数学建模与数学实验

第1章 数学建模概论 1 1.1 数学模型和数学建模 1 1.1.1 模型 1 1.1.2 数学模型 1 1.1.3 数学建模 2 1.2 建立数学模型的过程与步骤 2 1.2.1 建立数学模型的过程 2 1.2.2 建立数学模型的一般步骤 5 1.3 建立数学模型的方法简介 6 习题1 10 第2章 初等数学模型 12 2.1 量纲分析法 12 2.1.1 量纲齐次性原则 12 2.1.2 量纲分析的一般方法 12 2.2 比例与函数建模法 17 2.2.1 动物体型问题 17 2.2.2 双层玻璃窗的功效 18 2.2.3 席位分配模型 19 习题2 22 第3章 微分方程与差分方程模型 23 3.1 微分方程理论 23 3.1.1 微分方程基本概念 23 3.1.2 微分方程求解 24 3.2 经济增长模型 26 3.2.1 道格拉斯生产函数 26 3.2.2 资金与劳动力的*佳分配 27 3.2.3 劳动生产率增长的条件 27 3.3 人口模型 29 3.3.1 指数增长模型 30 3.3.2 阻滞增长模型 31 3.3.3 人口模型的参数估计、检验和预报 32 3.3.4 考虑年龄结构和生育模式的人口 模型 34 3.4 军队作战模型 38 3.4.1 军队作战模型介绍 38 3.4.2 军队作战模型求解 40 3.5 差分方程理论 43 3.5.1 差分的概念43 3.5.2 差分方程的概念 43 3.5.3 一阶常系数线性差分方程及其 迭代解法 44 3.5.4 差分方程在经济学中的应用 46 习题3 47 第4章 随机模型 48 4.1 概率论基本知识 48 4.1.1 概率的概念和性质 48 4.1.2 随机变量及其分布 49 4.1.3 随机变量的数学特征 49 4.1.4 常用离散分布 50 4.1.5 常用连续分布 51 4.2 数理统计基本知识 51 4.2.1 三大抽样分布 51 4.2.2 参数估计 52 4.2.3 假设检验 55 4.2.4 方差分析 58 4.2.5 回归分析 60 4.3 随机转移模型 68 4.3.1 随机转移模型介绍 68 4.3.2 随机转移模型求解 72 4.4 随机存储模型 75 4.4.1 离散型存储模型 75 4.4.2 连续型存储模型 76 4.5 蒙特卡罗方法 76 4.5.1 蒙特卡罗方法的来源和思想 76 4.5.2 蒙特卡罗方法的一般步骤 78 4.5.3 随机数的生成 81 习题4 85 第5章 规划模型 87 5.1 线性规划 87 5.1.1 一般线性规划问题的数学模型 87 5.1.2 线性规划问题的基本性质 90 5.1.3 单纯形方法 91 5.1.4 人工变量法 95 5.1.5 对偶理论与灵敏度分析 99 5.2 目标规划 104 5.2.1 目标规划问题的提出 105 5.2.2 目标规划的数学模型 106 5.2.3 目标规划的图解法 107 5.2.4 解目标规划的单纯形法 110 5.2.5 目标规划的灵敏度分析 112 5.3 整数规划 115 5.3.1 整数规划模型及其一般形式 115 5.3.2 割平面法 116 5.3.3 分枝定界法 118 5.3.4 01型整数规划 120 5.3.5 指派问题 121 5.4 动态规划 124 5.4.1 多阶段决策问题 124 5.4.2 动态规划的基本概念及基本定理 125 5.4.3 动态规划模型及求解方法 126 5.4.4 动态规划的应用 131 习题5 135 第6章 图论模型 138 6.1 图的基本概念与定理 138 6.1.1 图的定义、顶点的次数及图的 同构 139 6.1.2 路径与连通 141 6.1.3 有向图的连通性 142 6.1.4 图的矩阵表示 143 6.2 树与生成树 145 6.2.1 树的定义与性质 146 6.2.2 生成树的定义及构造方法 148 6.2.3 *小生成树问题及其算法 149 