
题型1.3.1.5计算有理分式函数的不定积分(112)
考点1.3.2计算定积分(113)
题型1.3.2.1用分部积分法或分项法计算定积分(113)
题型1.3.2.2计算需用换元法计算的定积分(114)
题型1.3.2.3利用定积分的重要特性简化计算定积分(116)
题型1.3.2.4计算被积函数含抽象函数导数或被积函数导数已知的积分(118)
题型1.3.2.5计算分段函数的定积分(119)
题型1.3.2.6比较和估计定积分的大小(120)
考点1.3.3变限积分(122)
题型1.3.3.1求含变限积分的函数导数(123)
题型1.3.3.2求分段函数的变限积分(124)
题型1.3.3.3求与变限积分有关的极限(125)
题型1.3.3.4求变限积分函数的定积分(127)
题型1.3.3.5讨论变限积分函数的性质(127)
考点1.3.4计算反常积分（广义积分）(129)
题型1.3.4.1无穷限反常积分敛散性判别及其计算(129)
题型1.3.4.2计算无界函数的反常积分(132)
题型1.3.4.3判别混合型反常积分的敛散性(134)
考点1.3.5定积分在几何和物理上的应用(136)
题型1.3.5.1计算平面图形的面积(137)
题型1.3.5.2已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得旋转体的侧面积(表面积)(140)
题型1.3.5.3已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得的旋转体体积(142)
题型1.3.5.4求平面图形绕平行坐标轴的直线旋转所得的旋转体体积(147)
题型1.3.5.5计算平行截面面积已知的立体体积(148)
题型1.3.5.6计算平面曲线的弧长(149)
题型1.3.5.7求解定积分的应用与*值问题相结合的综合题(150)
题型1.3.5.8求函数在区间上的平均值(151)
题型1.3.5.9定积分在物理上的应用(152)
第4章多元函数微分学(156)
考点1.4.1多元函数微分学中若干基本概念及其联系(156)
题型1.4.1.1多元函数微分学中几个基本概念(156)
题型1.4.1.2二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系(158)
考点1.4.2计算多元函数的偏导数和全微分(159)
题型1.4.2.1求多元显函数的偏导数或全微分(159)
题型1.4.2.2求抽象复合函数的偏导数或全微分(161)
题型1.4.2.3利用隐函数存在定理确定隐函数(164)
题型1.4.2.4求隐函数的偏导数或全微分(165)
题型1.4.2.5求二元函数的二阶混合偏导数或全微分(167)
题型1.4.2.6求含变限积分的二元函数的偏导数(169)
题型1.4.2.7已知偏导数所满足的方程，求待定函数或参数(169)
考点1.4.3多元函数的极值与*值(173)
题型1.4.3.1二元函数无条件极值的判别及其求法(174)
题型1.4.3.2求二（多）元函数的条件极值(178)
题型1.4.3.3求二元函数的*大值和*小值(181)
第5章二重积分(184)
考点1.5.1计算直角坐标系下的二重积分(184)
题型1.5.1.1化二重积分为累次积分(184)
题型1.5.1.2交换二次积分的积分次序(186)
题型1.5.1.3利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算(188)
题型1.5.1.4计算需分区域计算的二重积分(190)
题型1.5.1.5比较二重积分的大小(194)
考点1.5.2用极坐标系计算二重积分(195)
题型1.5.2.1计算圆域或部分圆域上的二重积分(196)
考点1.5.3转换坐标系计算二重积分(199)
题型1.5.3.1将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分计算(199)
题型1.5.3.2将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分计算(203)
考点1.5.4二重积分的应用(204)
题型1.5.4.1求质心、形心的坐标(204)
第6章常微分方程(207)
考点1.6.1求解一阶微分方程(207)
题型1.6.1.1求解可分离变量的微分方程(207)
题型1.6.1.2求解齐次方程(208)
题型1.6.1.3求解一阶线性方程(208)
考点1.6.2求解高阶常系数线性微分方程(213)
题型1.6.2.1利用解的结构和性质求解微分方程(213)
题型1.6.2.2求解可降阶的微分方程(214)
题型1.6.2.3求解高阶常系数线性齐次微分方程的通解(217)
题型1.6.2.4确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式(218)
题型1.6.2.5求解二阶常系数非齐次线性方程或反求其常系数(220)
题型1.6.2.6求解含变限积分的方程(220)
题型1.6.2.7求在变量代换下微分方程的变形，并求其解(221)
考点1.6.3已知微分方程的通（特）解反求该微分方程(222)
题型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解,反求该齐次微分方程(222)
