概率论与数理统计习题课教程(第二版)

第1章 随机事件及概率 1.1 知识点小结 1.1.1 随机试验与随机事件 1.随机试验(记为E) 满足如下三个条件的试验(对随机现象的观察称为试验)称为随机试验. (1)可重复性:可以在相同条件下重复观察; (2)可知性:试验的所有可能结果是确定的; (3)随机性:某次试验之前不确定具体会发生哪一个结果. 2.随机事件 随机试验中可能出现的结果称为随机事件，记为. 注随机事件包括基本事件(不可再分割的基本结果)和复合事件(可以拆分成若干个基本事件的组合). 3.样本空间 一个随机试验的所有基本事件组成的全集，记为. 4.随机事件(补充) 有了样本空间之后，样本空间的一个子集即为一个随机事件. 注不可能事件()与必然事件()是两个特殊的事件. 1.1.2 随机事件的运算与关系 1.事件的运算 (1)事件的积:事件与事件同时发生，称为的积事件，记为. (2)事件的和:事件发生或者事件发生，称为的和事件，记为. (3)事件的差:事件发生且事件不发生，称为的差事件，记为. 2.事件的关系 (1)包含:若发生导致一定发生，称为包含于(包含)，或称是的子事件，记为. (2)相等:若包含于，且也包含于，称相等，记为. (3)互斥(互不相容):若不能同时发生，即，称事件互不相容或互斥. (4)对立(逆事件):若且，称互为对立事件，或称事件是的对立事件(逆事件)，记为. 注(1)且互斥. (2)两两互斥. (3)德 摩根律. (4)差补律. 1.1.3 概率的公理化定义与性质 1.概率的公理化定义 定义于随机试验的样本空间为上的函数满足如下条件. (1)非负性:对任意事件. (2)规范性:对必然事件. (3)可列可加性:对互斥的事件，则称为事件发生的概率. 2.概率的性质 性质一. 性质二. 性质三(单调性):若，则. 性质四(减法公式). 特别地，若，则. 性质五(加法公式):对任意事件A，B，C，有 (1); (2). 特别地，若互斥，则. 1.1.4 古典概型与几何概型 1.古典概型 满足如下两个条件的试验称为古典概型. (1)有限性:试验的结果只有有限多个. (2)等可能性:每个结果发生的可能性相等. 古典概型中计算概率的公式为. 2.几何概型 一个随机试验对应于几何体(线段或平面区域)上的随机落点问题. 几何概型中计算概率的公式为 其中分别为几何体的度量值(长度或面积). 1.1.5 条件概率与全概率公式 1.条件概率 设，是两个事件，且. 2.乘法公式 (1)设. (2). 3.完备事件组 若事件组满足: (1); (2)， 则称为一个完备事件组. 4.全概率公式 设 是一个完备事件组，设，则对任意事件B有 5.贝叶斯公式 设 是一个完备事件组，设则对任意事件有 1.1.6 事件的独立性 1.两个事件的独立 设A，B是两个事件，若，则称事件A，B相互独立. 2.三个事件的独立 若三个事件A，B，C满足 且，则称这三个事件相互独立. 注(1)若A，B相互独立，则这三对事件也分别相互独立. (2)若，则事件与任意事件独立. (3)独立的等价条件: 当时，A，B相互独立的等价条件为. 当时，A，B相互独立的等价条件为. (4)三个事件A，B，C相互独立则两两独立，反之不成立. (5)当，且A，B互斥时，A，B一定不独立.当，且A，B独立时，A，B一定不互斥. 1.2 考研数学大纲要求 1.2.1 考试内容 随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念，概率的基本性质，古典概型，几何概型，条件概率，概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验. 1.2.2考试要求 (1)了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算. (2)理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概型和几何概型，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式. (3)理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法. 1.3 典型例题 1.3.1 随机事件的运算与关系 例1 写出下列随机试验的样本空间. (1)记录一个班级一次数学考试的平均分数(百分制、整数记分); (2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出两件次品就停止检查，或检查4件产品停止检查，记录检查的结果(查出正品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查). 解 (1)，n表示班级人数; (2); (3)={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111}. 例2 设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件: (1)A发生，B与C不发生; (2)A，B都发生，而C不发生; (3)A，B，C中至少有一个发生; (4)A，B，C都发生; (5)A，B，C都不发生; (6)A，B，C至多一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生; (7)A，B，C中至多两个发生; (8)A，B，C中至少有两个发生. 解 (1); (2)或; (3); (4); (5)或; (6); (7)或; (8). 1.3.2 概率的公理化定义与性质 例3 设A，B，C是三个事件，且，.求A，B，C至少有一个发生的概率. 解因为，且，所以，可得. 由加法公式得 例4 设A，B为随机事件，且，求. 解 1.3.3 古典概型与几何概型 例5在某英语字典中有55个双字母单词，若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少? 解记“能排成上述单词”. 从26个中任选两个来排列，排法有种，每种排法等可能;字典中的两个不同字母组成的单词有55个.因此 例6某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶.在搬运中标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到订货的概率是多少? 解记 “顾客按所定的颜色如数得到订货”. 在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能，取得4白3黑2红的取法有种，故 例7 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少? 解 记“4只鞋中至少有2只配成一双”，?=?“4只全不配对”. 因为从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能.要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双的每一双里任取一只，有种，所以 例8 从(0，1)中随机地取两个数x，y，求: (1)事件=发生的概率; (2)事件=发生的概率. 解由题可知(x，y)是区域:上的几何概型. (1)如图1.1所示，可得. (2)如图1.2所示，可得. 图1.1 图1.2