随机传染病动力学建模及应用

第1章预备知识 　　本书主要是讨论随机传染病模型的相关性质，由于分析过程所需要的知识已经超出了大学数学的范围，并且后面章节的理论证明中需要随机分析的基础知识，因此，为了使读者更好地理解和阅读方便，尽量把那些在本书中要用到的基础知识在本章列出.因篇幅关系，只列出重要的结论而略去大部分的证明.但尽量注明出处，以便于读者更多的了解和查证.这些知识主要包括:理论概率论的有关概念和结论;随机过程，特别是Brown运动的概念和相关结论;连续时间的Markov链的相关结论;随机积分，主要是It.积分的定义和相关知识;随机微分方程的概念和主要结论;公式;一些要用到的重要不等式;其他的相关基本知识，主要是分数阶微分、积分和模糊随机理论等.一些更专业的知识在以后用到时临时介绍.本章在材料选取时，以“够用、方便”为原则，不追求所引结论的深刻和广泛，更多地考虑简洁、易用的因素，希望能给读者带来方便. 　　1.1基本的概率论知识 　　概率论，通俗地说，就是用数学方法来研究随机事件发生的“机会”或“可能性”大小的学科.但要在数学上对其加以精确的描述，则远非易事.下面由*基本的概念开始. 　　某个随机试验的所有可能的基本结果或基本随机事件所构成的集合记为，称为样本空间.满足下面三个条件的子集族称为样本空间的一个代数: 　　（1） 　　（2） 　　（3） 　　F中的元素称为的可测集或随机事件.若是样本空间的一个子集族，则存在一个的包含的*小的代数，记为.称为由生成的代数.由的所有开集所生成的代数称为Borel代数，记为，其中的元素称为中的Borel集.定义在样本空间上的可测的实值函数称为随机变量.类似地，定义在样本空间上的维可测的向量值函数称为维随机向量，或值随机变量. 　　设X是值随机变量，则由集合族所生成的*小代数，称为X生成的代数，记为. 　　定义在F上的函数称为可测空间上的概率测度，如果 　　它满足: 　　（1） 　　（2） 　　三元组为概率空间.若一个概率空间的F包含Ω的所有P零外测集.也就是说，如果 　　则，此概率空间称为完备的.任何一个概率空间都可以通过把其所有P零外测集加入F中，并重新定义概率测度来完备化.在本书中我们假设所涉及的概率空间为完备的. 　　如果随机变量X关于概率测度P可积，则积分 　　称为随机变量的均值或数学期望，记为.此时，该随机变量称为可积的.对随机变量，如果积分存在，则称之为随机变量的方差，记为或称为随机变量的阶矩.所有阶矩有限的维随机变量所构成的空间记为.如果也是实值随机变量，则积分称为和的协方差，记为. 　　若是值的随机变量，则在Borel可测空间上，按如下方 　　式诱导出一个概率测度: 　　此概率测度称为的分布或概率分布. 　　如果存在定义在上的非负函数，使得对任意的有 　　则称为随机变量X的密度函数（或密度）.一个随机变量未必存在密度函数，但是一定存在分布函数. 　　当n=1时，实值随机变量X的分布函数可以表示为 　　X的均值也可表示为 　　更一般地，若是Borel可测的，则有 　　随机事件族（其中是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标. 　　代数族（是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标;和任意的. 　　定义1.1.1如果随机变量族所生成的代数族是独立的，则称随机变量族是独立的. 　　根据随机变量族独立的定义可得到如下性质: 　　如果随机变量族是独立的且它们的均值都存在，则有 　　若它们的方差都存在，则有 　　若，定义条件概率 　　引理1.1.1（全概率公式） 　　引理1.1.2（Bore-Cantelli引理） 　　也就是说，若 　　则对几乎所有的都存在一个随机整数，使得当时，所有的随机事件Bk都不会发生. 　　设X是一个随机变量且其均值存在，是的一个子代数，一般来说，未必是可测的.由Radon-Nikodym定理，存在唯一的可测的随机变量Y，使得随机变量Y称为在条件G之下X的条件均值（或条件数学期望）. 　　若Z是随机变量且，则通常写成. 　　定义，其中表示随机事件的指标函数.条件均值有如下重要性质: 　　（1） 　　（2） 　　（3） 　　（4） 　　（5） 　　（6） 　　（7） 　　（8） 　　（9） 　　（10） 　　1.2随机过程和Brown运动 　　设是一个概率空间.一个关于递增的代数族称 　　为滤子.也就是说，若，则.在一个完备的概率空间里，若一个滤子Ft满足 　　且F0包含所有的P零集，则此滤子称为满足通常条件.一个值的随机变量族，称为是一个随机过程，称为其参数集或指标集.称为其状态空间.在本书中，总是取为或非负整数族. 　　对每个给定的是一个随机变量，所以随机过程可以看成是一个定义在I上的随机变量值的函数. 　　对每个给定的可以看作是一个定义在I上的确定性R值函数，称该随机过程对应于的样本轨道.随机过程又可以看成是它的所有样本轨道的集合.同时，一个随机过程也可以看成是定义在上的的二元函数. 　　给定n维向量值随机过程，定义在上的概率测度族 　　称为随机过程Xt的有限维分布族（或分布），其中. 　　若两个定义在相同概率空间上的随机过程有相同的有限维分布族，则这两个随机过程就大致相同. 　　若对任意的，随机过程和随机过程有相同的有限维分布族，则随机过程称为严平稳的. 　　若随机过程满足为常值函数，并且协方差只与有关，则称为宽平稳的. 　　如果对几乎所有的，随机过程的样本轨道都是确定性的连续函数，则称是连续的随机过程. 　　如果对所有的是可积的随机变量，则随机过程称为可积的随机过程. 　　如果对所有的是可测的，则随机过程称适应的. 　　如果对所有的，随机过程和随机过程满足，则称为的一个版本或修正. 　　两个随机过程和称为不可区分的，如果 　　一个可能取值为的随机变量称为一个停时，如果对.粗略地说，停时是一个不依赖于将来的随机时间. 　　设和是两个停时，并且满足，定义如下的随机区间: 　　类似地，还可以定义随机区间. 　　下面的定理是重要的，并且在后面的章节中要用到. 　　定理1.2.1 　　定义1.2.1 　　它的实际意义，我们可想象一个赌徒，假设知道他由一开始（0时刻）到现在的有关赌博的所有信息.去预测他在将来某个时刻手里赌资的数学期望.如果赌博是公平的，则这个期望值应该就等于他现在所拥有的赌资.也就是说，赌博每一把都有输赢，若赌博是公平的，则输赢的机会会相抵. 　　定义1.2.2一个随机过程称为是平方可积的，如果对任意的有.如果是一个实值平方可积连续鞅，则存在一个唯一的连续可积适应的增过程，记为，使得是一个在时等于零的连续鞅.过程称为二次变分. 　　定义1.2.3一个右连续的适应过程称为局部鞅，如果存在一个非减的停时序列，满足，使得每一个是鞅（此后，总是使用记号）.