中算家的计数论

第1章 导论 远古时代人类活动的遗址不断被发现：在聚落的规划、神坛的建造，以及大量的出土器物中，人们清楚地看到规则图形的运用、数量的表现，以及比例与匀称、排列与配置等—原始数学的思想凝聚于所造物品之中，“物化”为具体的器件，经历了漫长的岁月，不妨称之为“物化的数学”。当人们仔细考察先民的各种祭祀和占卜活动：部落的图腾、易经的卦序、星占的兆象等，约略现出内含其中的神秘的数字、严格的序关系、空间的方位、对称与对应等—早期数学的思想和方法渗透到社会生活之中，转化为神圣的规则，备受先民的推崇，不妨称之为“内蕴的数学”。在史前时代，数学作为一门学科尚未成形，但是它的思想和精神，在人类活动和创造的各个方面，就已得到生动的体现。 中国传统数学作为东方数学的代表之一，在几千年的发展史中对人类数学文明作出了重要贡献，产生出数百位著名数学家，上千种数学著作流传后世。 数学知识被应用于天文、历法、地理、气象、物理等自然科学的各个方面。我国先人运用数学知识：步躔离定五星、确定国土疆界、测量田亩道路、修筑城垣长城、开凿运河渠塘、建设庙堂桥塔，制作舟车弓矢、金玉瓷器等。数学成为推动文明发展的重要力量。 一百年来，以李俨、钱宝琮先生为代表的几代学者，以他们的基础工作，创立了以《九章算术》为核心的两千年中国数学史学科的理论、方法与史料体系。而半个多世纪以来，考古界又有大量新发现，青铜器和简牍等文物源源不断地被发掘出来，其中有不少数学史的相关资料。所有这些见证中华文明的史实，都激励今天的爱好者和研究者继续探寻西汉末上溯至公元前一千年间那个历史阶段的数学文明。随着信息的增长、思路的开阔和工具的演进，数学史的研究也努力开辟新的领域，达到新的高度。 李约瑟在《中国科学技术史：第三卷数学》“作者的话”中说：“我们必须记得，这些史实关系到一个民族的文化，而这个民族的人口占人类的五分之一以上，他们三千年来定居在一片至少和欧洲大小相等的土地上，并且他们的才能肯定不逊于其他民族。”① 1.1 中国传统数学：概念、分期和特征 数学和科学均属文化现象。数学伴随着中国文化的产生起源于上古。这个命题涉及“数学”和“上古”等概念，在不同的文献中可能有不尽一致的解读，因此有必要通过对历史的陈述，明确对这些基本概念的理解。 人们习惯于用“数学”来表述曾发生过的一切与数量、空间图形、计算等相关的现象。一方面，这个词得到普遍的认同，具有历史回溯力，以今论古未尝不可；但是另一方面，需要警惕：因这一重要概念产生于近代，历史的真实可能因按今天的定义去理解而发生畸变。学术研究中需要严格把握不同阶段“数学”的内涵和外延。*简单的做法就是：用那个时期的原有名称来指称“数学”。 1.1.1 作为数学门类专名的历史更迭 “数学”具有与 mathematics相对应的含义，有必要考察这一词义的历史更替，它的内涵和外延的古今演化。 如果把现今的数学比作一株枝叶繁盛的大树或一片茂密的森林，那么古代的卓越成就好像是早期的树根，深藏地下，虽然外面看不见它，却是树林不可或缺的组成部分。于是，提出几个问题：①中国古人怎么称呼现今所说的数学？②在历史上*长久的“算术”、近代应用*多的“算学”在20世纪30年代之后为什么就很少使用了？③大体与 mathematics相同的“数学”一名出现在什么时代？以下就几个历史名词作为切入点展开讨论。 1）九数 《周礼 地官司徒》记载： 保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。 此即古代所设六门课程：礼、乐、射、御、书、数。在《管子 幼官图第九》中出现“九数”： 九和时节，君服白色，味辛味，听商声，治湿气，用九数，饮于白后（石）之井，以介兽之火爨。藏恭敬，行搏锐，坦气修通，凡物开静，形生理。 以上两文中并未解释“九数”的内容，它在古文献中亦不多见，应是指“数”有九个细目。