抽象代数(科学出版社十四五普通高等教育本科规划教材)

引言 如何证明60°角不能用直尺–圆规三等分？为什么可以用直尺–圆规作出正17边形，但不能作出正七边形？这些古希腊时期的著名初等几何难题实际上是判定一个多项式方程是否可用根式解的特殊情形.经过无数先辈的努力，这些问题在19世纪由高斯(Gauss)和伽罗瓦(Galois)*终解决.他们解决这些问题的思想和方法无疑是人类智慧的结晶，也是数学中*美的部分之一，我们将在本课程中学习和欣赏它们.在进入这片美丽(但复杂)的森林之前，*好先用看地图的方式(不太严格地)了解一下抽象代数的基本概念是如何用来描述和解决这些问题的，为后面学习这些抽象概念提供动力. 我们在中学已经知道2次方程的根可以写成而3次方程通过变换可归结为解. 设是它的根.令，则4次方程的根也有类似公式，但要复杂得多.观察后发现：2次方程、3次方程和4次方程的根都可以由方程系数出发，通过有限次(加、减、乘、除)四则混合运算和开根号而得到！我们把这样的方程称为可用根式解(或简称可解).一个自然的问题是：大于4次的方程(简称高次方程)是否可解？这是历史上的著名难题，*终由天才少年伽罗瓦解决.而在伽罗瓦出生之前，困扰数学家近两千年的直尺–圆规作图问题由于另一位天才少年高斯的出现而得到突破.通过初等而又冗长的计算，他确定了可由直尺–圆规作出的正多边形的边数.事实上，在伽罗瓦的理论发表以后，数学家通过引入抽象概念和语言极大地简化和改进了伽罗瓦理论.而且无需复杂计算，可以很快得到高斯的定理. 我们以有理系数方程为例，说明如何通过引入抽象概念(语言)来准确描述f(x)=0是否可用根号解这一问题. 设是方程f(x)=0的全部根，令是由经有限次四则混合运算所得元素的集合，显然它对于加、减、乘、除封闭(即L中任意两个元素的加、减、乘、除仍在L中).不妨称对加、减、乘、除封闭的子集K为C的子域.不难看出是C的子域，C是C中包含和Q的*小子域，称为由Q添加生成的子域(亦称方程f(x)=0的分裂域).现在我们可以定义：方程f(x)=0称为可用根号解(简称可解)，如果存在子域链使得 即 是由Ki添加不可约多项式的根生成的子域.如何判断这种子域链的存在性是解决问题的关键，伽罗瓦为此引入了群这一工具.一个双射L称为L的域自同构，如果对任意L有 显然，恒等映射L是L的一个域自同构，任何两个域自同构 1的合成映射L还是一个域自同构，任意域自同构的逆映射:仍然是域自同构.令是L的所有域自同构的集合，则“映射合成”定义了一个运算 不难验证： 通常将带有上述运算的集合称为方程f(x)=0的伽罗瓦群对任意中间域 (E是位于Q和L之间的子域)，子集满足： (1) (2) 满足这种条件的子集称为伽罗瓦群Gf的子群. 伽罗瓦理论的主要定理断言：上述对应Gal(L/E)在“中间域集合与“子群集合”之间建立了一个双射，且当E是由Q添加一个方程的全部根生成的子域(称为正规扩张)时，它对应的子群Gal(L/E)必为Gf的正规子群.从而将方程f(x)=0是否可解变成一个纯群论的问题：是否存在正规子群链使都是交换群(此时称Gf为可解群). 为了判断f(x)=0是否可用根式解，显然可以假设它的n个根C互不相同.令表示所有双射T的集合，“映射的合成”定义了Sn的一个运算使得它成为一个群，称为n个元素的置换群(或n元对称群)，仍记为Sn.对任意仍然是f(x)=0的根，所以 诱导了一个双射可以用这种方式实现为Sn的子群(但一般不等于Sn). 在接下来的课程中，我们将证明，如果f(x)的系数“充分一般”，则另一方面，当n.5时，Sn必为“不可解群”，从而证明了阿贝尔–鲁菲尼(AbelRuffini)定理：一般高次方程不能用根式解. 代数的发展源自数及其运算的研究，尤其是“解方程”的研究促成了新的数和新的代数系统的诞生.例如复数及其运算的引进，伽罗瓦关于加、减、乘、除封闭的数的集合和方程根的置换群等. 在19世纪，除了置换群，还出现大量带有运算的集合(代数系统)，例如，向量、四元数、矩阵、各种超复数、几何上的各种变换群等.