数值分析原理(第2版)

第1章绪论 1.1数值分析的对象与任务 科学与工程领域中的问题求解一般需要经历如图1.1所示的过程。某个领域的专家首先提出实际问题，然后辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，作出合理假设，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系 ，进而得到完备的数学模型。在模型解的存在性与唯一性得到论证后，现实问题就是如何求得其解。然而通常所建立的数学模型的分析解是很难得到的，于是退一步局限于讨论该模型的各种特殊情形或简化之后模型的分析解， 但这样做往往不能满足应用要求，甚至于较大地偏离实际问题。随着计算机的迅猛发展，特别是每秒数千亿次浮点计算机系统的诞生，为用数值方法求解较少简化的数学模型提供了强大的工具保证。 所谓数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。 需要注意的是，数学模型不一定是数值问题，如求解一阶常微分方程初值问题，要求得到定义于区间上的函数解析表达式，这实际上是要求出无穷多个输出，因而它不是数值问题。但当我们要求得到n个点处的函数值时，便 成为一数值问题。该数值问题可以通过欧拉(Euler)方法求得其近似解。数值分析的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法——算法。 从程序设计的角度来讲，所谓算法是由一个或多个进程组成；每个进程明确无歧义地描述由操作及操作对象合成的按一定顺序执行的有限序列；所有进程能够同时执行并且协调地在有限个操作步骤内完成一个给定问题的求 解。这里操作可以是计算机能够完成的算术运算（加减乘除）、逻辑运算、字符运算等。 若算法仅包含一个进程，则称其为串行算法，否则为并行算法。从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占大多数时间，则称其为数值型算法（数值方法），否则为非数值型算法。本课程介绍数值型串行算法。 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。算法的可靠性包括如下几个方面：算法的收敛性、稳定性、误差估计等。这些是数值分析研究的第二个任务。 评价一个可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护）。这是数值分析研究的第三个任务。 由于数值分析研究对象以及解决问题的方法具有一定的广泛适用性，现在流行的软件如Maple，MATLAB，Mathematica等已将其绝大多数内容设计成简单的函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但实际问题的具体特征、 复杂性，以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面的问题： 函数的插值和逼近、数值积分和数值微分、线性代数方程组求解、非线性方程（组）求解、代数特征值问题、常微分方程数值求解。 1.2误差基础知识 1.2.1误差来源 在建立数学模型的过程中，不可避免地要忽略某些次要矛盾，因而数学模型往往是对实际问题的一种近似表达，我们将数学模型与实际问题的差异称为模型误差。同时，数学模型中常常还包含一些参数，它们是通过仪表观 测得到的，将其中包含的误差称为观测误差。在数值分析中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理地反映了客观实际问题。 我们将数值问题的精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异，称为截断误差或方法误差，这是由时间的有限性导致的，事实上，算法必须在有限步内执行结束，它需要将无穷过程截断为有限过程。我们知道，如果以作 为e的近似值，则e与en的差异就是en近似e的截断误差。 在用计算机实现数值方法的过程中，参与运算的实数用浮点数系表示，计算机中的浮点数采用的是固定有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示在某个有限范围内的某些有理数，不能准确表示数学中的所有实数， 这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据，以及*终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。它是由空间的有限性导致的。如利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似。 这样由作为e的近似包含舍入误差和截断误差两部分。 数值分析课程研究舍入误差和截断误差的估计、传播和控制。 1.2.2误差度量 1.误差及误差限 定义1.1设是真值的一个近似，称近似的绝对误差，简称为误差。在不引起混淆时，简记符号为。 误差有正有负，当误差为正时，近似值较真值偏大，称此近似为“强近似”；当误差为负时，近似值较真值偏小，称此近似为“弱近似”。 通常真值x是不知道的，故不能计算出绝对误差e*。如果存在正数，使得绝对误差，则称为近似的一个绝对误差限，简称误差限。 此时有，工程上习惯用表示这一事实。实际计算中所要求的误差，是指一个尽可能小的绝对误差限。 2.相对误差及相对误差限绝对误差限虽然能够刻画对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻画对不同真值近似程度的好坏。例如，对于测量结果，尽管对x和y的测量绝对误差限满足，但绝对误差限在真值中所占的比例却有 不等关系，因此，我们并不认为测量比更精确。 定义1.2设是真值的一个近似，称近似x的相对误差。在不引起混淆时，简记符号为。因，即与相差一个较高一阶的无穷小量，故有时也用后者来计算相对误差。 称数值的上界为相对误差限，记为，也可以通过来计算。类似地，计算相对误差，是指估计一个尽可能小的相对误差限。 上述示例是对不同测量量的近似，由知，对的近似较对的近似程度好。 3.有效数字及有效数 为规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小，需要引出有效数字和有效数的概念。 例1.1确定十进制数“四舍五入”方法的误差限。 解　设十进制数x有如下的标准形式，(1.1)其中m为整数，且。 对x四舍五入保留n位数字，得到近似值．(1.2) 四舍情形下的误差限。 五入情形下的误差限。 综合以上两点，“四舍五入”法的误差限是。 定义1.3设x(≠0)的近似值有如下标准形式(1.3) 其中m为整数，且。如果有尽可能大的正整数n，使得有，则称为x的具有n位有效数字的近似数，或称精确到小数点后第n位，其中数字分别被称为的**，第二， ，第n个有效数字。 从如上定义可以看出，近似同一真值的近似数的有效数字越多越精确。 当精确到末位，即有n=p时，则称为有效数。综合例1.1和定义1.3知，真值x通过四舍五入法得到的近似数都是有效数。有效数的末位数所在位置的单位的一半是其误差限，可见有效数本身就体现了误差界。如有效数20.12 和20.120是不同的。前者有4位有效数字，绝对误差限是0.005，相对误差限是0.00025；后者有5位有效数字，绝对误差限是0.0005，相对误差限是0.000025。可见有效数的末尾是不能随意添加零的。 本章约定，凡没有标明误差界的近似数都是有效数。 例1.2取x=12.49，问x的近似值和分别有几位有效数字，它们是有效数吗？ 解　真值，故x的近似值和分别有3位、2位、3位有效数字，是有效数，和不是有效数。 4。三种度量之间的联系 定义1.3表明：对同一数的近似，绝对误差越小，有效数字不会减少；有效数字增加，绝对误差一定减少。 相对误差与有效数字之间的联系由如下定理表述： 定理1.1设非零实数x的近似数具有形如式(1.3)所示的标准形式： (1)若具有n位有效数字，则相对误差； (2)若相对误差，则至少具有n位有效数字。 证明(1)由具有n位有效数字知绝对误差。而相对误差． (2)绝对误差。 由定义1.3知至少具有n位有效数字。 例1.3为使的近似值的相对误差不超过，问查开方表时至少要取几位有效数字？ 解　设近似数至少需保留n位有效数字可满足题设要求。 由定理1.1的**个结论知，此时有的相对误差，解得，因而需取n=4位有效数字。 1.2.3初值误差传播 近似数参加运算后所得的值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为