试验优化设计与统计分析(第二版)

第1章试验资料的统计描述 1.1常用术语 1.1.1总体与样本 根据研究目的确定的研究对象的全体称为总体（population）。其中，每个研究单位称为个体（individual）；依据一定方法从总体中抽取的部分个体组成的集合称为样本（sample）。例如，某饮料厂某班次生产饮料1000瓶，则这个班次所生产的1000瓶饮料全体就构成研究总体，每一瓶是一个个体；从该总体中抽取100瓶进行测试分析，那么100瓶就为一个研究样本。含有有限个个体的总体称为有限总体（finite population），如上述班次生产的饮料总体为有限总体。包含有无限多个个体的总体称为无限总体（infinite population），如在生物统计理论研究中服从正态分布的总体、服从t分布的总体，包含一切实数，属于无限总体。样本中所包含的个体数目称为样本容量或大小（sample size），用n表示，如上述的研究样本容量n=100。通常把n＜30的样本称为小样本，n≥30的样本称为大样本。 统计分析一般是通过样本来了解总体，然而通常能观测到的却是样本，这就需要通过样本来推断总体，这就是统计分析的基本特点。为了能可靠地由样本来推总体，要求样本对于总体具有一定的代表性。如何获取有代表性的样本？在实践中，只有采用随机抽样方法从总体中抽取样本，才能使其具有代表性。所谓随机抽样，就是指总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取而组成样本。从总体中随机抽取的部分个体所构成的样本称为随机样本，然而样本毕竟只是总体的一部分，尽管具有一定的含量，也具有代表性，但通过样本来推断总体也不可能是百分之百的正确，虽然有很大的可靠性，但也有一定的错误率。 1.1.2参数与统计量 由总体的全部观测值计算的特征数称为参数（parameter）。参数常用希腊字母表示，如用μ表示总体平均数，用σ表示总体标准差。由样本观测值计算的特征数称为统计量（statistic），常用拉丁字母表示，如用x表示样本平均数，用S表示样本标准差，用R表示极差。由于参数通常无法获得，因此总体参数常由相应的统计量来估计，如用x估计μ，用S估计σ等。 1.1.3准确性与精确性 准确性（accuracy）也称为准确度，指试验指标的观测值与其真值接近的程度。设某一试验指标的真值为μ，观测值为x，x与μ相差的绝对值|x.μ|越小，则观测值x的准确性越高；反之则越低。精确性（precision）也称为精确度，指同一试验指标的重复观测值之间彼此接近的程度。若观测值彼此接近，即任意两个观测值xi、xj相差的绝对值|xi.xj|越小，则观测值精确性越高；反之越低。准确性、精确性的意义如图1-1所示。 图1-1准确性与精确性示意图 图1-1A观测值集中于真值μ两侧，其准确性高、精确性也高；图1-1B观测值稀疏地分布于真值μ两侧，虽然其准确性高，但精确性低；图1-1C观测值密集于远离真值μ的一侧，其准确性低，精确性高；图1-1D观测值稀疏地分布于远离真值μ的一侧，其准确性、精确性都低。 1.1.4随机误差与系统误差 在科学试验中，试验指标除受试验因素影响外，还会受到许多其他非试验因素干扰，从而产生误差。试验中出现的误差可分为随机误差（random error）与系统误差（systematic error）两类。随机误差也称为抽样误差（sampling error），这是由许多无法控制的内在的和外在的偶然因素所造成的。随机误差带有偶然性，在试验中，即使十分小心也难以消除，随机误差不可避免，但可减少，随机误差影响试验的精确性。统计上的试验误差通常指随机误差，这种误差越小，试验的精确性越高。系统误差也称为片面误差（lopsided error），这是由试验材料差异较大、试验周期较长、试验条件控制不一致、测量仪器不准、标准试剂标定不准等所引起。系统误差影响试验的准确性，它可以通过改进试验方法、正确设计试验来避免和消除。图1-1C和D所表示的情况，则是出现了系统误差的缘故。一般来说，只要试验工作细致，系统误差就可以克服。图1-1A表示克服了系统误差的影响，且随机误差较小，因而准确性、精确性高。 1.2数据资料的分类与整理 由调查或试验得到的**手数据资料称为原始资料。原始资料往往是零乱的，无规律性可循的。只有通过科学的统计整理和分析，才能发现其内在规律性。数据资料的整理是进一步统计分析的基础。数据资料按其性质的不同，一般可以分为数量资料和质量资料。 1.2.1数据资料的分类 1.数量资料 数量资料是指以测量、计量或计数方式获得的数据资料。数量资料又分为计量资料（连续性变数资料）和计数资料（间断性变数资料）两种。 1）计量资料计量资料是指用测量手段得到的数据资料，即用度、量、衡等计量工具直接测定的资料，这种资料的各个观测值不一定是整数，两个相邻的整数间可以有带小数的任何数值出现，其小数位数的多少由度量仪器或工具的精度而定。从理论上讲，观测值数据是连续性的。因此，计量资料也称为连续性变数资料，如食品中各种营养物质的含量、苹果的单果重量等。 2）计数资料计数资料是指用计数方式得到的数据资料。在这类资料中，各个观测值只能以整数表示，在两个相邻整数间不可能有带小数的数值出现，各观测值是不连续的，因此该类资料也称为不连续性变数资料或间断性变数资料，如一箱苹果的腐烂果数、微生物的菌落个数等。 2.质量资料 质量资料是指能观察到但不能直接测量的、只能用文字来描述其特征的资料，如食品颜色、风味、酒的风格等。