电阻率各向异性介质地球电磁场自适应有限元方法

第1章 电阻率各向异性 　　1.1 微观和宏观电阻率各向异性 　　电阻率各向异性是指介质的电阻率随观测方向的变化而变化，可分为微观各向异性和宏观各向异性。微观各向异性是由岩石组分的固有性质和自身微观结构的不均匀性引起的。岩石内部微观颗粒的排列方式、结构、分选、胶结程度的不同，孔隙的非均匀分布以及矿物晶轴的定向排列等都会导致微观各向异性的产生。如薄层黏土、碳质页岩、板岩、层状砂岩等，其沿层理方向的纵向电阻率一般比垂直于层理方向的横向电阻率要低。造成宏观各向异性的原因有：不同电阻率的薄互层，可以是有限厚度的均匀各向同性薄层组合，如砂泥岩薄互层，也可以是一系列微观各向异性的不同岩层组合，如碳酸盐岩和砂质页岩薄互层等，这些薄互层宏观上表现为电阻率各向异性；定向排列的构造裂隙和岩层宏观结构面（如节理、断层、破碎带、含水层等）的非均匀性。 　　针对微观和宏观各向异性，诸多学者从不同角度进行了分析。如Eisel和Haak（1999）指出物质是由各向异性导电晶体单元组成的。一方面，晶体单元内不同组分的微小颗粒和定向排列的裂缝通常会导致晶体单元表现出微观各向异性；另一方面，各向异性晶体单元的排列组合导致了所谓的宏观各向异性。电导率各向异性本质上是一种尺度效应，即使介质的电导率在微观尺度上是各向同性的，但如果在平均体积中存在优选方向（如层理），则在更大尺度上电导率就会呈现出各向异性。对此，我们以图1.1所示为例加以直观说明（Weidelt，1996）。在两个电导率各向同性薄层内，电场强度矢量E和电流密度矢量J的方向是一致的。在它们的分界面上，电场的切向分量和电流密度的法向分量均连续。然而，当两个具有不同电阻率的相邻薄层受到外加电场的影响时，这两个薄层上的平均电场的方向和平均电流密度的方向不再一致，平均电流密度相对于平均电场向“走向”方向倾斜，即从更大尺度上来看呈现出结构各向异性，又称为宏观各向异性。 　　微观各向异性和宏观各向异性是相对概念，与探测尺度有关。目前，常见的电磁测量方法（如大地电磁测深法、海洋可控源电磁法、航空电磁法、感应测井等）的分辨尺度尚无法解析尺度较小的结构（如薄互层），因而需要用一些综合参数（如宏观电阻率各向异性）来描述不均匀岩石的整体特性。 　　图1.1 宏观电阻率各向异性起因示例[据Weidelt（1999）修改] 　　在两个电阻率各向同性薄层中，电场和电流密度方向一致，但经过空间平均后，它们的方向不再一致，平均电流密度向“优选方向”倾斜。 　　1.2 电导率张量 　　在各向同性介质中，电流密度矢量J与电场强度矢量E的方向保持一致，且两者呈线性关系，即 　　（1.1） 　　式中，比例常数是介质的电导率，它是标量。 　　在笛卡儿直角坐标系（x， y， z）中，z轴正向指向地下，式（1.1）可以写成 　　（1.2） 　　其中Jx、Jy和Jz分别为x、y和z方向的电流密度分量，Ex、Ey和Ez为相应方向的电场分量。 　　在各向异性介质中，电流密度矢量J的方向与电场强度矢量E的方向通常不一致。因此，电流密度矢量J在三个坐标轴上的分量都与电场强度E的三个分量相关。它们间的线性关系可以表示为 　　（1.3） 　　上式可写成矩阵形式 　　或者 　　（1.4） 　　其中，电导率张量 　　是一个二阶张量。它有9个分量，每一个分量都与两个方向相关。例如，σxy表示在x方向上加电场Ey与在x方向上产生的电流密度Jx之间的比例系数；σyz表示在y方向上加电场Ez与在y方向上产生的电流密度Jy之间的比例系数；其他以此类推。 　　如果用综合下标i、j，关系式（1.3）可以表示为 　　（1.5） 　　关系式（1.5）通常去掉求和号并采用如下求和约定：如果在一单项式中有一个字母下标重复出现，则表示此下标遍历所有三个坐标，并对所得的3项求和。因此，上式可表示为 　　（1.6） 　　式中，i为自由下标，j为求和下标。 　　电导率张量是表征岩石各向异性电学性质的一个重要物理参数，不仅可以用来表征地下介质的微观各向异性，也可以表示由两种或两种以上电导率不同的介质在优选方向混合而导致的宏观各向异性。 　　在大地介质中，电导率张量总是对称的，即用它的6个分量(σxx， σxy， σxz， σyy， σyz， σzz)可以完全描述各向异性介质的导电特性。因此，大地介质的电导率张量为二阶对称张量。 　　