高等数学学习指南

**章 函数与极限 一、基本要求 1.理解函数和复合函数的概念，了解反函数的概念，了解函数的性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性). 2.学会建立简单实际问题中的函数关系式. 3.理解极限的概念，了解极限的ε-N，ε-δ定义. 4.掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限. 5.了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，会用两个重要极限求极限. 6.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限. 7.理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念. 8.了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型. 9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与*大值、*小值定理. 二、内容提要 (一)函数概念 定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，通常简记为， 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为Df，即. (二)函数特性 1.有界性 设的定义域为D，.若存在，使得，有，则称在X上有界. 在X上有界在X上有上界且有下界. 2.单调性 设的定义域为D，且，若，则称函数在X上单调增;若，则称严格单调增.反之，若，则称函数在X上单调减;若，则称严格单调减. 3.奇偶性 设的定义域D关于原点对称.若，有，则称为偶函数;若，有，则称为奇函数. 4.周期性 设的定义域为D，若存在，使得，有，且，则称为周期函数，T为的周期. 通常把的*小正周期简称为的周期. (三)极限定义 一般地，时刻，从该时刻以后，恒有.且. (四)极限的性质 1.唯一性 (1)若数列的极限存在，则极限值唯一; (2)若极限存在，则极限值唯一. 2.有界性 (1)若极限存在，则数列有界; (2)若极限存在，则在点的某个去心δ邻域内有界(局部有界). 3.保号性 (1)若极限，且(或)，则，当时，恒有(或); (2)若极限，且(或)，则在点的某个去心邻域内有(或). (五)极限的运算法则 (1)设，则. (2)有界. (3)设且，又，则. (六)无穷小与无穷大 1.无穷小与极限的关系. 2.无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 3.无穷小的比较 设α，β均为同一过程lim的无穷小. (1)若，则称β是α的高阶无穷小，记为，或称α是β的低阶无穷小; (2)若，则称β是α的同阶无穷小; (3)若，则称β是α的等价无穷小，记为β～α; (4)若，则称β是α的k阶无穷小. 4.无穷小替换定理 设α，β均为无穷小，若(或)，则(或). 5.常用等价无穷小 当x→0时，有. (七)两个准则和两个重要极限 1.准则Ⅰ(夹逼准则) 若数列，满足且，则. 2.准则Ⅱ(单调有界准则) 单调有界数列必有极限. 3.两个重要极限. (八)函数连续概念 1.f(x)在点x0处连续的等价定义 2.左连续与右连续 左连续;右连续. F（x）在点处连续在点处左连续且右连续. (九)间断点的类型 (十)连续函数的运算 1.四则运算 若，在点x0处连续，则，在点x0处连续. 2.复合运算 若在点x0处连续，在点u0处连续，则复合函数在点x0处连续. 综合上述两点可知，一切初等函数在其定义区间内都是连续的. (十一)闭区间上连续函数的性质 1.有界性和*大值、*小值定理 设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有界，且f(x)在[a，b]上必可取得*大值和*小值. 2.零点定理 设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)f(b)　　7.求函数的极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 答(1)若点x0是分段函数的分段点，且点x0的左、右两侧函数的表达式不一样，则求分段点x0的极限时一定要先考察左、右极限是否存在，再确定是否存在.但是，并不是所有分段函数在分段点的极限都要求左、右极限.若分段点x0的左右两侧函数表达式相同，且当时，x0的左右两侧f(x)的变化趋势也一样，则不必求左、右极限，可直接求.例如， 有