分析力学

**章 虚位移原理 　　以前学过的刚体静力学又称为几何静力学.用几何静力学方法求解刚体系统的平衡问题，在一般情况下，对每个刚体需列6个平衡方程，方程中的未知力包括主动力和约束反力;若有n个刚体，共需列6n个平衡方程;刚体越多，方程越多.另外，一些平衡问题只需求主动力之间的关系，方程中出现的约束反力在求解过程中要消去，等等.这一切显然是十分繁琐的. 　　现在我们来介绍另一种称为分析静力学的方法，应用这种方法能有效地解决上述问题. 　　在分析静力学中，以虚位移原理为基础，应用任意非自由质点系平衡的必要和充分条件，列平衡方程.就是说，对于一刚体系统，可以建立与系统的自由度数相等的平衡方程.如果系统的刚体数目多，而自由度数目少，则相对而言，平衡方程的数目大大减少.再者，应用分析静力学的方法直接建立了主动力之间的关系，避免了未知约束反力的出现，使得非自由质点系的平衡问题的求解变得简单起来. 　　将虚位移原理与达朗伯原理结合起来可导出非自由质点系的动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法.在此方程的基础上，形成和发展了分析动力学.在下一章中将对分析动力学中*重要的方程——拉格朗日方程进行讨论. 　　下面我们从分析力学的基本概念说起. 　　§1-1 约束及约束方程 　　在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体称为该物体的约束.现在从运动学的角度来看约束的作用，一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种限制条件称为该质点系的约束.例如，圆球被限制在水平面上作纯滚动，这时约束表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变;圆球与水平面接触点的速度在每瞬时都为零.又如，冰刀的运动方向只能沿冰刀的纵向.在一般情况下，约束对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程. 　　如图1-1所示质点M被限制在半径为R的球面上运动，质点的位置由直角坐标(x，y，z)表示，则质点M的约束方程为 　　又如图1-2所示oxy平面内的曲柄连杆机构，曲柄销犃被限制在以r0为中心，r为半径的圆周上运动;滑块B被限制在沿ox轴的水平直槽中运动;AB两点间的距离等于l.此机构的约束方程可表示为 (1-2) 　　按约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下: 　　(1)完整约束和非完整约束 　　约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者说，约束只限制质点系各质点的几何位置，而不限制其速度，这种约束称为完整约束或几何约束.其约束方程的一般形式为 　　如果约束方程中包含有坐标对时间的导数，或者说，约束还限制各质点的速度，这种约束称为非完整约束或运动约束.其约束方程的一般形式为(1-4) 　　这种约束是用微分方程形式表示的，一般说来，是不可积分的.但也有些例外的情况，例如图1-3所示，半径为R的车轮沿直线轨道作纯滚动.车轮轮心A至轨道的距离始终保持不变，所以其几何约束方程为 　　由此可见，可积分的运动约束方程，通过积分可以转化为完整约束方程.可积分的运动约束与完整约束实质上是等价的. 　　非完整约束中*简单的是线性非完整约束，它的约束方程中只包含速度的线性项，方程的一般形式为 　　 (2)双面约束和单面约束 　　如果约束在两个方向都起限制运动的作用，则称为双面约束.如图1-4 所示单摆，小球M用长为l的刚性杆铰联于球支座o上，小球只能在半径为l的球面上运动，其约束方程为 　　如果约束只在一个方向起作用，而在另一方向能松弛或消失，这种约束称为单面约束.上例中将刚性杆换成柔索，则小球不仅能在球面上运动，还可以在球面内运动，其约束方程就为 　　(3)定常约束和不定常约束 　　如果约束方程中不显含时间狋，这种约束称为定常约束或稳定约束.它的约束方程的一般形式为？前面所举的例子均为定常约束. 　　如果约束方程中显含时间狋，这种约束称为不定常约束或不稳定约束.它的约束方程的一般形式为式(1-3)和式(1-4). 　　在图1-1中，若质点M被限制在膨胀或收缩着的气球面上运动，设气球的半径为时间狋的函数，则约束方程为这种约束是不定常约束. 　　以下我们主要是讨论完整的？双面的和定常约束的情况.这种约束方程的一般形式为 　　前面所列举的式(1-1)和式(1-2)都属于这类约束方程. 　　§1-2 自由度和广义坐标 　　设质点系由n个质点组成，在直角坐标系中需3n个坐标来确定质点系在空间的位置.若是自由质点系，我们说它有3n个自由度.若质点系受到s个完整约束，其约束方程为式(1-3)或式(1-5)，则3n个坐标需满足s个约束方程，每一个约束方程制约方程中的任一个坐标，因此只有3n-s个坐标是独立的，而其余的s个坐标均可写成这些独立坐标的给定函数.由此可知，要确定质点系的位置不需要3n个坐标，只需确定任意犖=3n-s个独立坐标就够了.确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为质点系的自由度数①. 　　例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小球位置的直角坐标为