包邮感悟数学——数学文化与数学学科导论

　　第1讲　信息时代人才的数学素养随想 21世纪的社会是一个信息社会。信息社会有两个主要特征:一是数学的应用日益广泛，二是计算机技术迅猛发展。 早在1959年，我国著名数学家华罗庚教授在《大哉数学之为用》的文章中，曾形象地概述了数学的各种应用:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”时至今日，计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题成为可能，大量新兴的数学方法正在被有效地采用，数学的应用范围更是急剧扩大。计算机具有处理大量信息的功能，因此定量分析的技术已经渗透到一切学科领域。如果说第二次世界大战以前，数学主要用于天文学、物理学，那么现在，数学已经深人到化学、生物学、经济学、管理学等各个学科领了。 我们现在都能深切地感受到，计算机技术的发展已经对人类社会的全部生活(包括物质生活与文化生活)产生了十分巨大的影响。计算机被称为“改变世界的机器”是毫不为过的。 计算机*明显的功能就是能高速度地进行大量计算，这种高速计算使得求解过去无法求解的问题成为可能。因此，科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三大支柱。 综上所述，21世纪信息社会的两个重要特征，简言之就是“数学无处不在”“计算机无处不在”。 数学素养是数学知识和能力的综合体现。根据上述分析，21世纪的专业人才究竟应该具备什么样的数学素养呢？我们认为，除了过去常讲的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力外，特别还应具备数学建模能力与数值计算能力(含数据处理能力），即会用数学解决实际问题，会用计算机进行科学计算。 中国科学院院士吴文俊教授在《数学教育不能从培养数学家的要求出发》一文中指出：“任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其他学科中出现的数学问题。学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的，但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。” 中国科学院院士王梓坤在《今日数学及其应用》一文中指出"精确定量，思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维就是指人们从实际问题中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，*后编制解决问题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用。” 1992年美国工业与应用数学学会的一篇论文指出：“一切科学与工程技术人员的教育必须包括越来越多的数学和计算科学的内容。数学建模和相伴的计算正在成为工程设计过程中的关键工具。”美国科学、工程和公共事务政策委员会在一份报告中指出：“今天，在技术科学中*有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。” 21世纪培养的各类专业科技人才，应该具有将他所涉及的专业实际问题建立数学模型的能力，这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。 1.1数学专业的学生要了解机器证明的思想 以沉思默想为主的传统的数学研究方式虽有数千年光荣历史，但人的脑力劳动毕竟有其生理极限，数学规律正如其他自然规律一样是客观存在，它不会迁就于人类的能力。譬如“四色定理”在1976年已被两位美国科学家用计算机予以证明，但迄今仍有一些学者努力寻求不依赖于电脑的“人脑证明”。谁也不知道对这一具体问题这样的证明是否存在。可以肯定的是，一定存在许多足够复杂的命题，对这些命题人脑证明是难以实现的。例如，一个举重运动员无论多么优秀，人们不能指望他有朝一日能徒手举起一艘航空母舰。数学证明的冗长和复杂已经到了常常难以对其作出鉴定的地步。数学文稿的审查正在逐渐变为一项人力所不能胜任的工作，这或许将导致新一轮的数学危机。 我们知道，大部分的推理结果在一定时期内是无法用实践来检验的，所以必须有手段来保证推理的严密可靠，数学方法是保证严密推理的光辉典范，在这个意义上它是不应该消逝的，将会消逝的是那种艰苦卓绝的手工推理方式。作为智力劳动机械化的前驱，数学研究正在逐步走向机械化。 让我们看一个机器证明的例子，进而理解机器证明的基本思想。 大家在中学里都学过什么叫恒等式，下面的等式 (1.1) 就是一个恒等式。能否不用演绎的办法而用归纳的办法来证明它是一个恒等式呢？ 用x=1代入，两边都得0;用x=2代入，两边都得1;用x=3代入，两边都得4。 这样举了三个例子之后，能不能肯定式(1.1)就是恒等式了呢？恒等式就是要求对x取所有的数值时两边都相等。以上验证了三个x的值，怎么能断定它一定恒等呢？ 其实，这样验证了三次已经证明了式(1.1)是恒等式。道理是:如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，这种方程不可能有三个根。现在x=1，2，3都是“根”，说明它是恒等式。 这里，我们用数学上承认的演绎法证明了归纳推理的有效性。 其实，一个例子就能证明式(1.1)是恒等式。取x=10，代入两边都是81，就说明了式(1.1)是恒等式。 因为如果式(1.1)不是恒等式，就可以将它整理成一个二次或一次方程: (1.2) 因为式(1.1)左边展开后至多有4项，每项系数都是±1，右边系数绝对值*大的是2，因此a，b，c都是绝对值不大于6的整数。用x=10代入方程(1.2)得 (1.3) 因而 (1.4) 因为|a|<6，所以a=0。 由式(1.3)得 因而 (1.5) 所以又有b=0，从而c=0。 这就证明了方程(1.2)是恒等式。 这个方法也适用于检验高次的多变元的代数等式是不是恒等式，只用一个例子就可以了。