分数阶灰色模型理论及应用/灰色系统丛书

第1章分数阶灰色模型研究进展 灰色系统理论是华中科技大学邓聚龙教授于1982年创立的新兴学科。2019年9月7日，德国总理默克尔女士访问华中科技大学，她在演讲中专门提到中国原创的灰色系统理论，称赞创始人邓聚龙教授和主要传播者刘思峰教授的工作“深刻地影响着世界”。 灰色模型是灰色系统理论的重要组成部分，是灰预测的核心成分。1984年邓教授在他提出的灰色预测思想基础上建立了**个灰色模型：GM（1，1）模型。该模型与一般的常用统计预测模型不一样，常用的统计预测模型，例如经验模型、半参数型号、混合模型，以及*新的机器学习模型，通常需要大量的样本数据来做出可信度较高的预测，但灰色预测模型的思想是建立在小样本、信息不完全的基础上的。它通过对非负原始数据序列进行一次累加生成，使之成为单调增长序列，进而模仿能量积累过程，建立一种具有部分差分、部分微分性质的预测模型。邓教授早期的研究报告显示GM（1，1）模型仅用4个数据便可进行可接受的预测。GM（1，1）模型中**个“1”表示一阶微分方程，第二个“1”表示模型中的仅有一个变量。该模型由于建模过程简单，求解方便，广泛应用于各种应用领域，例如农产品、能源营销、能源经济、环境问题、交通流、山体滑坡等预测。*近的实证研究还表明，灰色预测模型在时间序列预测中表现出来的稳定性与可靠性等性能甚至比机器学习模型更优。 1.1分数阶累加灰色模型研究进展 分数阶灰色模型分为分数阶累加灰色模型和分数阶导数灰色模型。我们先介绍分数阶累加灰色模型的研究进展。 累加运算是灰色模型*重要的运算。*常用的累加称为一阶累加生成算子（Accumulative Generator Operator，AGO）。通过对原始序列进行累加，一阶累加生成序列往往遵循拟指数规律，减少了原始数据的随机性，提高了建模精度。然而，整数阶累加只是分数阶累加生成算子（Fractional Accumulative Generator Operator，FAGO）的一个特例。吴利丰教授指出了这个问题，并在2013年首次将分数阶累加引入到灰色模型，建立分数阶累加灰色模型他通过数学证明和全面的数值研究表明分数阶累加可以非常有效地减少传统灰色模型的误差，并证明分数累加生成算子可以体现新信息优先的特点。 吴利丰教授提出的分数阶累加灰色模型如下：称少）为原始序列的P（0　　其中 在此基础上建立的灰色模型称为分数阶累加灰色模型。 吴利丰教授提出的阻尼（Damping）分数阶累加生成算子如下：称为原始序列的阻尼分数阶累加生成序列 其中。当阻尼累加参数为1时，等效于传统的1-AGO。的计算过程可以转化为矩阵形式：写出矩阵形式为 作者认为C-DAGO是传统1-AGO的优化形式。对于累加的计算过程，对所有可用数据赋予相同的权重是不合理的，因此设置不同的权重来区分旧数据和新数据的影响。基于新信息优先的原则，近期数据比历史数据具有更大的权重。那么，新生成的序列会更符合指数增长的趋势。其累减生成序列可写为 吴利丰教授又提出的分数阶Hausdorff灰色模型如下：称为原始序列的分数阶Hausdorff累加生成序列 其中，在此基础上构建一致分数阶累加生成灰色模型 马新提出的一致分数阶累加生成灰色模型如下：称为原始序列的一致分数阶累加生成序列 分数阶累加灰色模型大多是单变量模型，只能反映序列对时间的响应，没有考虑外部因素的影响。2019年，马新提出了带卷积积分的分数阶累加多变量灰色模型（FGMC）。该模型可以看作是带卷积积分的多变量灰色模型（GMC）的一般形式。具有卷积积分的灰色模型可以直接转换为许多现有的单变量灰色模型，也是一种构建高效灰色模型的新方法。与具有卷积积分的灰色模型共享相似的公式，相应的分数阶灰色模型实际上是一个更通用的模型，它可以通过类似的方式轻松转换为其他现有的分数阶灰色模型。 新信息优先是预测学中的一个重要原则，该原则认为新的信息相对旧的信息对于预测建模具有更高参考价值，然而经典GM（1，1）模型并没有强调新信息优先原则。学者们研究发现，通过对模型累加生成方式做适当改进，可以体现新信息优先，比如刘思峰教授提出的缓冲算子、党耀国教授及其他学者提出的改进缓冲算子，它们的构造形式都直观形象地体现了新信息优先原则，但由于上述缓冲算子设计中的权重选取都具有一定主观性，因此它们的使用都伴有一定局限性。