薛定宇教授大讲堂(卷Ⅱ):MATLAB微积分运算(第2版)

第 1章微积分问题简介1

1.1微积分学发展简史 1

1.2本书的主要内容 4

第 2章函数与序列 7

2.1函数与映射 8

2.1.1函数的定义与描述 8

2.1.2变量的算术运算8

2.1.3常用超越函数的 MATLAB计算9

2.1.4一般函数的 MATLAB表示 9

2.1.5匿名函数表示 10

2.1.6显函数的图形表示 11

2.2不同函数的 MATLAB表示 13

2.2.1反函数 13

2.2.2复合函数 14

2.2.3分段函数的描述15

2.2.4隐函数 18

2.2.5参数方程 22

2.2.6极坐标函数 25

2.3函数的性质 26

2.3.1奇函数与偶函数26

2.3.2函数的连续性 27

2.3.3函数的单调性 27

2.3.4函数的周期性 28

2.4特殊空间图形与坐标变换 30

2.4.1平面 30

2.4.2直线 32

2.4.3椭球 33

2.4.4圆柱与柱面 34

2.4.5圆锥与双曲面 35

2.4.6曲面的交线 36

2.5复变函数与映射 38

2.5.1复数矩阵及其变换 38

2.5.2复变函数的映射38

2.5.3 Riemann曲面的绘制 40

2.6序列与函数项序列 43本章习题 45

第 3章函数与序列的极限 49

3.1单变量函数的极限 50

3.1.1单变量函数极限的 ε–δ定义 50

3.1.2函数极限的计算机求解 52

3.1.3复合函数的极限54

3.1.4序列的极限 55

3.1.5分段函数的极限56

3.1.6无穷小量与无穷大量 57

3.2单边极限与函数连续性 58

3.2.1左极限与右极限58

3.2.2函数的连续性 60

3.2.3区间极限运算 61

3.2.4函数连续性的应用：方程解的判定 62

3.3复函数的奇点、极点与留数 64

3.3.1奇点与极点的计算 64

3.3.2复变函数的留数65

3.3.3有理复变函数的部分分式展开 67

3.4多元函数的极限 69

3.4.1累极限 69

3.4.2重极限及其计算70

3.4.3重极限的计算技巧 73本章习题 75

第 4章函数的导数与微分 79

4.1函数的导数和高阶导数 80

4.1.1函数的导数与微分 80

4.1.2函数的导数与高阶导数 81 4.1.3数学归纳法与 n阶导数公式证明 84

4.1.4左导数与右导数86

4.1.5复合函数的 1阶导数 87

4.1.6分段函数的导数88

4.1.7矩阵的导数 89

4.2多元函数的偏导数 90

4.2.1偏导数 90

4.2.2偏微分方程的验证 92

4.2.3全微分 93

4.2.4多元复合函数的导数 94

4.2.5特殊分段函数的偏导数 95

4.3参数方程的导数 95

4.4隐函数的偏导数 98

4.4.1单个隐函数的 1阶导数 98

4.4.2隐函数的高阶偏导数 98

4.4.3隐函数方程组的偏导数计算100

4.5场的梯度、散度与旋度 103

4.5.1标量场与向量场103

4.5.2标量场的可视化103

4.5.3梯度、散度与旋度 104

4.5.4方向导数 106

4.5.5向量场的势 108

4.6多元函数的导数矩阵 109

4.6.1 Jacobi矩阵 109

4.6.2 Hesse矩阵 110

4.6.3标量函数的 Laplace算子 110

4.7导数与微分的应用 111

4.7.1极值问题 111

4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 114

4.7.3曲线的切线与法平面 116

4.7.4曲面的切面与法线 117本章习题 119

第 5章函数的积分 123

5.1单变量函数的不定积分 124

5.1.1不定积分的数学定义 124

5.1.2不定积分的计算125

5.1.3有理函数的不定积分 128

5.1.4矩阵的积分 130

5.1.5与积分相关的常用特殊函数130

5.1.6不可积问题 131

5.2定积分与广义积分 132

5.2.1定积分 133

5.2.2对积分限函数求导 136

5.2.3广义积分 136

5.2.4反常积分 137

5.3多重积分问题的 MATLAB求解 140

5.3.1多重不定积分 140

5.3.2待定多项式的构造 141

5.3.3多重定积分 142

5.3.4积分区域的处理与变换 144

5.3.5极坐标变换 147

5.3.6广义重积分 149

5.4定积分的应用 150

5.4.1曲线弧长的计算150

5.4.2旋转体的体积计算 152

5.4.3三维图形围成的体积与质量计算 152

5.4.4概率密度与分布函数 154

5.4.5积分变换入门 155

5.5曲线积分 155

5.5.1**类曲线积分155

5.5.2第二类曲线积分158

5.6曲面积分 160

5.6.1**类曲面积分160

5.6.2第二类曲面积分162本章习题 164

第 6章级数展开与函数逼近 168

6.1级数求和 169

6.1.1数项级数的求和169

6.1.2无穷级数求和计算 172

6.1.3函数项级数的求和 174 6.1.4特殊的无穷项问题 175

6.2无穷级数的收敛性判定 179

6.2.1正项级数的一般描述 179

6.2.2正项级数的收敛性判定 179

6.2.3交替级数的收敛性判定 182

6.2.4函数项级数的收敛区间 183

6.3序列求积问题 184

6.3.1数项序列的乘积184

6.3.2函数项序列的乘积 185

6.3.3正项序列求积的收敛性判定186

6.4 Taylor级数展开187

6.4.1单变量函数的 Taylor级数 187

6.4.2中心点选择 189

6.4.3无穷小量的阶次192

6.4.4多元函数的 Taylor级数展开 193