这类资料本身不能直接用数值来表示，为统计分析方便，需对其观测结果做数量化处理，常用的方法有以下几种。 1）统计次数法在一定的总体或样本中，根据某一质量性状的类别统计其次数，以次数作为质量性状的数据。例如，在研究批次产品合格数与次品数时，可以统计其合格与次品个数。这种由质量性状数量化得来的资料可视为次数资料。 2）评分法对某一质量性状，因其类别不同分别给予评分。例如，分析面包的质量时，可以按照国际面包评分细则进行打分，综合评价面包质量。 3）分级法将不同性状分成几级，分别统计不同级别的资料个数，从而进行次数资料分析。 4）秩次法将各种处理按指标性状的好坏排序，即秩次，采用非参数检验的方法对秩次进行统计分析，这在食品感官评定过程中常用到。 5）化学分析法对于某些质量指标，虽然用分级法、统计次数法也能得到数量资料，但得到的多数是计数资料；若借助化学分析手段即可得到计量资料。 除了以上几种方法外，也可以借助必要的先进仪器来评价质量指标，获得数量资料，如质构仪、色差仪、电子鼻、电子舌、质谱仪等。 1.2.2数据资料的整理 根据数据资料中观测值的多少确定是否分组。当观测值较少（n≤30）时，不必分组，可直接进行统计分析。当观测值较多（n＞30）时，宜将观测值分成若干组，以便统计分析。将观测值分组后，制成次数分布表，即可了解资料的集中程度和变异情况。不同类型的资料，其整理方法略有不同。 1.连续性变数资料的整理 连续性资料的整理，需要先确定全距、组数、组距、组限以及组中值，然后将全部观测值计数归组。下面以100听罐头的内容物质量资料为例来说明其整理的方法及步骤。 【例1-1】为分析某食品厂的罐头产品质量，随机抽取100听罐头样品，其净重测定结果见表1-1，试整理成次数分布表。 表1-1 100听罐头样品的净重（g） （1）求全距。全距是资料中*大值与*小值之差，又称为极差（range），用R表示，即 R=max（xi）-min（xi） 式中，xi为观测值。 表1-1中，罐头样品*大净重为358.2g，*小净重为331.2g，因此 R=358.2-331.2=27.0g （2）确定组数。组数的多少要根据样本含量及资料的变动范围大小而定，一般以既简化资料又能反映资料的规律性为原则。组数要适当，不宜过多，也不宜过少。若分组过少，不能明显呈现出资料的规律性；但若分组过多，也会影响到资料的统计规律性，甚至会出现锯齿状的次数分布图。一般组数的确定可参考表1-2。 表1-2样本含量与组数 在本例中，n=100，根据表1-2，确定组数为9组。 （3）确定组距。每组*大值与*小值之差称为组距（class interval），记为i。分组时要求各组的组距相等。组距的大小由全距与组数确定，计算公式为 i=全距/组数 本例组距i=27.0/9=3.0。 （4）确定组限及组中值。各组的*大值与*小值称为组限（class limit）。*小值称为下限（lower limit），*大值称为上限（upper limit）。每一组的中点值称为组中值（class value），它是该组的代表值。所以，组中值与组限、组距的关系如下： 组中值=（组下限+组上限）/2=组下限+组距/2=组上限-组距/2 由于相邻两组的组中值间的距离等于组距，因此当**组的组中值确定以后，加上组距就是第二组的组中值，第二组的组中值加上组距就是第三组的组中值，依此类推。 组距确定后，首先要选定**组的组中值。在分组时为了避免**组中观察值过多，一般**组的组中值以接近于或等于资料中的*小值为好。**组组中值确定后，该组组限即可确定，其余各组的组中值和组限也可相继确定。注意，*末一组的上限应大于资料中的*大值。 如例1-1中，*小值为331.2，**组的组中值可取331.0，因组距为3.0，因此**组的下限为 331.0-3.0/2=329.5 **组的上限也就是第二组的下限，应为 329.5+3.0=332.5 第二组的上限也就是第三组的下限，应为 332.5+3.0=335.5 依此类推分组为329.5～332.5，332.5～335.5， 通常将上限略去，如**组记为329.5～，第二组记为332.5～， （5）归组计数，制作次数分布表。将资料中的每一观测值逐一归组，统计每组内所包含的观测值个数，制作次数分布表。一般将正好等于前一组上限和后一组下限的数据归入后一组。 次数分布表不仅便于观察资料的规律性，而且可根据它绘成次数分布图并计算平均数、标准差等统计量。表1-3为100听罐头净重的次数分布表。 表1-3 100听罐头净重的次数分布 从表1-3中可以看出，100听罐头的单听净重多数集中在343.0g左右，约占观测值总个数的1/3，用它来描述罐头单听净重的平均水平，有较强的代表性。每听罐头净重小于332.5g及大于356.5g的为极少数。100听罐头净重分布基本以343.0g为中心，向两边做递减对称分布。 （6）次数分布图。次数分布用图示表示就是次数分布图。次数分布图主要有直方图、折线图两种。次数分布图是以分组组中值为横坐标，次数为纵坐标绘制的。如图1-2和图1-3所示，由次数分布图明显看出100听罐头的净重分布情况以及平均净重量。 图1-2 100听罐头净重次数分布直方图 图1-3 100听罐头净重次数分布折线图 2.间断性变数资料的整理 【例1-2】以50盒鲜枣每盒检出不合格枣数为资料来说明间断性资料的整理分析（表1-4）。 表1-4 50盒鲜枣每盒检出不合格枣数 表1-5 50盒鲜枣不合格枣数次数分布表 有些计数资料，观测值较多，变异范围较大，若以每一观测值为一组，则组数太多，而每组内包含的观测值太少，资料的规律性不明显。对于这样的资料