数理哲学导论

　　《数理哲学导论》：　　数理哲学的大部分都与关系有关，各种不同的关系有各种不同的用途。时常会有一种性质，虽是为所有的关系所具有，却只对于某几种关系是重要的；在这些情形下读者将看不出断定这样一种性质的命题的意义，除非他记住这个命题对于那些种关系是有用的。为了这个缘故，以及这题目本身的兴趣，对于在数学上比较有用的各种关系，*好在我们的心目中有一个大概的-目录。　　在前一章中我们讨论了一类非常重要的关系，就是序列关系。我们用来一起定义序列的三种性质——即非对称性、传递性以及连通性——各有各的重要性，现在我们就从这三种性质的讨论开始。　　非对称性，即，一关系与其逆关系不相容的性质，或者，不可逆的性质，是*有趣的，*重要的。为了引申它的作用，我们先考虑几个不同的例子。丈夫关系是非对称的，妻子关系也是；如a是b的丈夫，b不能也是a的丈夫，在妻子的情况下也一样。但另一方面配偶关系却是对称的：如a是b的配偶，b也是a的配偶。假定我们已有配偶关系，而要定义丈夫关系。因为丈夫即是男性配偶或者一个女性的配偶；所以丈夫关系可由配偶关系引申出来，通过将配偶关系的前域限制于男性，或者将它的后域限制于女性而引申出来。从这个例子我们知道，给定一对称关系，有时不需任何其他关系的帮助，即可将之分为两个非对称的关系。但是这种可能的情形究竟是少有的，例外的，在这种情形下有两个互相排斥的类，或，无共同分子的类，譬如说α和β，使得无论何时在两项之间有一关系时，必定是一项属于α，另一项属于β——例如在配偶的情形中，关系的一项属于男性类，另一项属于女性类，在这种情形下前域限于α的关系是非对称的，同样，前域限于β的关系也是非对称的。但当我们讨论到两项以上的序列时，所发生的情形就不同；因为在一序列中，一切项，除首项和末项外（如果它们存在的话），都是既属于产生这序列的关系的前域，也属于它的后域，所以前域与后域不相交，无共同分子的关系，如丈夫关系，是被排斥在外的。　　有些关系有某种有用的性质，有些关系仅具这性质的雏形，如何对后一关系加以处理以构造前一关系，这问题相当重要。在许多情形下原来给定的关系并不具有传递性和连通性，但是传递性和连通性可以很容易地构造出来：例如，不论R为何种关系，借助广义归纳法从R所导出的祖先关系即是传递的；并且如R是多对一的关系，只要限制于一给定项的后代，这祖先关系即是连通的。但是非对称的性质却很不容易构造。我们已经见到从配偶导出丈夫这样的方法在多数重要的情况下，如大于，先于，在右等情形下，是不适用的，这些关系的前域与后域相交，它们有共同的分子。在所有这些情况下，我们自然能将给定的关系以及其逆关系相加而得到一个对称关系，但是我们不能逆转从这对称关系得到原来非对称的关系，除非另外还借助于某个非对称的关系。以大于关系为例。原来大于或小于亦即不等关系，是对称的，然而在这关系中没有一点东西显示出是两个非对称关系之和。又如就“形状不同”这一关系而论，更非一个非对称关系及其逆关系的和，因为形状不形成一个单独的序列。但如我们不是事先知道大小有大于和小于的关系，我们就会觉得“大小不同”和“形状不同”并无分别。“形状不同”一例说明了关系的非对称性质的基本特点。　　从关系的分类这一观点看，非对称的性质比示异的性质更重要。非对称的关系是示异的，然而相反地，示异的关系不一定非对称。例如“不等”是示异的，却也是对称的。概言之，我们可以这样说：如果我们希望尽可能地去掉关系命题而替之以主谓词式命题，只要我们限制于对称的关系，这一点是可以做到的：传递而非示异的关系可以看作是断定一个共同的谓词，至于传递且示异的关系是断定不相容的谓词。例如就两类之间的相似关系而言，这关系我们曾用来定义数，它是对称的、传递的，但非示异的。下面有一个方法，虽然没有我们曾经采用的方法简单，但是也是可能的：我们可以将一个集合的数目看成是这个集合的谓词，如是则两个相似的类即是有相同的数的谓词者，两个不相似的类即是有不相同的数的谓词者。只要所研究的关系是对称的，这样，以谓词代替关系的方法在形式上是可能的（虽然常常很不方便）；但当关系是非对称时，这个方法从形式上说就不可能，因为无论谓词的同或不同都是对称的。我们可以说非对称的关系是各种关系中关系特征*显著的，并且哲学家们如果想研究关系的逻辑性质的究竟，这种关系对于他们也是*重要的。　　……