东汉郑玄在《周礼》注中引郑众（司农）称： 九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。 2）计数 早在史前时代，原始人类经过漫长的蒙昧时期，开始认识周围世界，终于迎来智慧的曙光，出现对“数”的认知、命名和记录。传说中的“隶首造数”标志着首批计数成果的诞生。史上*早记录数学萌发期内容的专用名词有“九数”“计数”，但后者却未能引起史家重视。在记载春秋齐相管仲言论的《管子》（管子学派于战国时代编成）《七法第六》①中，管仲提出治国“七法”：则、象、法、化、决塞、心术、计数，其中第七法对“计数”的解释是： 刚柔也，轻重也，大小也，实虚也，远近也，多少也，谓之计数。 这是史上**次对一种数学门类所作的明确定义，把硬度、重量、尺寸、密度、距离、数量等都归为“计数”的对象。“计数”概念的历史发展详见§1.3节。 3）筹算（筹筭） 筹，又称为策、筹策、算筹、算子等，是早期计数工具，亦用作布列算式、进行四则以及解方程等运算的算具。“算”亦作“筭”，显示在算版上摆放并移动筹策的过程。筹以竹木、金属、骨、玉等制成，一般长为13～14厘米，径0.2～0.3厘米。1971年陕西千阳出土西汉宣帝时的骨制算筹②为现知*早的算筹。筹或策至迟在春秋时老子的《道德经》中就已出现：“善行无辙迹，善言无瑕谪，善数不用筹策”。用筹计算称为“布筹”“运筹”；班固《汉书 货殖传》称为“筹算”：“铁山鼓铸，运筹算”。晋代葛洪《抱朴子 杂应》称为“筹筭”：“占风气，布筹筭。”所以筹算成为古代的学科名称。 早期的筹策以草茎（如蓍草，茎长可达1米）制成，也用于占筮和投壶，其功能到后代分别演化。占筮用蓍可夹在手指间，长度与筹算用蓍类似；后多用竹，运“筹”即运“筭”，皆从“竹”；迄今观音庙可见算卦先生摇动求签筒中标有签号的竹签，任其随机分布，为求签者抽出一签，预言吉凶休咎；签长达20厘米或更多，其形如箭。其实古代就以类似的箭筒用于投壶，竹签改用箭枝，成为上层社会流传千年*风行的游戏之一，就像今天打高尔夫球，小圈子聚会，自我欣赏，其乐陶陶。计数、占卜和游戏相辅而行，具有相近的起源。 4）数术（术数）* 数为命运、气数，术为方术、方法，指用种种方术观察自然或社会的现象，来推测国家或个人的气数和命运。早期术数包括天文、历法、五行、蓍龟、杂占、形法。南宋秦九韶在《数书九章》（有记载说它的原名就叫作《数术》或《数术大略》）序中给术数下的定义，包括了不少数学内容，也提到蓍占、河图、洛书、八卦、九畴、太乙、六壬、奇门、遁甲等。清代《四库全书总目 术数类》说： 术数之兴，多在秦汉以后，其要旨不出乎阴阳五行、生克制化，实皆易之支派，傅以杂说耳。 后世术数泛指占星、卜筮、太乙（或太一）、六壬、奇门、遁甲、相术、拆字、起课、堪舆、占候等，今多被视为迷信，其中太乙、六壬、遁甲被称为“三式”③，还制出专用的工具“式盘”，后代多有出土。这里讨论与数学相关的一些问题。 （1）术数与《易经》的关系。《左传 僖公十五年》说： 龟，象也；筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。 殷商前原始前兆认知发展到一定阶段，形成了周代《易经》八卦六十四卦体系。它是我国*古老的一部占筮用书，为象数之宗，也是术数之鼻祖。《易经》是中国哲学史上**部经典著作，位居六经之首。它含有古代天文、数学、音律、医理、生物等方面的知识，在科学思想史上占有重要地位。 （2）历代畴人大都受到《易经》思想的影响。如3世纪刘徽在《九章算术注》原序中说： 昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之术，以合六爻之变。 于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。 