6.5 Fourier级数展开 195

6.5.1 Fourier级数的数学描述 195

6.5.2 Fourier级数的 MATLAB实现 196

6.6单变量函数的有理函数近似 199

6.6.1函数的连分式近似 199

6.6.2函数的 Padé近似 201

6.6.3函数的特殊多项式逼近 204

6.7 Laurent级数展开 206

6.7.1复变函数的 Laurent级数展开 206

6.7.2有理函数的 Laurent级数 208

6.7.3封闭曲线的积分210本章习题 212

第 7章数值导数与微分217

7.1数值导数算法 218

7.1.1前向差分与后向差分算法 218

7.1.2 o(h2)精度中心差分算法 220

7.1.3 o(h4)精度中心差分算法 222

7.1.4更高精度的中心差分公式 223

7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算 225

7.1.6高精度前向与后向差分算法228

7.2数值导数计算的 MATLAB实现 230

7.2.1 2阶精度算法的实现 230

7.2.2 7点中心算法的实现 232

7.2.3前向差分数值导数算法的实现 234

7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数 235

7.4二元函数的偏导数计算 237

7.4.1梯度计算 237

7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法 239

7.4.3混合偏导数的数值计算 241

7.4.4高阶混合偏导数的数值计算242

7.5样条插值与数值导数计算 243

7.5.1三次样条 244

7.5.2 B样条 247

7.5.3基于样条的数值导数计算 249

7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算 251本章习题 254

第 8章数值积分 256

8.1由给定样本点求数值积分 257

8.1.1定积分的直接计算 257

8.1.2积分函数的重建260

8.1.3等间距样本点的高精度数值积分方法 261

8.2单变量数值积分问题求解 263

8.2.1简单数值积分问题 264

8.2.2数值积分问题的 MATLAB求解265

8.2.3广义积分的数值计算 269

8.2.4含参数函数的数值积分 271

8.2.5积分函数的数值求解 272

8.3双重积分问题的数值解 273

8.3.1双重定积分的计算 274

8.3.2双重积分曲面的计算 275

8.3.3不同积分顺序的双重积分计算方法 276

8.4多重积分数值求解 277

8.4.1三重定积分的数值求解 277

8.4.2含参数函数的三重积分 279

8.4.3基于 NIT的多重积分数值求解 280

8.4.4某些变边界多重积分问题的数值求解方法 281

8.4.5函数边界的多重积分 282

8.5数值积分的其他计算方法 284

8.5.1基于 Monte Carlo方法的数值积分近似 284

8.5.2基于样条插值的数值积分 286

8.5.3多重积分的数值计算 288本章习题 289

第 9章积分变换 292

9.1 Laplace变换及其反变换 293

9.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质 293

9.1.2函数的卷积 294

9.1.3 Laplace变换的计算机求解 295

9.1.4有理函数的 Laplace反变换 298

9.1.5用 Laplace变换求解微分方程 300

9.2 Laplace变换问题的数值求解 302

9.2.1数值 Laplace反变换 302

9.2.2闭环系统响应的思想 303

9.2.3数值 Laplace变换 303

9.2.4无理系统的响应计算 307

9.3 Fourier变换及其反变换307

9.3.1 Fourier变换及反变换定义与性质 308

9.3.2 Fourier变换的计算机求解 308

9.3.3 Fourier正弦、余弦变换 310

9.3.4离散 Fourier正弦、余弦变换 312

9.3.5快速 Fourier变换 313

9.4其他积分变换问题及求解 314

9.4.1 Mellin变换 315

9.4.2 Hankel变换及求解 317

9.5 z变换及其反变换 318

9.5.1 z变换及反变换的定义与性质 318

9.5.2 z变换的计算机求解319

9.5.3双边 z变换 320

9.5.4有理函数 z反变换的数值求解 321本章习题 322

第 10章分数阶微积分 326

10.1分数阶微积分的定义 327

10.1.1为什么要引入分数阶微积分的概念 327

10.1.2分数阶微积分的定义 328

10.1.3不同分数阶微积分定义的关系与性质329

10.2 Grünwald–Letnikov定义的数值实现 331

10.2.1 Grünwald–Letnikov定义 331

10.2.2高精度算法与实现 332

10.2.3不同精度算法的定量比较 337

10.2.4 Riemann–Liouville微积分的解析运算 339

10.3 Caputo微积分定义的数值计算 340

10.3.1 Caputo导数的高精度计算 340

10.3.2 Caputo导数的解析运算 343

10.4 Oustaloup滤波算法及其应用 344

10.4.1 Oustaloup滤波器近似 344

10.4.2 Caputo导数的滤波器近似 346

10.4.3基于 Simulink的 Caputo导数计算 347

10.5更高阶导数与积分的数值计算349

本章习题 351

参考文献 352

MATLAB函数名索引 355

术语索引 360