经济数学(一) (一元微积分)

第1章 函数 函数是数学中*重要的基本概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的反映，也是微积分学研究的主要对象。本幸将在中学已有知识的基础上，进一步阐明函数的定义和性质，总结在中学己学过的一些函数，并介绍一些经济学中常用的函数。 1.1 函数 1.1.1 集合 1.基本概念 1）集合的含义 某些指定对象构成的总体，构成集合的对象称为集合的元素。 2）集合元素的三特性 （1）确定性——对确定集合而言，任一指定对象或者是或者不是确定集合中的元素。 （2）互异性——在确定集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同对象归入一个集合时仅算一个元素。 （3）无序性——在确定集合中，元素的排列不分先后顺序，因此判断两个集合是否相同仅需比较它们所含元素是否相同，不需考查元素的排列顺序是否一样。 3）集合的表示 通常用大写字母A，B，C，X，Y， 表示集合，小写字母a，b，c，x中， 表示元素。 （1）列举法——把集合中的元素——列举出来，然后用大括号括起来。例如，A={a，b，c}。 （2）描述法——若集合是由具有某种性质P的全体元素所组成，则可将集合表为{a|a具有性质P}的形式。例如，A={a|α为非直角三角形}，B={x|x-3＞2}。 4）常用数集及其记号 自然数集∩，正整数集∩+，整数集Z，有理数集Q，正有理数集Q+，负有理数集Q-，实数集R，正实数集R+，负实数集R-。 5）集合的分类 有限集——所含元素个数有限的集合。 无限集——所含元素个数无限的集合。 6）集合、元素间的基本关系 （1）集合与元素间的基本关系 当a是集合A中的元素时，称元素a属于集合A，并记作a∈A，否则称元素a不属于集合A，记作a∈A。例如，0∈∩。 （2）集合与集合间的基本关系 相等——若集合A与B具有相同的元素，则称A与B相等，并记作A=B。 子集——若集合A中的元素都是集合B中的元素，则称A是B的手集，也称A包含于B或B包含A，并记作AC：B或，而A＜t：B则表示A不是B的子集。 真子靠——若AC：B且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，并记作或。 空集——不含任何元素的集合，通常用表示，并规定：空集是任何集合的子集。 显然，对任何集合A与B来说，下列关系成立（自己思考或验证）： 若AB，BC：C，则AC（传递性）。 为方便讨论起见，今后不再区分包含符号与真包含符号。 2.集合的运算 1）并运算 由A和B中的所有元素组成的集合称为A和B的并集，并记作A∪B，即 2）交运算 由A和B中的所有公共元素组成的集合称为A和B的交集，并记作A∩ B，即。 3）差远算 由属于A而不属于B的所有元素组成的集合称为A和B的差集，并记作A-B，即。 4）补运算 若A|（|称为全集），则称差集|-A为集合A关于全集|的补集，并记作AC，即。 3.集合的运算性质 （1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。 （2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。 （3）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）。 （4）对偶律：（A∪B）c=Ac∩Bc（A∩B）c=AC∪BC。 1.1.2 实数集与敢轴 实数集——由全体实数构成的集合{x|-∞＜x＜+∞}，并记作R，即R={x|-∞＜x＜十∞}。 数轴——具有原点、方向和单位长度主要素的直线。 数轴的主要意义在于把实数用数轴上的点表示出来，且数轴上的全体点与全体实数构成——对应的关系（图1-1）。 图1-1 1.1.3 区间 区间——介于某两个实数之间或不超过（不小于）某一实数的全体实数或全体实数，即 1.1.4 绝对值 对任意实数x，用符号|x|表示x的绝对值，并规定且易见|x|=|x一01表示数轴上的点x与原点之间的距离，绝对值及其运算具有下列性质： |-x|=|x|，-|x|≤x≤|x|； ||x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y|，|xy|=|x||y|； 1.1.5 邻域 定义1.1 若a∈R，δ＞0，则称实数集（开区间）{x||x-a|＜δ}={x|a-δ＜x＜a+}=（a-δ，a+δ）为以点a为中心，δ为半径的邻域，简称点a的δ邻域（图1-2（a）），并记作∪（a，δ），即∪（a，δ）={x||x-a|＜δ}={x|a-δ＜x＜a+δ}=（a-δ，a+δ）而将从∪（a，的中去掉中心点a后的集舍。（的称为点a的δ去心邻域（图1-2（b）），即U（a，δ）={x|0＜|x-a|＜a-δ，a）∪（a-δ，a+δ）。 例1.1 解不等式|x+3|≥1（用区间表示），并在数轴上表示出来。 图1-2 解 由|x+3|≥1=x+3≤-1或x+3≥1=x≤-4或x≥-2。用区间可表为（-∞，-4]∪[-2，+∞）， 用数轴表示则如图1-3所示。解毕 图1-3 例1.2满足不等式|x十21＜5的全体实数，称为以（）为中心、（）为半径的邻域，用区间可表为（），并在数轴上表示出来。 解因|x+2|＜5即|x-（-2）|＜5，故前两个括号内应填-2和5，而由|x+2|＜5=7＜x＜3，因而后一个括号内填（-7，3），且在数轴上的图形如图1-4所示。解毕 图1-4 1.1.6 函数概念 1.函数定义 函数，是微积分研究的主要对象，也是数学中*基本的概念之一，它反映的是两个实数集之间的一种对应关系，下面给出定义。 定义1.2 若DR，且f是由D到R的一个对应法则，使得对每个z∈D，通过f都存在**的y∈R与之对应，则称f为定义在D上的函数，也称y是x的函数，并记为f：D-R或y=f（x）（x∈D），同时称z为自变量，y为因变量，D为函数f的定义域（还可将D记为DJ，以明确DJ为函数f的定义域），而将全体函数值构成的集合称为函数f的值域，将坐标平面上的点集{（x，y）|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）（x∈D）的固像或图形。 如果仅用式子穴。表示函数时，则其定义域指的是使式子穴。有意义的全体实数x构成的集合，并称这样的定义域为函数f的自然定义域（或*大定义域）。 例1.3 求函数y的定义域D。 解要使式子（X-2）有意义，则必有即有（x+1）（x-1）≥0，x≠1，，由此可解得x＞|或x≤-1，即D=（-∞，-1）∪（1，+∞）。解毕 例1.4 求函数y的定义域D 2.函数的要素及相同函数的判定 由函数的定义知，确定一个函数主要由其两个要素（1）定义域（2）对应法则所决定。因此，对给定的两个函数f和g，要判断它们是否表示同一个函数，只要看它们对应的两对要素是否分别相同即可，即f和g表示同一个函数f与g表示的对应法则相同，所以，一个函数用什么字母作为其自变量和因变量的符号都可以，都不影响函数的实质，如y=f（x）（x∈D）；s=f（t）（t∈D）与v=f（∪）（∪∈D）都表示同一个画数。 例1.5 判断下列各对函数是否相同，并说明理由： （1）f（x）=lnx2，g（x）=2lnx； （2）f（x）=x，g（x）=|x|； （3）f（x）=|x|，g（x）=。