量纲分析理论与应用

第1章 单位与量纲 对物理问题的认识与分析，离不开对物理量以及物理量之间内在联系的认识；事实上，自然界中的物理量数不胜数，如距离、时间、身高、速度、电压、压强、密度等，在很多问题中，这些物理量中两个或多个量之间总存在某种内在联系，它们相互影响、相互关联。以物理运动的惯性效应为例，从定性角度上看，容易发现：当物体所承受的外力相同时，质量越大的物体加速度就越小；当物理质量相同时，物体所承受的外力越大加速度就越大。这些物理规律在日常生活中容易被人们发现，然而，如果需要深入研究这些物理问题，必须对其进行定量的分析，此时我们始终离不开对物理量的度量，就像1883年 Kelvin在演讲中提到，当我们能衡量自己在说什么，并能用数字表达时，说明我们对此有所了解；但是当我们无法测量时，就无法用数字来表达，这似乎表示，我们的认识几乎还没有进入科学的阶段。 我们对绝大多数物理量的定量描述，离不开参考度量。从古至今，对普通生活影响*大也*常用的参考度量即度量衡。其中，计量物体长短用的器具称为度，测定计算物体容积的器皿称为量，测量物体轻重的工具称为衡；度量衡的出现对人类社会的交流发展起着不可估量的作用。从本质上讲，度量衡即当前的长度、体积和质量单位。一般而言，任何物理量均可以表示为 物理量=数量[参考单位] 当然，任何测量都不可避免地存在误差，在此不做考虑，其对本书讨论的内容也没有任何影响。例如， 我的身高=1.80米 其中“1.80”表示物理量对应的数量，而“米”表示其数量对应的参考单位，其物理内涵是指身高是“1米”这个参考度量的1.80倍；可以看出，量和度量单位是相互耦合不可分割的。从物理上讲，“我的身高”可以描述为1.80米，也可以描述为180厘米，它们的物理内涵是完全一致的，其数值不同是因为参考度量的单位不同。因此，相同物理量可能对应很多个参考单位，反之，很多个物理量也可能具有相同的参考单位。物理量与参考单位之间具有必然联系，也存在本质区别。 1.1 单位与单位体系 《现代汉语词典》对“单位”的解释是“计量事物的标准量的名称”。在测量中，以同类量的某定量为基准量，测定已知量相当于基准量的多少倍，该基准量称为参考度量单位，简称单位。对于绝大多数物理量.而言，其定量的表示形式一般为 (1.1) 式中，R 表示参考度量单位；r 表示数量。上式的定量意义非常明确，即表示物理量.是参考度量1R 的 r 倍，其中 r 可以是整数，也可以是小数。例如，某个房间的宽度 W为4米，即可以表示为 W =4米=4×1米(1.2) 亦即如果用边长1米的瓷砖铺设本房间，宽度方向上铺设4块正好满足条件。 1.1.1 传统基本物理量单位体系及转换 物理学中人们*早研究的分支是力学；在力学范畴内，首先建立了以长度、质量和时间为基本物理量的单位制，就是人们所熟悉的厘米 克 秒(CGS)制；为了国际上贸易、工业以及科学技术交往的需要，1875年17个国家代表在巴黎制定了米制公约，形成了米 千克 秒制。 1)长度单位体系及转换 米是常用的长度单位，然而，如果我们测量一本书的厚度、一根头发的直径等，此时利用1米这个参考长度来度量，所给出的结果就不甚准确；所谓“度长短者，不失毫厘”，即测量时应该具有更高精度的意思，因此，还需要更小的长度参考度量单位。如果我们需要度量两个城市之间的距离、两个星球之间的距离等，利用1米这个参考长度来度量，也非常不方便，这时就需要更大的长度参考度量单位。这些不同量级的度量单位就构成一个单位体系。 在中国古代，经过《汉书 律历志》的整理，保留了之前寸、尺、丈三个长度度量单位，并在寸位以下加一“分”位，丈位以上加一“引”位，且都是十进制，即十分为一寸、十寸为一尺、十尺为一丈、十丈为一引，这就是所谓五度；之后，又发展出更小的单位“纤、微、忽、丝、毫、厘”(亦为十进制)及更大的单位“里”，构成中国古代的长度单位体系，其转换如表1.1所示。 