由于单位体积内时间平均能耗是非负的，这里E*表示电场强度E的复共轭，于是电导率张量是半正定的。在空气中（z0），电导率张量是正定的。 　　任意各向异性介质的电导率张量可以由三个主轴电导率和三个角度完全确定。对于特殊情形的各向异性介质，其电导率张量含有一定的零元素。 　　借助于欧拉坐标旋转，电导率张量可以转换到主轴坐标系（x′，y′，z′）。在主轴坐标系中，电导率张量取如下形式 　　（1.7） 　　式中，σx′、σy′、σz′分别为各向异性主轴方向x′、y′和z′上的电导率。 　　欧拉坐标旋转是通过三次连续的坐标旋转实现的（图1.2）。首先，绕坐标系（x，y，z）的z轴逆时针旋转一个角度αs，得到新坐标系（ξ，η，ζ=z），如图1.2（a）。再将坐标系（ξ，η，ζ）绕ξ轴逆时针旋转一个角度αd，得到新坐标系（ξ′=ξ，η′，ζ′），如图1.2（b）。*后，再将坐标系（ξ′，η′，ζ′）绕ζ′逆时针旋转一个角度αl，形成新坐标系（x′，y′，z′=ζ′），如图1.2（c）（Goldstein，1985）。欧拉角αs， αd， αl和分别称为各向异性方位角（对于二维地电模型，有时称为各向异性走向角），各向异性倾角和各向异性偏角（Pek and Toh，1997；Li，2002）。 　　图1.2 欧拉坐标旋转 　　坐标转换矩阵R可以看作为三个坐标旋转矩阵的积，即 　　（1.8） 　　这里，矩阵Rz(αs)描述**次绕z轴的旋转，Rx(αd)表示从坐标系（ξ，η，ζ）到坐标系（ξ′，η′，ζ′）的坐标转换，Rz(αl)表示*后一次坐标旋转，这些旋转矩阵具体定义如下： 　　借助于旋转矩阵和它的转置，可以求得电导率张量的各元素 　　1.3 电导率张量的几何表示法 　　1.3.1 电导率张量的变换规律 　　假定电流密度矢量J在旧坐标系（x，y，z）中有三个分量Jx、Jy、Jz，在新坐标系（x′，y′，z′）中，电流密度矢量J′的三个分量为Jx′、Jy′、Jz′。是Ji在新坐标轴上的投影之和： 　　（1.9） 　　式中为新旧坐标轴之间夹角的方向余弦。 　　如果用综合下标表示法，式（1.9）可写成为 　　（1.10） 　　类似地，在新坐标系（x′，y′，z′）中，电场强度矢量各分量可写成为 　　（1.11） 　　如果用新坐标系中的电场强度分量表示旧坐标系中的电场分量，则有 　　（1.12） 　　将式（1.6）和式（1.12）代入式（1.10），可得 　　（1.13） 　　在新坐标系（x′，y′，z′）中，欧姆定律表达式为 　　（1.14） 　　比较式（1.13）和式（1.14），可得 　　（1.15） 　　上式称为二阶电导率张量的正变换定律。同样地，可以推导出二阶电导率张量的逆变换定律： 　　（1.16） 　　1.3.2 电导率张量椭球面 　　由前面的讨论可知，用电导率张量可以描述大地介质的电导率各向异性。实际上，也可以用几何图形的形式形象地描绘电导率各向异性。 　　由解析几何学可知，以坐标原点为中心的二次曲面方程的表达式为 　　（1.17） 　　式中，系数Cij（i，j=1， 2， 3）确定二次曲面的大小和形状。 　　用综合下标法，方程（1.17）可简写成为 　　（1.18） 　　上述方程的系数是对称的，即Cij=Cji。 　　如果将方程（1.18）变换到新坐标系（x′，y′，z′）中，则有 　　（1.19） 　　式中 　　（1.20） 　　上式与二阶对称张量的正变换定律完全一致。这意味着，二次曲面的系数具有二阶对称张量的特征。因此，二阶张量在几何上都可以用二次曲面形象地表示出来。 　　二次曲面的一个重要特征是有三个相互垂直的主轴和三个主值。如果将三个主轴选为（x′，y′，z′），则方程（1.17）可简化成为 　　（1.21） 　　如果用主轴电导率张量代替上式中的系数，则有 　　（1.22） 　　上式表明，在主轴坐标系中，电导率张量的几何图形为以坐标原点为中心的椭球面，在x′，y′，z′轴上，半轴长分别为和，如图1.3所示。 　　图1.3 电导率张量椭球面 　　1.3.3 电导率张量的莫尔圆图示 　　莫尔圆（Mohr circle）将大地电磁法阻抗张量及其不变量有机地结合在一起，是研究大地电磁张量性质一种直观、清晰且有效的方法。杨长福等（Yang et al.，2020）提出用莫尔圆表示电导率张量，可以帮助人们直观地理解电导率各向异性。下面，我们介绍电导率张量的莫尔圆表示方法。