近现代物理实验

第0章　误差分析及数据处理 0.1　系统误差的分析与处理 物理实验离不开对各种物理量进行测量，由测量所得的一切数据都毫无例外地包含一定数量的测量误差，没有误差的测量结果是不存在的。根据误差产生的原因和性质，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差。在本节中，我们着重讨论系统误差，在后续的几个小节中将分别讨论其他两种误差的处理及常用的数据处理方法。 所谓系统误差是指在确定的测量条件下，某种测量方法和装置在测量之前就已存在误差，并始终以必然性规律影响测量结果的正确度，实际上，所有的测量过程总是存在着系统误差，而且在某些情况下系统误差数值还比较大。由此可见，测量结果的精度不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。系统误差是和随机误差同时存在于我们所测量的数据之中的，不易被发现，加之多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏就使得系统误差比随机误差具有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律性，并用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。 一、系统误差对测量结果的影响 根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将它分为固定系统误差和可变系统误差两大类。 固定系统误差指在整个测量过程中数值和符号都不变化的系统误差。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其他标准件尺寸的偏差等，均为固定系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于*常见的一类系统误差。 可变系统误差指在整个测量过程中误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化。它的种类较多，可分为以下几种。 (1) 线性变化的系统误差，指在整个测量过程中随某因素而线性递增或递减的系统误差。例如检定标尺时，由于室温对标准温度20℃的偏差产生的测量误差，它是随被测长度而线性变化的系统误差；在丝杠的测量中，丝杠轴心线安装偏斜所造成的螺距累积误差是随牙数或螺距的测量长度而线性变化的系统误差。 (2) 周期性变化的系统误差，指在整个测量过程中随某因素作周期变化的系统误差。例如，测量仪器中千分表表盘的中心与指针回转中心的偏离引起的示值误差，齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿距累积误差或分度误差，都属于正弦函数规律变化的系统误差。 (3) 复杂规律变化的系统误差，指在整个测量过程中按一定的复杂规律变化的系统误差。例如，微安表的指针偏转角与偏转力矩间不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误差。这种复杂规律一般可用代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式来描述。 下面分析以上几种系统误差给测量结果带来的影响。 设有一组实验测量数据，其中每个数据包含的系统误差分别为。现在，设想扣除了这些系统误差，得到一些只包含随机误差的各种数据。于是有 先求得其算术平均值为 (0.1.1) 然后即可得到各个观测数据的残差，记为 (0.1.2) 上式中的 就是仅由随机误差引起的残差。 由式(0.1.1)知，当存在系统误差时，算术平均值为只包含随机误差的平均值与系统误差的平均值之和。当测量次数N增加时，趋于待测量的真值。因此当有系统误差存在时，算术平均值不再随测量次数N增加而趋于，偏差量就是系统误差的平均值，这说明系统误差*终要影响测量结果的准确度。 由式(0.1.2)知，当测量中存在固定系统误差，即时，残差完全由随机误差造成，即。由此可以说明，固定系统误差的存在并不影响残差的计算，当然也就不影响方差的计算。在这种情况下，我们就不能通过残差的计算来发现系统误差，这时可能会把实际上存在很大系统误差的测量看作没什么问题。只有存在可变系统误差时，即，才有可能通过对残差的观测发现系统误差。 二、系统误差的发现和判断 由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，而可供选用的检验有无系统误差的方法却多而杂。针对不同性质的系统误差，我们把这些方法大致分为两大类：一类为用于发现测量列组内的系统误差，另一类为用于发现测量列组间系统误差的方法。 1．测量列组内的系统误差发现方法 用于发现测量列组内的系统误差的方法，包括实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法。 1) 实验对比法 实验对比法是通过改变实验测量条件，对不同条件下的实验数据进行对比，发现系统误差的存在。如对同一个物理量，先用普通仪器对其进行测量，得到一组数据，然后用更高级的仪器进行重复测量，又得到另一组数据，比较两组结果，如果有较大差别，则可以判断有系统误差存在。这种方法对发现不变系统误差有帮助。 2) 残余误差观察法 残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。