数学建模方法入门及其应用

第1章 数学建模前言 1.1 数学建模简介 1.1.1 什么是数学建模 数学建模（mathematical modeling）就是运用数学思维解决问题的一门学科或者技术。那什么是数学思维？根据丘维声《抽象代数基础》前言中的说法：观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型；进行探索，通过直觉判断或者归纳推理，类比推理以及联想等做出猜测；然后进行深入分析和逻辑推理以及计算，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。这就是数学思维。 数学建模的定义有很多种，以下几种是比较流行的。 数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，是实际事物的一种数学简化。 数学建模是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”。 数学建模是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。 数学建模是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程。 数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中应用的数学家）与物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等相互转化的过程。 数学建模是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的*优策略或较好策略。 从定义角度看，对数学建模的理解有很多种，从中提取出来几个关键词：抽象、简化和过程。抽象是针对实际问题而言，数学模型具有反映事物本质的特性，但是又高于事物本身。简单说就是，所建立的模型具有普遍性、适用性。很多时候，建立的一个模型可以解决很多类似的一些问题，这个也称为模型的推广。简化是将现实生活中的实际问题通过适当的假设进行化简。一个好的模型应该具有合理的假设，而不是遇到难以解决的地方就试图通过假设达到简化的目的。过程是数学建模的要领所在。往往建模得到的结果并不是很重要，重要的是建模的过程，也就是如何使用数学知识解决实际问题的过程。 从数学建模的英文单词本身来看，mathematical不必多解释，是数学的；而modeling一词在英文中有“塑造艺术”的意思，可以认为从不同的侧面、角度去考察问题就会有不同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点。而数学建模*重要的特点是要接受实践的检验，是一个多次修改模型渐趋完善的过程。 从实际问题的角度来看，数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细致地观察和分析，又需要人们灵活、巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。 你玩过“商人过河”的游戏吗？3个商人带着3个随从过河，假设仅有1条渡船，并且这条渡船*多容纳2人，并且他们处于偏远地带，当随从总数超过商人总数时，随从就会产生不良企图，应如何安排这6人过河，才能不发生随从总数超过商人总数而导致杀人越货的事情？虽然这只是一个游戏，但是其中就蕴含着数学建模的思想。对于不懂建模的人，或许会一个一个地试着寻找过河方案，*后也可以找到答案，但是，当商人和随从的数量增加时，解决起来就显得不那么顺利了。而对于系统学习过数学建模的人来说，就可以从事物的本质出发，建立一个具有普遍适用性的模型，利用这个模型可以解决这个问题以及该问题的推广问题，这就是数学建模。 你如果喜欢投资，想在股票行业大展身手，赚自己的**桶金，数学建模可以帮你根据以往数据预测股票的未来走势，建立短期和长期的预测模型，为你的决策提供理论支持，让你的投资收获更多回报。 你经常旅游吗？如何设计路线使得在游遍每个景点的情况下走的路程*短？当你的资金和时间都有限的情况下，如何选择旅游路线使得整个行程的满意度达到*大？这些都是我们生活中遇到的实际问题，如何解决这些实际问题，就对应数学建模中著名的“TSP”问题。很明显，利用数学建模的知识，可以帮助我们解决实际生活中的一些问题。 在大数据时代的今天，数学在社会中的应用越来越广泛，不仅仅运用于自然科学的各个领域，而且慢慢地渗透到经济、管理、军事等社会活动的各个领域。社会对做纯数学的人才虽然尊重，但往往需求量不是很大，反而对那些可以运用数学解决实际问题的人才格外关注，而这些“实用性”人才往往成为社会生产生活中的佼佼者，为公司和企业带来经济利益。 社会对建模人才求贤若渴，而且这个缺口还很大。数学建模在丰富了我们课余生活的同时，还开发我们的大脑，开拓我们的视野，让我们拥有和全世界的大学生在公平、公正的竞争平台上角逐的机会，更为我们以后的工作奠定了基础。 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。这种从实际中提出问题，建立数学模型到模型求解的完整过程就是数学建模。 一年一度的全国大学生数学建模竞赛推动了数学建模的快速发展。作为科学研究和企业活动中必不可少的工具，数学建模已经成为高校*大的课外科技活动，在培养动手型、创新型人才方面起着越来越重要的作用。 1.1.2 数学建模的步骤 数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构。它源于现实生活中的实际问题，但是又高于现实，是现实的提炼、总结。