包邮数学物理方程现代数值方法

第1章偏微分方程基础知识 1.1基本概念 本章我们简要地给出偏微分方程的相关概念[1-5]、分类和多变元的微积分Gateaux和Frechet导数. .微分方程是由未知函数及其导数经初等函数运算构成的函数方程. .未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程，简称ODE. .未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，简称PDE. .方程中出现的未知函数*高阶导数的阶数称为微分方程的阶数. .如果微分方程关于未知函数及其导数都是一次的，则称该方程为线性的，否则称为非线性的. .对线性方程，如果所有非零项都含有未知函数或其导数，则称该方程为齐次的，否则称为非齐次的. .对非线性方程，若关于*高阶导数是一次的，则称该方程为拟线性的，进一步若其系数仅依赖于自变量，则称为半线性的. .关于未知函数在某个初始时刻的具体条件称为初始条件. .关于未知函数在某个区域边界的具体条件称为边界条件(**类边界条件又称Dirichlet条件:给出未知函数在边界上的数值;第二类边界条件又称Neumann条件:给出未知函数在边界外法线的方向导数;第三类边界条件又称Robin条件:给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合). 关于未知函数的偏微分方程是指如下形式的方程: 这里F是x，u以及u的有限个偏导数的已知函数.如果将u(x)代入方程后，这个方程在Ω上成为恒等式，则称定义于Ω上的函数u=u(x)是方程在Ω上的解. 例1.1二阶线性 一阶拟线性 二阶非线性 1.2偏微分方程的分类 关于偏微分方程的分类[6]，我们主要讨论以下三个二阶偏微分方程: 波动方程 (1-1) 热传导方程 (1-2) 位势方程 (1-3) 这里a2是常数. 在m维空间中，二阶线性方程的一般形式为 (1-4) 这里ai，j，bi，c，f都是x的函数.因此上面提到的这三个方程只是它的特例，自变量t可看作x的任一分量.我们以A表示矩阵. 对于波动方程(双曲方程)，取，则 对于热传导方程(抛物方程)，取，则 对于位势方程(椭圆方程)，取 从矩阵A的特征值的性质来区别方程(1-1)—(1-3):对于波动方程，系数矩阵A除了有一个特征值是正(负)的，其他全是负(正)的，即A是不定的;对于热传导方程，系数矩阵A除了有一个特征值为0，其他全是正(负)的，即A是非负(非正)定的;对于位势方程，系数矩阵A的全部特征值为正(负)的，即A是正定(负定)的. 对一般二阶方程(2.4)，设表示Rm中的一个点，A(x0)表示在x0点的系数矩阵. 偏微分方程分类的定义若A(x0)的m个特征值全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是椭圆型的.若A(x0)的特征值除了有一个为0，其他m.1个全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是抛物型的.若A(x0)的特征值除了有一个为负(或正)，其他m.1个全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是双曲型的. 由上定义可知，方程(1-1)—(1-3)分别为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程. 1.3多变元微积分 本节主要讨论多变元微积分:Gateaux导数和Frechet导数[7-11]. 1.3.1Gateaux导数 考虑更一般的映射(算子) 不强调它的定义域和值域时，把它表示成 设.由于，因此f(x)可以表示成 定义1.1对给定的，若极限 (1-5) 例1.2 例1.3 例1.4 定理1.1映射 (1-6) 证明 例1.5 1.3.2 Frechet导数 定义1.2 (1-7)