它们涉及的集合中元素不必是“数”，集合上的运算定义也各不相同，对某个具体系统成立的性质也未必适用其他系统.19世纪后期，数学家开始认识到，对许多不同的代数系统抽象出它们共同的内容进行研究，不仅可以提高研究效率而且所得结论具有广泛的适用性.当然，现在抽象代数课程中群、环、域的定义都是经过长时间的完善，逐步揭示出来的.例如，直到1883年，抽象群的现代定义才在戴克(Walthe rvon Dyck)的文章中出现.1893年，韦伯(Heinrich Weber)在对伽罗瓦理论进行抽象阐述的文章中引进了域的抽象定义，而环的抽象理论则直到20世纪才出现.事实上，环(ring)这个词是由希尔伯特(David Hilbert)引进的. *后，总结一下这门课程的特点也许有助于初学者.在代数系统中，重要的不是元素本身，而是它们之间的运算.例如，代数系统中的零元0，单位元1是由集合上运算确定的.对于代数系统中的运算，重要的不是它的具体定义，而是它所满足的规则.基于这样的原则，内托(EugenE.Netto)在1882年讨论置换群时引入了同态与同构.抽象代数通常将同构的群、同构的环、同构的域等看成相同的群、相同的环、相同的域！所以，当一个群(环、域)H同构于另一个群(环、域)G的子群(子环、子域)时，我们通常将H看成G的子群(子环、子域).在同构意义下，任何抽象群可以实现为变换群，任何抽象环可以实现为加法群自同态环的子环，这些群和环的“表示”为研究抽象的群和环提供了有益途径. 第1章 群环域 一个非空集合K上的(二元)运算是指一个给定的映射 这样的运算当然很多，但代数中讨论的运算总是要求满足一些条件.我们通常称带有一个(或几个)运算的集合 是一个代数系统，它上面的运算则称为集合K上的代数结构，代数的主要任务之一，就是对代数系统(或集合上的代数结构)在“同构”意义下进行分类.在本章中，我们将介绍三个*基本的代数系统：群、环、域.它们的定义都是从大量实际应用中的例子抽象而来，保留了*本质的性质，值得初学者仔细研读.在很多线性代数课程中我们可能已经学习过域的定义，并且在引言中也看到子域是如何用来描述方程可否用根式解的问题，所以我们先从回忆域的定义开始. 1.1 域的定义 设Q，R和C分别表示全体有理数的集合、全体实数的集合和全体复数的集合，则数的加法和乘法定义了这些集合上的代数结构，而代数系统分别称为有理数域、实数域、复数域.一个重要的观察就是：数的四则混合运算规则都可由九条基本规则推出.我们将采用这九条基本规则作为域的九条公理：设集合K至少含两个元素，是K上任意两个运算.如果运算满足类似数的加法和乘法的九条基本规则，则称代数系统是一个域.为了照顾我们长期养成的计算习惯，不妨将运算'1和'2分别称为“加法”和“乘法”，并将(a，b)在'1和'2下的像分别记为a+b和a b，在此约定下，我们可以将域的定义叙述如下： 定义1.1.1 设K是一个至少含两个元素的集合分别是K上的“加法”和“乘法”运算.对任意和a b分别表示(a，b)在和下的像.如果运算满足如下条件(简称域九条)： (1)(加法结合律)，则(a+b)+c=a+(b+c); (2)(零元存在性)存在元素0K.K使得; (3)(负元存在性)，存在元素使得; (4)(加法交换律)，则a+b=b+a; (5)(乘法结合律)，则(a b) c=a (b c); (6)(单位元存在性)存在元素使得; (7)(可逆元存在性)，则存在b.K使得; (8)(乘法交换律)，则a b=b a; (9)(分配律)，则;则称是一个域. 注记(1)定义中的是唯一存在的：如果存在0K，0′.K满足定义K中的条件(2)，则0满足定义中同理，如果存在的条件(6)，则. (2)对于给定的，存在唯一的满足如果都满足该等式，则:这样的 (由唯一确定)记为b= a，称为a的负元. (3)对给定的，存在唯一的使如果都满足该等式，则:这样的 (由唯一确定)记为，称为a的逆元. 定义1.1.2 0K称为域K中的零元(经常简称0)，1K称为域K中的单位元(经常简称1).对任意整数和，如果n>0，我们约定：如果，规定. 如果定义： (仅当时可定义).