而数学模型只有经过现实的检验，才具有实际意义。 从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念、各种公式和各种理论，因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的。从这个意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内在关系的数学表达。数学模型往往是现实生活中一类问题的适当简化和提炼，从而构成了用一个数学模型可以解决多个问题的目的。 案例 通常情况下，1kg面、1kg馅，包100个汤圆，现在，1kg面不变，馅比1kg多了，问应该多包几个（汤圆包小一些），还是少包几个（汤圆包大一些）？ **步 问题的分析 面皮是一定的，1kg不变，在皮的厚度一定的情况下，也就是比较：是大皮包的馅多，还是小皮包的馅多。这就涉及面积（皮的大小）和体积（馅的多少）之间的关系。 当半径为R的大皮切分成半径为r的n个小皮，那么是大皮包的馅多还是n个小皮包的馅的总和多？为叙述方便，大皮包的汤圆叫大汤圆，小皮包的汤圆叫小汤圆。 第二步 模型的假设 假设1:皮的厚度一样。 假设2:汤圆的形状一样，近似为球体。 第三步 符号说明 第四步 模型的建立 由面积公式可为π（1.1.1）和体积公式可为43π（1.1.2）可以得到表1.1.1。 表1.1.1 大、小汤圆面积与体积的结果 第五步 模型的计算 联立（1.1.3）和（1.1.4）式、（1.1.5）和（1.1.6）式，分别得到大汤圆体积和面积之间的关系:小汤圆体积和面积之间的关系： 由于面皮是不变的，所以面皮的面积满足： 联立（1.1.7）～（1.1.9）式可得 由（1.1.10）式可知，大汤圆的体积是小汤圆体积的倍。 第六步 模型计算的结论 对于原问题：1kg面、1kg馅，包100个汤圆，现在面皮不变，包50个汤圆，可以包1.414kg的馅。所以当面皮不变，馅多的时候，应该包大一些。 第七步 模型的推广 工厂生产牙膏，规格有大有小，作为牙膏长期使用的消费者，你是选择大规格的还是小盒装的？不仅是牙膏，像肥皂等需要包装的商品都涉及包汤圆的问题模型。 另外，根据内容研究的需要，还可以在数学建模问题研究中增加步骤，如在**步后面增加“数据的预处理”，在第六步后面增加“结果形成的原因分析”“模型的检验”等。 1.2 数学建模论文写作技巧 1.2.1 论文写作的重要性 对于建模论文写作的重要性，在这里还是要强调一下。数学建模论文是评定参与者的成绩高低和获奖级别的唯一依据，是竞赛活动*终成绩的书面形式，是提交给专家评阅的唯一材料。所以，论文本身占有相当比重的分数，即使有好的想法，无法正确使用论文表现出来，阅卷老师看不懂你写的论文，那么获奖就很难了。 论文写作不仅在建模比赛中占有举足轻重的地位，而且在以后写毕业论文和发表文章时更为有用。 1.2.2 论文的结构 写作之前应该了解一篇建模论文的结构组成，只有对各个部分了如指掌之后，才能在写的时候运用自如。建模论文的结构（有些部分可增可减）见表1.2.1。 表1.2.1 建模论文的结构 对于表1.2.1中的八个部分，有一种常用的说法：八股文。这里的“八股文”并不带有任何感情色彩，只是为了形象，便于记忆。 1.2.3 论文结构的具体说明 1.摘要 摘要应表述准确、简明，条理清晰，合乎语法。字数1000字左右，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果，一般占用一页的80%左右，这样给阅卷老师的印象很好，但是表达一定要简洁，不能为了凑字数将句子写得很累赘。*好不要有公式和图表，如果公式是整篇论文的核心，可以有公式，为了直观展示结果，表格可以有，但是图是不能有的。并且在使用公式和表格的时候要慎重，如果能在文中展示的尽量在文中展示，不要出现在摘要中。 简单地说，摘要可以分为三步骤：①用了什么方法;②解决了什么问题;③得到了什么主要结论。 接下来以一篇全国大学生数学建模竞赛二等奖的论文为例，详细说明如何写摘要（论文源自华中农业大学2007年国赛队员马建伟、许长延、赵武的论文）。 中国人口增长预测 摘要 庞大的人口数量一直是中国国情的*显著特点之一，人口问题也始终是制约我国发展的关键因素。要实现可持续发展战略，必须首先解决人口问题。本文结合国内实际情况，从中国的人口数量、人口结构和人口控制考虑，分三个步骤对中国的人口问题进行探讨。为解决中国的人口问题提供了一个切实可行的参考方案。 **步，对中国人口数量分短中期和长期进行预测。 人口数短期预测，我们考虑应用logistic曲线来预测，对1979～2005年全国总人口数进行拟合，并将其与实际值作比较，发现*大误差不超过0.6%，拟合效果比较好；然后我们再采用该曲线对以后的15年全国人口进行了中短期预测，结果显示，到2010年我国总人口将达到13.502亿，2020年将达到13.919亿。 人口数长期预测，我们首先仍考虑能否也用logistic曲线来预测长期的人口增长，经过计算验证发现，用logistic曲线来预测长期变化误差很大，故考虑用Leslie模型来预测长期的人口增长。在进行简单的预测后，发现误差比较大，*小误差达到6.345%。在进一步考虑我国的迁移人口对我国人口的影响，以及我国的男性因素（即考虑总人口中男女比例不是定值）的基础上，我们对Leslie模型做出了很大的改进，使误差降低到不超过2%。*后我们用改进的Leslie模型对中国的人口进行了长期的预测，根据预测结果，中国总人口数在2030年达到峰值，届时人口总数达到15.37838亿；之后人口总数将有所下降，到2050年，人口总数为14.55亿。