表1.1 中国市制长度单位换算关系 在英国等少数欧美国家，其传统的长度度量单位为英制单位，同样，根据不同量级的长度，其参考度量单位也不同，分别有英寸、英尺、码、英里等，这些单位也构成英制国家的长度单位体系，其转换如表1.2所示。 表1.2 英制长度单位换算关系 当然，历史上还有许多国家和地区采用其他类似的长度度量单位体系。根据式(1.1) 可知，任何长度的定量描述离不开长度参考度量，对于任意长度物理量而言，其数值可以通过下式求解： (1.3) 上式表明，任何物理量的定量描述离不开参考度量，相同的物理量采用不同度量单位进行描述得到的数量也必然不同。 因此，统一参考度量对于科学和社会生活中问题的定量标定具有重要的意义。为此，18世纪末科学家经过合作与努力，建立起一套科学的标准单位体系，常称为“公制”或“米制”，并*早被法国于大革命时期的1799年定为度量单位；此后，1948年第9届国际计量大会根据决议，责成国际计量委员会(CIPM)“研究并制定一整套计量单位规则”，力图建立一种科学实用的计量单位制；1960年第11届国际计量大会基于公制建立了国际单位制，以 SI 作为国际单位制通用的缩写符号。当前，国际单位制是世界上*普遍采用的标准度量衡单位系统，采用十进制进位系统；其长度的基本单位为米(m)，并由此建立了国际标准长度单位体系，其换算关系如表1.3所示。 表1.3 国际标准长度单位换算关系 中国市制长度单位和英制长度单位与国际标准长度单位之间的转换关系如表1.4所示。 表1.4 国际标准长度单位与中国市制、英制长度单位换算关系 利用表1.1～表1.4，我们可以将所有市制长度单位和英制长度单位转换为国际标准长度单位。 2)质量单位体系及转换 质量单位是三大基本单位之一。中国汉代以前对质量单位的说法并不一致，基准质量参考度量单位并不统一，如《孙子算经》“称之所起，起于黍，十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两”，《后汉书》李贤注引《说苑》“十粟重一圭，十圭重一铢”，《说文解字 金部》“锱，六铢也”，《淮南子 诠言训》高诱注“六两曰锱”，《玉篇 金部》“镒，二十两”，《宋本广韵》引《国语》“二十四两为镒”，等等。这些说法显示，不仅基本质量参考度量不一致，而且单位体系中的进制也不尽相同。汉代以来我们把铢、两、斤、钧、石这五个单位命名为五权，且直至唐代都没有改变；也就是说，汉唐时期的质量度量单位体系为铢、两、斤、钧、石，其进制并非十进制，而为二十四铢为两，十六两为斤，三十斤为钧，四钧为石；后来废除了单位“铢”，且发展出钱、分、厘、毫、丝、忽等更小的质量度量单位。这些中国传统的质量单位体系及其换算关系见表1.5。 表1.5 中国传统质量单位换算关系 表1.5 中的单位“两”是新制下的单位，旧制中的单位“1两”为“0.0625斤”。在英国等少数欧美国家，其传统的质量度量单位为英制单位，同样，根据不同量级的质量，其参考度量单位不同，分别有英石、磅、盎司、打兰和格令，这些单位也构成英制国家的质量单位体系；其转换关系如表1.6所示。 表1.6 英制质量单位换算关系 英制中更大的质量单位有“吨”和“担”，但英式和美式对应的单位代表的参考度量并不相同；为区别两种参考度量单位，英式的分别称为“长吨”和“长担(英担)”，对应有“1长吨=20长担，1长担=8英石=112磅”；美式的分别称为“短吨”和“短担(美担)”，对应有“1短吨=20短担，1短担=100磅”。 1960年第11届国际计量大会基于公制建立了国际单位制，定义质量的基本单位为千克(kg)，并由此建立了国际标准质量单位体系，其单位之间换算为十进制，换算关系见表1.7。 