吴利丰教授将GM（1，1）模型中一次累加生成拓展为分数阶累加生成，提出分数阶累加GM（1，1）模型，并认为分数阶累加生成体现新信息优先原M。肖新平教授认为分数阶累加生成矩阵可看作一种特殊缓冲算子，是广义累加生成的一种特例。我们将分数阶累加生成视为一种特殊数据变换，并证明FAGM（1，1）模型能够突破GM（1，1）建模级比界区限制，并提出了分数阶累加灰色模型的优化定阶方法。 上面介绍的灰色模型与分数阶思想的结合只停留在分数阶累加生成上，模型中微分方程仍是一阶微分方程而不是分数阶导数微分方程。在实际背景中，虽然FAGM（1，1）模型相比GM（1，1）模型更具有建模优势，可以体现信息优先原则，而这种结合的不彻底，使得模型的预测效果仍具有一定改善空间。 在此基础上，学者们建立了 （1）单变量分数阶累加灰色模型 （2）多变量分数阶累加灰色模型 （3）分数阶累加Lotka-Volterra模型 我们结合环境库兹涅茨曲线假设和微分信息原理，提出了一种新的分数阶灰色Riccati模型（FGRM（1，1）尸气利用*小二乘参数估计和数学分析方法得到模型参数和离散响应函数，引入并设计了裸骨焰火算法得到*优分数阶。其方程为 曾亮为了反映能耗系统的时滞特性，准确把握能耗系统的发展趋势，在分数阶灰色幕模型的基础上，考虑数据时滞特性，提出了一种新的分数阶累加非线性时滞灰色模型，其表达式为 刘重提出了一种新的带时间幕项的分数阶灰色多项式预测模型FPGM（l，l，ta）。该模型结合时间幂项和分数阶累加对灰色多项式模型进行优化，然后应用量子遗传算法确定模型参数。特别是通过调整系统系数，可以将所提出的模型转换为现有的模型。其模型表达式为 胡云提出了一种考虑时滞效应的分数阶离散灰色天然气消费预测模型，该模型比相似模型具有更一般的形式化、无偏性和更高的灵活性。其方程形式为 马新首先证明了已有的分数阶多元灰色卷积模型是一个有偏模型，然后提出了一种基于离散建模技术的分数阶离散多元灰色模型，通过数学分析和随机检验证明了该模型的无偏性。其方程表达式为 以上模型均为分数阶累加灰色模型，充分考虑了预测模型的新信息优先原则，但是仍然是1阶导数，不能体现系统的记忆特征，不能使模型具有更好的自适应特征，故关于分数阶导数灰色模型的研究取得了一定进展。 1.2分数阶导数灰色模型研究进展 将整数阶导数推广到分数阶导数的思想*早可追溯17世纪莱布尼茨与洛必达的一次通信。自1974年**部关于分数阶微积分（Fractional Calculus）的专著出版以来，分数阶模型得到迅猛发展。分数阶微分方程是分数阶模型的核心，由于它具有良好的自记忆性，目前已被广泛地应用于化学加工系统、硬盘驱动器设计、图像去噪等实际问题中。对于分数阶微分方程的解析求解，虽然目前缺乏合理有效方法。但由于微分方程可以理解为差分方程组的极限形式，分数阶微分方程也如是，将分数阶微分方程转换为差分方程，可求得方程数值解。随着计算机技术的发展，分数阶微分方程的数值解法的提出，学者们在实际问题中使用分数阶模型成为可能。 我们首先建立了单变量分数阶累加与分数阶导数相结合的分数阶导数灰色模型FGM（g，l），其模型形式为 其中a是分数阶累加阶数，q是分数阶导数阶数。我们通过*小二乘法完成方程参数估计，利用有限差分法完成方程求解，基于粒子群算法完成微分方程阶数和累加生成次数优化；结合参数估计矩阵分解，讨论了GM（1，1），FAGM（1，1），FAGM（1，1，D）与FGM（g，1）模型的衍生关系。此类分数阶导数灰色模型没有指明分数阶导数的类型，实际上，分数阶导数有许多不同的定义形式，不同的分数阶导数类型与灰色系统相结合会有不同的时间响应式，对建模效果有较大影响，因此，学者们进一步研究了在某种特定分数阶导数条件下的分数阶灰色模型。 Caputo型分数阶导数在实际问题中有广泛的应用，Caputo型分数阶导数的核函数可以是不同的函数类型。亢玉晓分别选择弱奇异的幂函数核和非奇异指数函数核的Caputo型分数阶导数，建立灰色预测模型CFEGM（q，l）和EFGM（q，l）。 （1）具有弱奇异性的以幂函数为核的Caputo型分数阶导数的定义为 在此基础上建立的分数阶灰色模型记为CFEGM（q，1），其表达式为