代数数论及其通信应用

**部分理论 第1章预备知识(1):交换环 我们假定读者熟悉群论的基本概念和结果(群和子群、陪集分解、正规子群和商群、群的同构和同态、同态基本定理、有限交换群的结构)，本章和第2章复习一下环论和域论的一些基本概念和结果，这些知识对于学习代数数论是至关重要的. 1.1交换环和它的理想 粗糙地说，一个集合叫作环，是指其中有加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些通常的运算规律丨结合律、交换律和分配律：).确切地说，我们有如下的定义. 定义1.1集合R叫作环(ring)，是指其上有两个二元运算+(加法）和 (乘法)，并且满足以下条件： (i)(R，+)是交换群，从而有(唯一）零元素0，使得对每个，0+a(=a+0)=a，而a的负元素表成-a，加法的逆运算即为减法. (ii)(R， )是含1半群，并且1#0，即乘法满足结合律a(bc)=(ab)c，并且有(唯一）么元素1，使得对每个，l.a=a.l=a. (iii)分配律：对于a，6，c∈R，a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca. 注记1.在定义1.1中我们要求加法满足交换律，但是不要求乘法满足交换律.如果乘法也满足交换律，即ab=ba，则称R为交换环.今后若不声明，我们涉及的环R都是交换环. 2.环R对乘法不能为群，这是因为对每个a∈R，0 a=a-0=0.所以0对于乘法不是可逆元素，环R中对乘法可逆的元素a(即存在唯一元素b∈R，使得ab=ba=1)，今后叫作环R中的单位(unit)，而b叫作a的逆元素，表示成.R中全体单位形成一个乘法群，叫作环R的单位群，表示成或者单位群愈大，则环R中做除法乘法的逆运算愈灵活.如果每个非零元素均为单位，便称交换环R为域(field).这时，每个非零元素a都可以除b，得到，也表成. 3.设N是加法(交换）群(R，+)的一个子群，则我们有集合它的元素是R对子群N的一个陪集，这个元素也表示成当且仅当.我们在每个陪集中取出一个元素，它们所成的集合S叫作一个完全代表系，这时集合为，并且所有陪集是集合R的一个分拆，也就是说，不同的陪集彼此不相交，并且所有陪集的并集为环R.在集合中定义加法运算，可以验证这个运算是可以定义的，即和代表元的选取方式无关，由此使成为群，叫作加法群R对于子群N的商群. 能否把环R中的乘法运算也自然地引入到中来呢？即对于和我们能否定义如果只是的一个加法子群，这个运算不总是可以定义的，即当，时，不一定等于.例如，取R为复数域C，N取为实数域R，则R为C的加法子群.在加法商群中，(其中).但是不等于，因为不是实数.为了使环中乘法运算自然地引入到中来，需要子群N具有更强的条件，这就导致环论中一个重要的概念：理想. 定义1.2交换环R中的一个非空子集I叫作环R的一个理想(ideal)，是指它满足以下两个条件： (1) (2) 对每个交换环R，{0}和R均是R的理想，{0}叫作零理想，不为R的理想叫作真理想(proper　ideal). 可以证明：若I为交换环R的一个理想，则加法商群R/I中可以自然地定义乘法互，即这个定义和，中代表元，的选取方式无关，并且R/I对于加法和乘法形成交换环，叫作R对于理想I的商环. 环论的基本任务是研宄环的性质和代数结构，和数学的其他学科一样，我们要在各种环之间的联系当中来把握环的性质和结构，这种联系要与环之间的运算相容.确切地说，我们有以下的定义1.3. 定义1.3设R和S是两个环，映射:叫作由R到S的一个环同态(ringhomomorphism)，是指对任何a，b∈R， (如此可推出.进而若是单射，则小叫作单同态(monomorphism).若是满射，则叫作满同态(epimorphism).如果珍是双射，则多称为环的同构(isomorphism)，表示成，这时，也是环的同构. 在环论中，同构的环看成是同一个(抽象的）环，它们有同样的代数结构.环论的一个重要事情是发现不同环R和S之间的同态，由此来把握环R或S的性质和结构.所以下面的结果是环论的核心. 定理1.1(环的同态定理）设:是交换环的同态，则 (1) (2) (3)可以定义自然映射 并且系是环的同构.特别地， 若：是环的单同态，则R同构于S的子环. 若：是环的满同态，则商环与环S同构. 现在介绍交换环的理想之间可以定义的一些运算.设R为交换环. (I)设A和B是环R的两个理想，不难验证集合 也是环R的理想，称作理想A与B的和.类似可以定义多个理想之和，并且有交换律和结合律：A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C). (II)对于环R的两个理想A和B，不难验证它们的交集也是环B的理想，叫作理想A和B的交. (III)设A和B是环R的理想，集合—般来说不必为环R的理想，因为不一定能表成.但是比它更大的集合. 是环R的理想，叫作理想A和B的积.类似可定义多个理想的乘积，并且满足. 从集合大小的角度来看，零理想和R分别是交换环R的*小和*大理想，而对于R的理想A和我们有. 如果A+B=R，我们称A和S是互素的理想.设R和S是两个环，在集合 当中定义运算 则对于上述运算形成环，零元素和幺元素分别为和.并且S为交换环当且仅当R和S均为交换环.叫作环R和S的直和.类似可定义多个环的直和. 下面的定理1.2是初等数论中关于整数同余性质的中国剩余定理在环论中的推广. 定理1.2(中国剩余定理）设A1， ，An是交换环R的理想，并且当时，和互素，则有环同构 (n个商环的直和)， 其中对于a∈R， 定义1.4交换环R叫作整环(domain)，是指对于a，beR，如果ab=0，则a=0或者6=0.换句话说，对于R中任意两个非零元素a和b，ab也是非零 注记1.对于环R中两个非零元素a和b，如果ab=0，我们称a(和b)为环R中的一个零因子.所以R为整环当且仅当R是没有零因子的交换环.交换环R中的每个单位a∈R*(即乘法可逆元）都不是零因子，因若ab=0，则.对于任意域F，F中非零元素都是乘法可逆的，从而P以及F的每个子环都是整环. 2.在整环R中我们有乘法消去律：若a，b，c∈R，a≠0，如果ab=ac，则b=c. 3.*典型的整环例子是整数环Z以及域F上的多项式环.不是整环的*简单的例子是同余类环，其中，但是. 我们可以把初等数论中的整除概念推广到任意整环中来. 定义1.5设R为整环，a，b∈R并且a≠0.我们称a整除b(或者说b被a整除)，表示成a|6，是指存在c∈R，使得ac=b.如果a不整除b，则表示成a|b.当a|b时，a叫b)的因子，b叫a的倍元.