题型1.6.3.2已知其特解或通解反求该非齐次线性方程(223)
考点1.6.4微分方程的应用(224)
题型1.6.4.1微分方程在几何上的应用(224)
题型1.6.4.2微分方程在物理上的应用(226)
第2部分线性代数
第1章行列式(231)
考点2.1.1计算数字型行列式(231)
题型2.1.1.1计算行列式中含特定项的系数(231)
题型2.1.1.2计算行（列）和相等的行列式(232)
题型2.1.1.3计算（或可化为）非零元素在一条或两条线上的行列式(232)
题型2.1.1.4计算非零元素在三条线上的行列式(234)
题型2.1.1.5计算含零子块的四分块矩阵的行列式的值(235)
题型2.1.1.6计算代数余子式之和（或线性组合）的值(236)
题型2.1.1.7一般行列式的计算(236)
考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式(237)
题型2.1.2.1计算抽象乘积矩阵的行列式(237)
题型2.1.2.2已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一
矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式(237)
题型2.1.2.3已知一矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值(238)
题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式(239)
题型2.1.2.5计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(239)
题型2.1.2.6计算抽象矩阵的线性组合的行列式(239)
题型2.1.2.7方阵的行列式是否等于零的判定或证明(240)
考点2.1.3克拉默法则的应用(241)
题型2.1.3.1求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解(241)
题型2.1.3.2已知方程组An×nX=0只有零解，或有非零解，确定待求常数(242)
第2章矩阵(243)
考点2.2.1矩阵运算(243)
题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵(243)
题型2.2.1.2计算方阵的高次幂(246)
题型2.2.1.3证明抽象矩阵的可逆性，如可逆并求其逆矩阵的表示式(247)
题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵(248)考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题(250)
题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(250)
题型2.2.2.2求与伴随矩阵有关的逆矩阵(251)
题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩(251)
题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式(252)
考点2.2.3矩阵的秩(253)
题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩(253)
题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩(254)
题型2.2.3.3已知矩阵秩的有关信息，求其待定常数或其所满足的关系(256)
考点2.2.4求解矩阵方程(257)
题型2.2.4.1求解含或可化为含单位矩阵加项的矩阵方程(258)
题型2.2.4.2求解含伴随矩阵A的矩阵方程(259)
题型2.2.4.3求解矩阵方程，该方程两边同含左（或右）乘可逆因子矩阵(260)
题型2.2.4.4求解系数矩阵不可逆或不能（不易）化为式(2.2.4.1)中三种类型的矩阵方程
(260)
考点2.2.5求解与初等变换有关的问题(263)
题型2.2.5.1用初等矩阵表示矩阵的初等变换(263)
题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前(后)的矩阵及其性质(264)
题型2.2.5.3讨论与等价矩阵有关的问题(266)
第3章向量(268)
考点2.3.1向量的线性组合与线性表示(268)
题型2.3.1.1求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题(268)
考点2.3.2向量组的线性相关性(272)
题型2.3.2.1判定（证明）向量组的线性相关性(272)
题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判别其线性组合的向量组的线性相关性(274)
题型2.3.2.3证明向量组线性无关(275)
考点2.3.3求向量组的极大线性无关组和向量组的秩(279)
题型2.3.3.1求向量组的极大线性无关组(279)
题型2.3.3.2求解（证明）与向量组的秩有关的问题(280)
第4章线性方程组(283)
考点2.4.1判定线性方程组解的情况(283)
