高等数学习题课教程(下)(第二版)

第6章 无穷级数 6.1 知识点小结 6.1.1 常数项级数的概念与性质 常数项级数与其部分和数列具有同样的敛散性. 收敛级数的性质如下: (1)若级数收敛，C是任一常数，则级数也收敛，且. (2)若级数与都收敛，则也收敛，且. (3)在级数中改变、去掉或增加前面的有限项，不会改变级数的敛散性，但一般会改变收敛级数的和. (4)在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和. (5)级数收敛的必要条件:若级数收敛，则. 注:性质(5)的逆否命题常用来判定级数发散. 6.1.2 正项级数 1.正项级数收敛 正项级数收敛的充要条件是:它的部分和数列有上界. 2.比较判别法 设有两个正项级数和，有成立，那么 (1)若级数收敛，则级数也收敛; (2)若级数发散，则级数也发散. 3.比较判别法的极限形式 若正项级数与满足，则 (1)当时，与具有相同的敛散性; (2)当时，若收敛，则亦收敛; (3)当时，若发散，则亦发散. 注:只有知道一些重要级数的敛散性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法.至今，重要的已知级数包括等比级数、调和级数及级数等. 4.比值判别法 (达朗贝尔判别法):设有正项级数，如果极限，那么 (1)当时，级数收敛; (2)当(包括)时，级数发散; (3)当时，级数可能收敛也可能发散(比值判别法无法判别，需另行判别). 注:该判别法适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形. 5.根值判别法 (柯西判别法):设正项级数满足，那么 (1)当时，收敛; (2)当(包括)时，发散; (3)当时，可能收敛，也可能发散. 注:该判别法适合中含有表达式的次幂，且或等于的情形. 6.1.3 任意项级数 交错级数敛散性的判别法(莱布尼茨(Leibniz)判别法):设交错级数满足 (1); (2)则级数收敛，且其和s≤u1. 绝对收敛:若收敛，则称为绝对收敛; 条件收敛:若发散，但收敛，则称条件收敛. 判别任意项级数敛散性的步骤如下: 6.1.4 幂级数 1.函数项级数 在函数项级数的收敛域内为函数项级数的和函数，在发散域内发散. 2.幂级数 其中a0，a1， ，an， 称为幂级数的系数. 3.收敛半径及其求法 根据幂级数的系数的形式，当幂级数的各项是依幂次连续时，可对其系数应用比值判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有 其中 或 若幂级数有缺项，如缺少奇数次幂的项等，则应将幂级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法判定其收敛域. 4.求幂级数收敛域的基本步骤 (1)求出收敛半径R; (2)判别常数项级数的敛散性; (3)写出幂级数的收敛域. 5.幂级数的算术运算 加、减、乘、除. 6.幂级数的分析运算 (1)幂级数的和函数s(x)在其收敛域D上连续. (2)逐项求导数.若幂级数的收敛半径为R，则在(R，R)内和函数s(x)可导，且有所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的敛散性可能发生改变. (3)逐项积分.设幂级数的和函数为s(x)，收敛半径为R，则和函数在(R，R)上可积，且有所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的敛散性可能发生改变. 6.1.5 泰勒级数 函数的幂级数展开式 1.泰勒中值公式 拉格朗日型余项，是x0与x之间的某个值. 佩亚诺型余项. 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为 2.泰勒级数的概念 若函数f(x)在x=x0的某一邻域内有任意阶导数，则称幂级数为f(x)的泰勒级数. 当x0=0时，幂级数称为f(x)的麦克劳林级数. 如果函数f(x)在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的麦克劳林公式中的余项以零为极限(当n→∞时)，那么函数f(x)就可展开成形如的幂级数. 3.函数展开成幂级数的方法 (1)直接法:直接将函数展开成泰勒级数. 几个常用的函数的幂级数展开式如下: (2)间接法:利用已知的函数展开式(7个基本函数的麦克劳林展开式)，通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接求得幂级数的展开式.这种方法称为函数展开成幂级数的间接法. 6.1.6 函数的幂级数展开式的应用 1.数值计算 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，即把函数近似表示为的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算法则，非常简便. 2.计算定积分 许多函数，如等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分. 3.求常数项级数的和 借助幂级数的和函数来求常数项级数和的方法，即为阿贝尔方法. 6.2 考研数学大纲要求 6.2.1 考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与级数及其敛散性，正项级数敛散性的判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式. 6.2.2 考试要求 (1)了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念. (2)了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法. (3)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法. (4)会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. (5)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. (6)了解及的麦克劳林展开式.