表1.7 国际标准质量单位换算关系 中国市制质量单位和英制质量单位与国际标准质量单位之间的转换关系见表1.8。 表1.8 国际标准质量单位与中国市制、英制质量单位换算关系 同理，利用表1.5～表1.8，我们可以将所有市制质量单位和英制质量单位转换为国际标准质量单位。 3)时间单位体系及转换 时间也是一种核心基础度量单位。现在我们知道每昼夜为24时，在中国古时则为12时，这是因为中国和西方对时间的参考度量不同，我们一般称西方的“时”为“小时”，而中国古代的“时”为“大时”。当然，这只是其中一个时间度量单位，传统的时间度量单位比较复杂，例如，每日12个时辰，但并不是按照1、2、3、4 来计数，而是按照子、丑、寅、卯 来排列；而且由于时间的计算与度量涉及天象等，因此体系中度量单位的换算并不准确统一，大致换算关系见表1.9。 表1.9 中国古代传统时间单位换算关系 在古代海外，不同地域有不同的时间度量单位，如印度《僧祗律》载“二十念名一瞬顷，二十瞬名一弹指，二十弹指名一罗豫，二十罗豫名一须臾，一日一夜为三十须臾。”即其时间度量单位体系为：刹那、念、瞬、弹指、罗豫、须臾，其换算关系见表1.10。 表1.10 印度古代传统时间单位换算关系 1960年第11届国际计量大会定义时间的基本单位为秒(s)，并由此建立了国际标准时间单位体系，其换算关系如表1.11所示。 表1.11 国际标准时间单位换算关系 此基础上，又发展出更小的时间单位皮秒(微微秒，ps，10.12s)、飞秒(fs，10.15s)、阿秒(as，10.18s)、仄秒(zs，10.21s)、幺秒(ys，10.24s)、普朗克时间(10.43s)。 中国古代时间单位和印度古代时间单位与国际标准时间单位之间的转换关系如表1.12所示。 表1.12 国际标准时间单位与古代时间单位换算关系 同理，利用表1.9～表1.12，我们可以将所有中国古代和印度古代时间单位转换为国际标准时间单位。 1.1.2 基本量和基本单位 随着物理学的发展，三个基本量已不足以满足社会和科学发展。1948年第9届国际计量大会根据决议，责成国际计量委员会(CIPM)“研究并制定一整套计量单位规则”，力图建立一种科学实用的计量单位制；1954年第10届国际计量大会决议，决定采用长度、质量、时间、电流、热力学温度和发光强度6个量作为实用计量单位制的基本量；1960年第11届国际计量大会决议，把这种实用计量单位制定名为国际单位制，以 SI作为国际单位制通用的缩写符号；之后，1971年第14届国际计量大会决议，决定在前面6个量的基础上，增加“物质的量”作为国际单位制的第七个基本量，并通过了以它们的相应单位作为国际单位制的基本单位。 也就是说，自1971年以来，物理学中基本量有7个，分别为长度、质量、时间、电流、热力学温度、发光强度和物质的量。这7个基本量皆有其对应的单位体系，每个基本量对应的国际单位体系内单位的进制是确定的，即只需要确定一个基准单位，就能唯一地确定单位体系中其他度量单位，我们一般称这种基准单位为基本单位。当前国际单位制中7个基本量对应的基本单位如表1.13所示。 表1.13 国际单位制中基本量与基本单位 从式(1.3)容易发现，参考度量的准确性和精确性直接影响所标定物理量的准确性和*大可能精度；换言之，基本单位对应的参考度量直接决定了度量某个物理量的数值精度。因此，自形成基本量和基本单位以来，对基本单位对应的参考度量标准的研究从未间断，而且一直在改进。 7个基本单位之一的米(m)对应的参考度量(1米)的定义自1790年初次确定以来，由于社会的进步和科学的发展对参考度量精度的要求越来越高，经历过多次升级修改，如表1.14所示。