这种方法适于发现有规律变化的系统误差。表0.1.1是对一恒温容器进行温度测量，可以看出，随着测量时间的变化，温度有一定的上升趋势，因此可判断测量数据中可能存在与时间呈线性变化的系统误差。 表0.1.1　对某恒温容器温度测量结果 3) 残余误差校核法 一般情况下，在测量次数较多时，随机误差的分布基本上满足正态分布特点，其标准偏差也应有一定的范围。但如果测量数据中含有系统误差，由于系统误差不服从正态分布，因此其分布特点和标准偏差的大小也会发生相应变化。通过对这种变化进行分析，也能够发现系统误差的存在。 残余误差校核法包括两种。 (1) 马利科夫判据。将测量列中前个残余误差相加，后个残余误差相加(n为偶数，取；n为奇数，取)，两者相减得 (0.1.3) 若上式的两部分差值显著不为0，则有理由认为测量列存在线性系统误差。这种校核法称为马利科夫准则，它能有效地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法求得差值，仍有可能存在系统误差。 (2) 阿贝-赫尔默特准则。令 (0.1.4) 若，则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法叫阿贝-赫尔默特(Abbe-Helmert)准则，它能有效地发现周期性系统误差。 4) 不同公式计算标准差比较法 对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较以发现系统误差。 按贝塞尔公式 (0.1.5) 按别捷尔斯公式 (0.1.6) 令，若，则怀疑测量列中存在系统误差。 在判断含有系统误差时，违反上述“准则”时就可以直接判定，而在遵守“准则”时不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。 2. 测量列组间的系统误差发现方法 对某一物理量进行了两组独立的测量，要问这两组间有无系统误差，我们可以检验它们的分布是否相同，若不同，则应怀疑它们之间存在系统误差，包括计算数据比较法、秩和检验法及t检验法。 1) 计算数据比较法 对同一量进行多组测量得到很多数据，通过多组数据计算比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。若对同一量独立测量得m组结果，并知它们的算术平均值和标准差为 则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是 (0.1.7) 2) 秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差 对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。若独立测得两组的数据为 将它们混合以后，从1开始，按从小到大的顺序重新排列，观察测量次数较少那一组数据的序号和T，即秩和。 (1) 两组的测量次数，可根据测量次数较少组的次数和测量次数较多组的次数，查秩和检验表得和(显著度0.05)，若 (0.1.8) 则无根据怀疑两组间存在系统误差。 (2) 当时，秩和T近似服从正态分布 (0.1.9) 括号中**项为数学期望，第二项为标准差，此时和可由正态分布算出。根据求得的数学期望值标准差，则 (0.1.10) 选取概率和置信水平，查正态分布分表，若，则无根据怀疑两组间存在系统误差。 若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。 3) t检验法 当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不是太少(*好不少于20)时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。 设独立测得两组数据为 变量 (0.1.11) 服从自由度为(n1+n2-2)的t分布变量。其中。取显著性水平α，由t分布表查出。若，则无根据怀疑两组间有系统误差。式中使用的不是方差的无偏估计，若将用贝塞尔计算的方差用于上式，则该式应作相应的变动。 三、系统误差的限制和消除方法 系统误差可以通过一定的实验和数据处理方法加以限制、减小或大部分消除。一些系统误差分量可以通过加修正值的方法基本消除，但修正值本身也有一定的不确定度(误差限)。一些影响测量结果主要系统误差分量的消除会使测量准确度有所提高，但是某些原来次要的分量和新发现的系统误差分量又会成为影响准确度继续提高的主要障碍。因此，不可能绝对完全地消除系统误差。我们只能在测量的各个环节中设法减小或基本消除某些主要系统误差分量对测量结果的影响。 1. 从根源上消除系统误差 在测量之前，要求测量者对可能产生系统误差的环节作仔细分析，从产生根源上加以消除。如果系统误差是由于仪器不准确或使用不当，则应该对仪器进行校准并按规定的条件去使用；若实验中采用的是近似的理论公式，则应该在计算时加以修正；如果知道实验测量方法上存在着某种因素会带来系统误差，则应估计其影响的大小或改变测量方法以消除其影响；若是由于外界环境条件急剧变化，或者存在着某种干扰，则应设法稳定实验条件，排除有关干扰或者等到实验条件稳定后再做实验；若是因为测量人员操作不善，或者读数有不良偏向，则应该加强训练以改进操作技术，以及克服不良偏向等。总的来说，从系统误差产生的根源上加以消除，无疑是*根本的方法。