大学数学基础 2(法文版)

目录
序
前言
Préface et remerciements
Chapitre 1　Dérivation et développements limités　1
1.1　Nombre dérivé en un point　2
1.1.1　Définition　2
1.1.2　Interprétations graphique et cinématique　4
1.1.3　Développement limité d’ordre 　15
1.2　Fonction dérivée　6
1.2.1　Définition　6
1.2.2　Opérations sur les fonctions dérivables　7
1.2.3　Dérivée d’une bijection réciproque　14
1.2.4　Dérivées successives et formule de Leibniz1　5
1.3　étude globale des fonctions dérivables à valeurs réelles　21
1.3.1　Caractérisation des extrema locaux　21
1.3.2　Théorème de Rolle　22
1.3.3　égalité et inégalité des accroissements finis　28
1.3.4　Application aux variations d’une fonction　32
1.3.5　Applications aux suites récurrentes de la forme un+1 = f(un)　35
1.3.6　Théorème de prolongement　36
1.4　Définition et propriétés des développements limités　40
1.5　Opérations sur les développements limités　43
1.5.1　Somme et produit　43
1.5.2　Inverse　44
1.5.3　Intégration et dérivation d’un DL　46
1.6　Formules de Taylor　48
1.6.1　Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange　48
1.6.2　Formule de Taylor-Young　50
1.6.3　Formule (ou égalité) de Taylor-Lagrange　51
1.6.4　Application aux fonctions usuelles　53
1.7　Applications des développements limités　56
1.7.1　étude des limites ou recherche d’équivalent　56
1.7.2　étude de position d’une courbe par rapport à sa tangente　58
1.7.3　Développement asymptotique et étude de position par rapport à une asymptote　58
1.7.4　Recherche d’extremum　59
1.7.5　Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée　60
1.8　Exercices　60
Chapitre 2　Espaces vectoriels de dimension finie　70
2.1　Familles de vecteurs　71
2.1.1　Famille libre　71
2.1.2　Famille génératrice　79
2.1.3　Base d’un espace vectoriel　81
2.1.4　Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base　85
2.2　Dimension d’un espace vectoriel　89
2.2.1　Définition et exemples　89
2.2.2　Théorèmes de la dimension et de la base incomplète　89
2.2.3　Dimension d’un espace vectoriel et caractérisation des bases　94
2.3　Propriétés de la dimension　100
2.3.1　Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe　100
2.3.2　Dimension d’un sous-espace vectoriel　102
2.3.3　Dimension d’une somme de deux espaces　104
2.3.4　Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires par les bases　107
2.3.5　Rang d’une famille de vecteurs　108
2.4　Théorème du rang　110
2.4.1　Définition du rang d’une application linéaire　110
2.4.2　Théorème du rang　112
2.4.3　Caractérisation des isomorphismes et des éléments inversibles de L(E)　115
2.5　Exercices　117
2.6　Annexe　122
2.6.1　Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension　122
Chapitre 3　Matrices　124
3.1　Définition d’une matrice　125
3.2　Opérations sur les matrices　126
3.2.1　Structure d’espace vectoriel　126
3.2.2　Base canonique de Mn;p(K)　127
3.2.3　Produit matriciel　129
3.2.4　Transposition　132
3.3　Matrices carrées　133
3.3.1　Algèbre Mn(K)　133
3.3.2　Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K)　135
3.3.3　Sous-ensembles remarquables de Mn(K)　138
3.4　Matrices et applications linéaires　144
3.4.1　Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases　144
3.4.2　Propriétés élémentaires des matrices d’applications linéaires　148
3.4.3　Isomorphisme canonique de L(Kp;Kn) sur Mn;p(K)　150
3.4.4　Cas des formes linéaires : équations cartésiennes d’un hyperplan　154
3.5　Matrice d’un endomorphisme　155
3.5.1　Définition et isomorphisme de L(E) sur Mn(K)　155
3.5.2　Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base　161
3.5.3　Matrice de passage et changements de bases　162
3.6　Rang d’une matrice et opérations élémentaires　166
3.6.1　Définition du rang d’une matrice et première caractérisation　166
3.6.2　Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes)　169
3.6.3　Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’une matrice (ou l’inverse d’une matrice)　175
3.7　Matrices équivalentes， matrices semblables et trace d’une matrice carrée　184
3.7.1　Matrices équivalentes　184
3.7.2　Matrices semblables　185
3.7.3　Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme　186
3.8　Exercices　189
Chapitre 4　Intégration des fonctions d’une variable réelle　196
4.1　Intégration sur un segment d’une fonction en escalier　197
4.1.1　Fonction en escalier　197
4.1.2　Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier　200
4.1.3　Propriétés de l’intégrale　202
4.2　Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux　204
4.2.1　Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier　204
4.2.2　Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux　207
4.2.3　Extension aux fonctions à valeurs complexes　209
4.2.4