题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况(283)
题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况(284)
考点2.4.2基础解系(284)
题型2.4.2.1基础解系的判定或证明(284)
题型2.4.2.2基础解系和特解的求法(285)
考点2.4.3求解线性方程组(286)
题型2.4.3.1求解不含参数的线性方程组的通解(286)
题型2.4.3.2求解含参数的线性方程组AX=b(287)
题型2.4.3.3求解其通解满足一定条件的含参数的线性方程组(293)
题型2.4.3.4求解参数仅出现在常数项的线性方程组(295)
考点2.4.4抽象线性方程组的求解(295)
题型2.4.4.1已知AX=b的特解，求其通解(296)
题型2.4.4.2利用线性方程组的向量形式求其通解(297)
考点2.4.5由解的情况反求线性方程组或其参数(299)
题型2.4.5.1已知AX=0或AX=b的解的情况，反求其参数(299)
题型2.4.5.2已知方程组的基础解系，求其系数矩阵(300)
考点2.4.6求两线性方程组的公共解(301)
题型2.4.6.1已知两具体的线性方程组,求其公共解(301)
题型2.4.6.2两方程组中至少有一个方程组的通解已知，求其公共解(303)
考点2.4.7讨论两方程组同解的有关问题(304)
题型2.4.7.1证明两齐次线性方程组同解(304)
题型2.4.7.2已知两线性方程组有公共非零解或同解,求其待定常数(305)
第5章矩阵的特征值和特征向量(308)
考点2.5.1求矩阵的特征值、特征向量(308)
题型2.5.1.1求数字型矩阵的特征值和特征向量(308)
题型2.5.1.2求抽象矩阵的特征值、特征向量(309)
题型2.5.1.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量(311)
考点2.5.2求与已知矩阵的特征值、特征向量有关的问题(313)
考点2.5.3相似矩阵与相似对角化(315)
题型2.5.3.1判别（证明）两同阶方阵相似(315)
题型2.5.3.2判别方阵是否可相似对角化(318)
题型2.5.3.3相似矩阵性质的应用(320)
考点2.5.4与两矩阵相似的有关计算(321)
题型2.5.4.1已知A可相似对角化，即P-1AP=Λ,求相似对角矩阵Λ(321)
题型2.5.4.2已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵(323)
题型2.5.4.3由特征值、特征向量，反求其矩阵(326)
题型2.5.4.4已知矩阵A和可逆矩阵P，求A的相似矩阵B使P-1AP=B(327)
考点2.5.5实对称矩阵性质的应用(328)
题型2.5.5.1已知实对称矩阵的一部分特征向量，求另一部分特征向量(328)
题型2.5.5.2A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵(330)
题型2.5.5.3利用相似对角化求矩阵的高次幂(330)
第6章二次型(335)
考点2.6.1二次型的标准形和规范形(335)
题型2.6.1.1化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）或规范形(335)
题型2.6.1.2已知二次型的标准形（规范形），求二次型中的未知参数(340)
题型2.6.1.3求两类二次型之间相互转换的问题(344)
考点2.6.2判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性(345)
题型2.6.2.1判别二次型或其矩阵的正定性(345)
题型2.6.2.2确定参数值使二次型或其矩阵正定(347)
考点2.6.3合同矩阵与合同变换(348)
题型2.6.3.1判别（证明）两实对称矩阵合同(348)
题型2.6.3.2讨论两矩阵相似与合同的关系(350)
附录2002—2021年考研数学二试题(351)
2002年全国硕士研究生招生考试数学二试题(351)
2003年全国硕士研究生招生考试数学二试题(352)
2004年全国硕士研究生招生考试数学二试题(354)
2005年全国硕士研究生招生考试数学二试题(356)
2006年全国硕士研究生招生考试数学二试题(358)
2007年全国硕士研究生招生考试数学二试题(360)
2008年全国硕士研究生招生考试数学二试题(362)
2009年全国硕士研究生招生考试数学二试题(364)
2010年全国硕士研究生招生考试数学二试题(366)
2011年全国硕士研究生招生考试数学二试题(368)
2012年全国硕士研究生招生考试数学二试题(370)
2013年全国硕士研究生招生考试数学二试题(372)
2014年全国硕士研究生招生考试数学二试题(373)
2015年全国硕士研究生招生考试数学二试题(375)
2016年全国硕士研究生招生考试数学二试题(377)
2017年全国硕士研究生招生考试数学二试题(379)
2018年全国硕士研究生招生考试数学二试题(381)
2019年全国硕士研究生招生考试数学二试题(383)
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题(384)
2021年全国硕士研究生招生考试数学二试题(386)