当次数越高、变元越多时，例子所涉及的数值就越大。 这些数学事实表明，归纳推理可以有效地证明一般性的问题，甚至可以用一个例子证明一般的命题，而特例的验证可以在计算机中进行，这正是“机器证明定理”的基本，思想之一。 用举例的方法证明几何定理的研究，这是在近30年活跃起来的领域。企图用几何证明数学定理，这是历史上一些杰出的数学家与哲学家美妙的梦想。17世纪法国哲学家、数学家，解析几何的创始人笛卡儿曾经有过一个大胆的设想:“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题”。笛卡儿想得太简单化了，但这种设想使他用坐标方法——解析几何方法，把初等几何问题化成了代数问题，对数学作出了杰出的贡献。如果笛卡儿的设想得以实现，一切科学问题都可以机械地解决了，因为代数方程求解是有机械法则的。 20世纪40年代后期，电子计算机问世以后，各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何定理的方法，但一直未能在计算机上真正地证明非平凡的几何定理（美国人证明的四色定理，不属于纯粹的几何定理）。直到1977年，中国数学家吴文俊教授发表了初等几何机器证明新方法之后，在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实。一个古老的梦开始实现了。用吴氏方法已在计算机上证明了600多条不平凡的几何定理，其中包括一些新发现的定理。 吴氏方法的基本，思想是:先把几何问题化为代数问题，再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，代数恒等式的检验是机械的，问题的转化过程也是机械的，整个问题也就机械化了。在吴氏方法的基础上，1986年，洪加威发表了他的引起广泛兴趣的结果:对于相当广泛的一类几何命题，只要检验一个实例便能确定这条命是不是。 特例的检验，竟能代替演绎推理的证明。这不仅是深刻的数学思想，也具极高的哲学意味。微观上的偶然性，呈现出宏观上的必然性。普遍性寓于特殊性之中。 1.2财经类各专业的学生要掌握数学软件的使用 计算机已成为经济和管理研究强有力的甚至是不可或缺的工具。在许许多多的经济理论和实证研究中，大量应用计算机进行辅助分析和处理，借助Mathematica、Matlab、Lingo等数学与通用软件系统进行符号计算、数值计算与计算机绘图，结合理论研究分析，根据具体问题研制相应的各种计算机辅助分析软件及前置和结果处理程序。研究工作往往必须将理论证明与计算机处理相结合完成。计算机可以迅速完成用人工难以甚至无法处理的大量繁琐、复杂、困难的运算与推导工。 Mathematical数学软件可用于数值计算、符号运算、函数作图，就像通常的计算器一样方便。例如，分解因式、解方程组、解微分方程，求极限、求函数的导数、微分、积分，三角函数表，幂级数展开，求矩阵的乘积，求矩阵的逆，可以到任意位，可以作一元函数的图形，二元函数的图形等。 Matlab语言是一种高效率的用于科学工程计算的高级语言。与BasiC、Fortmn、C等语言比较，Matlab的语法规则简单，更加贴近人的思维方式。用Matlab写程序，犹如在一张演算纸上排列公式和求解问题，编程效率很高，因此称为“演算纸式的”科学工程的算法语言。Matlab语言调试方便，调试过程中可设置中断点，存储多个中间结果，把编辑、编译、连接和执行融为一体，并能快速排除程序中的错误。可以说，Matlab不仅是一种语言，而且在广义上是一种语言开发系统。Matlab语言扩充能力强，能够方便地扩展其功能和方便地调用Fortran语言和C语言的已有程序，从而可充分利用已有的程序资源。Matlab语言在进行矩阵运算方面，显得特别简捷、高效和方便。随着Matlab版本的不断更新，其功能越来越强，使之在诸如一般数值计算、数字信号处理、系统识别、自动控制、振动理论、时序分析与建模、优化设计、神经网络控制、化学统计学、动态仿真系统、特殊函数和图形等领域表现出一般高级语言难以比拟的优势，并且可方便地用于几乎所有的科学和工程计算的各个方面。 Matlab语言易学易用，不要求使用者有高深的数学和程序语言知识，不需要使用者深刻了解算法和编程技巧。只要将数学方程算式按Matlab语言规则输入给计算机，Matlab将如你所愿给出该问题的相应解。 1.3学会数学实验，提高动手能力 计算机仿真实验（即计算机模拟），就是将所要研究问题的数学模型转换为输入计算机进行运算的形式，或将所要研究的问题设计成实验，将图形显示在计算机屏幕上，由计算机进行大量计算，甚至推导与证明，得出某种新的结论或新的发现。这种研究方法正在部分地代替实际实验或成为其重要的补充。一些“实验数学家”正在创立一种新的数学研究方法，即主要通过计算机实验从事新的发现。在这些数学家看来，数学正在成为一门“实验科学”。也有一些数学家认为，由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种关键的普遍适用的技术。 “数学实验”可以理解为“数学模型方法”的初步实践，“数学模型方法”已成为科学技术中常用的非常重要的方法，它是数学和其他科学技术之间的媒介和桥梁。所谓“数学模型”是指利用数学语言模拟现实，即将某种事物的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表达出来的一种数学结构。所谓“数学模型方法”是指利用数学模型解决实际问题的一般数学方法。用“数学模型方法”解决实际问题的过程是根据实际问题的特点和要求，作出某些合理的假设，使问题简化，并进行抽象概括，建立数学模型，然后研究求解所建立的数学模型方法与算法。*后将求解所得到的结果返回到实际中去解释、检验。 “数学实验”具有以下特点： 以问题为载体——通过实际问题的解决，培养应用数学知识解决实际问题的意识与能力。因此选择适当的实际问题就十分重要。 以计算机为手段一实际问题的解决离不开数值计算，计算机的强大功能正是高速计算。 以软件为工具——科学计算工具的主体是各种软件，而它们的共同基础是