6.2.4 *小生成树问题的应用及推广 151 6.3 *短路问题 152 6.3.1 *短路问题的基本解法 152 6.3.2 赋权有向图中的*短路 157 6.3.3 *短路问题扩展 158 6.3.4 选址问题及中国邮递员问题 160 6.4 网络*大流、*小流问题 162 6.4.1 基本概念及定理 162 6.4.2 *大流问题的两种解法 164 6.4.3 *小费用流及相关解法 165 习题6 167 第7章 其他模型 171 7.1 模糊数学 171 7.1.1 模糊集 171 7.1.2 模糊聚类分析 174 7.1.3 模糊模型识别 177 7.1.4 模糊综合评判 180 7.1.5 模糊协调决策 182 7.2 灰色系统理论 184 7.2.1 灰色系统基本概念和建模思想 184 7.2.2 灰色系统预测模型 185 7.2.3 灰色系统模型的检验 188 7.2.4 应用举例 189 7.3 层次分析法 193 7.3.1 层次分析法的基本步骤 193 7.3.2 层次分析法的应用 194 7.4 数据拟合与插值 198 7.4.1 数据拟合的*小二乘法 198 7.4.2 多项式插值 205 7.5 变分法 210 7.5.1 变分法简介 210 7.5.2 国民收入的增长 214 7.5.3 产品价格的*佳调整 216 7.6 合作对策和风险决策 218 7.6.1 合作型对策 218 7.6.2 风险决策问题 220 习题7 224 第8章 Mathematica软件简介 226 8.1 Mathematica入门 226 8.1.1 Mathematica界面 226 8.1.2 输入与执行 227 8.1.3 Mathematica的语法要求 227 8.1.4 查询与帮助 227 8.1.5 文件的存取 228 8.1.6 Mathematica的扩展 228 8.1.7 数的表示与计算 228 8.1.8 变量的表示与运算 229 8.1.9 函数的表示与运算 229 8.1.10 表的表示 232 8.2 利用Mathematica绘制图形 232 8.2.1 基本一元函数作图 232 8.2.2 参数方程所确定的函数作图 234 8.2.3 极坐标式函数作图 235 8.2.4 隐函数作图 235 8.2.5 绘制平面散点图 236 8.2.6 平面图形的可选项 237 8.2.7 空间图形的绘制 239 8.3 利用Mathematica解方程 242 8.3.1 n次方程的求解 242 8.3.2 求解方程近似根 243 8.3.3 方程组的求解 244 8.4 利用Mathematica求解微积分 244 8.4.1 求极限 245 8.4.2 求导数和微分 245 8.4.3 求不定积分与定积分 247 8.4.4 求重积分 248 8.4.5 求解微分方程 248 8.4.6 无穷级数的相关运算 249 8.4.7 求函数的极大值与极小值 249 8.4.8 数据拟合 250 8.5 利用Mathematica进行线性代数运算 252 8.5.1 矩阵的输入与输出 252 8.5.2 矩阵的运算 253 8.5.3 求解线性方程组 255 8.5.4 向量组的单位正交化 256 8.6 利用Mathematica进行概率与数理 统计运算 256 8.6.1 常用随机变量分布的计算 256 8.6.2 数据的统计与分析 257 8.6.3 区间估计 258 8.6.4 假设检验 259 第9章 LINDO软件简介 261 9.1 LINDO软件的求解过程 261 9.2 一个简单的LINDO程序 262 9.3 灵敏度分析 265 9.4 整数线性规划的求解 270 9.5 二次规划求解 274 附录278 附录1 部分习题参考答案 278 附录2 标准正态分布表 286 附录3 相关系数临界值表 287 附录4 历年全国大学生数学建模竞赛题目 289 参考文献 293