又如13世纪秦九韶在《数书九章》中说： 爰自河图洛书，闿发秘奥，八卦九畴，错综精微，极而至于大衍皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。 涉及术数的中算史料不乏其例，上面引用的两段都是在一书的序言里作为总纲或指导思想提出的，因而在研究中算史时，轻易带过或将其排除在中算史之外都难以交代。 （3）中算史上许多畴人博通经史，对易学、术数亦有研究。汉徐岳撰《数术记遗》主要是数术著作。北周甄鸾撰、唐李淳风等注《五经算术》，以数理讲解经义，其中有“易策数法”的名目。宋沈括《梦溪笔谈》中讨论过揲蓍之法。由于程朱理学的兴起， 象数内容在宋以后的算书中俯拾皆是。清屈曾发《九数通考》十三卷卷首赫然写道：“（河）图（洛）书为数学之源” 凡此种种，中算史研究无法回避，应予正视。 （4）古代数术的地位，远在算学之上。多年来学界将术数与迷信画等号，视为文化糟粕。例如“图书”二字，来源于河图洛书，本是数学、科学、文化的源头，这种观点却遭批判。在历史上，数术确曾处于举足轻重的地位，与天文、历算相提并论。可以说，昔日之视术数，犹今日之视科学。《汉书 艺文志》总序中说：“术数者，皆明堂羲和史卜之职也。”《史记 日者列传》记载：“孝武帝时聚会占家问之：某日可取妇乎？五行家曰可，堪舆（按即风水）家曰不可。”看来他们有权在皇帝面前争论。光武帝更重用术士，提拔大搞图谶的王梁、孙咸作大司空、大司马 操占卜、星象的术士，其地位高于持筹的算家。 把术数（或其一部分）看作数学可能不易被接受。实际上，古代数学的思想和方法往往与巫祝的占卜、祷告与祈神等掺合在一起，难解难分。其内在的精华被外在的表现形式所掩盖，往往被当作糟粕，为某些研究者所不屑。像中医早期巫医不分、利用化学反应求长命仙丹一样，真实的科学史，湮没在神学活动的雾霾之中。像不离璞，企图清洗掉“璞”的背景而获得纯粹的“像”，好比在上古寻找中小学书本上“纯粹的数学”。 本书前编将辟第2、第3两章，力图进入到占卜和游戏的一角，尝试发掘其中的内涵，这两类活动对数学史而言较为偏远，虽与以往的研究旨趣相异，但同样属于古人数学思维活动的领域。 5）算数 算术 算经 《算数书》系西汉吕后至文帝初年（前186年之前）由200余支竹简、约七千字隶书撰成，现今所知中算史上**部用“算数”作为学科名称的著作。 汉唐之间至少有十部重要数学书籍流传于世，唐代立于学官，成为政府指定的数学教材。明代称之为《十经》或《十书》，清代称为《算经十书》。其中称为“算经”的有《周髀算经》《孙子算经》等七种；称为“算术”的两种：《九章算术》《五经算术》，称为“数术”的一种：《数术记遗》。“算经”“算术”均有“筭”，说明它们均以筹算为中心。中算史许多内容集中在对算术的研究。 6）算学与中算史 宋元时才出现“算学”的名称，越靠近代所见越多，尤其是清代。例如，（元）朱世杰著《新编算学启蒙》，（明）王文素著《算学宝鉴》，（清）汪莱撰《衡斋算学》，（清）李善兰撰《则古昔斋算学》等；晚清编的数学丛书大都取名“算学丛书”，例如，丁取忠编著“白芙堂算学丛书”，刘铎辑“古今算学丛书”。只是到辛亥革命之后，“算学”才逐步为“数学”替代：北京大学1913年秋成立数学系（门）①，国内有的大学则称为“算学系”，如清华大学。到1935年，中国算学会经大会决议改称中国数学会（见《科学》，1935年19卷8期，第1329页）。此后全国的算学系皆改为数学系。 李俨先生《中国算学史》②称“算学”；“中算史论丛”③对几何学、纵横图、内插法、级数论等的系列研究，着眼点均在“中算家的”，符合历史实际，深得传统数学要旨，既简练、又贴切。 7）数学 1244年，秦九韶任建康府（南京）通判，奔母丧回湖州守孝三年，著《数学九章》（1247年），《永乐大典》和四库全书均采此书名。秦九韶进见宋理宗赵昀时呈《数学大略》，同时代周密所记亦