高等应用数学

第0章 预备知识 1 0.1 集合 1 0.1.1 集合的概念和性质 1 0.1.2 常用的数集 2 0.1.3 集合的表示方法 2 0.1.4 集合间的关系 3 0.1.5 集合的运算 3 习题0.1 4 0.2 初等代数 5 0.2.1 实数的常用运算性质 5 0.2.2 代数式的常用运算公式 5 0.2.3 分式 6 0.2.4 一元n次方程 7 习题0.2 7 0.3 数列 8 0.3.1 数列的概念 8 0.3.2 等差数列 8 0.3.3 等比数列 9 习题0.3 9 本章小结 10 综合习题0 11 拓展阅读 12 第1章 函数、极限与连续 13 1.1 函数 13 1.1.1 函数的概念 13 1.1.2 函数的表示方法 15 1.1.3 函数的性质 16 1.1.4 反函数 18 1.1.5 初等函数 18 习题1.1 26 1.2 极限的概念 27 1.2.1 数列的极限 27 1.2.2 函数的极限 29 习题1.2 32 1.3 极限的运算 33 1.3.1 极限的四则运算法则 33 1.3.2 极限运算举例 33 1.3.3 两个重要的极限 35 习题1.3 37 1.4 无穷小与无穷大 38 1.4.1 无穷小与无穷大 38 1.4.2 无穷小的性质 39 1.4.3 无穷小的比较 39 习题1.4 41 1.5 函数的连续性 42 1.5.1 连续与间断 42 1.5.2 初等函数的连续性 44 1.5.3 闭区间上连续函数的性质 44 习题1.5 45 本章小结 46 综合习题1 49 应用实践项目1 50 拓展阅读 51 第2章 导数与微分 52 2.1 导数的概念 52 2.1.1 导数的定义 52 2.1.2 求导举例 54 2.1.3 导数的几何意义 56 2.1.4 函数可导与连续的关系 57 习题2.1 58 2.2 函数的求导法则 59 2.2.1 函数和、差的求导法则 59 2.2.2 函数乘积的求导法则 59 2.2.3 函数商的求导法则 60 2.2.4 复合函数的求导法则 61 2.2.5 高阶导数 62 习题2.2 63 2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 64 2.3.1 隐函数及其求导法 64 2.3.2 对数求导法 65 2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数 66 习题2.3 67 2.4 函数的微分 67 2.4.1 微分的定义 68 2.4.2 微分的几何意义 69 2.4.3 微分基本公式及微分的运算法则 70 习题2.4 70 本章小结 71 综合习题 2 73 应用实践项目2 75 拓展阅读 75 第3章 微分中值定理与导数的应用 76 3.1 微分中值定理 76 3.1.1 罗尔(Rolle)中值定理 76 3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 77 3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 79 习题3.1 79 3.2 洛必达法则 80 3.2.1 00型和∞∞型未定式 80 3.2.2 其他类型未定式 82 习题3.2 83 3.3 函数的单调性与极值 84 3.3.1 函数单调性的判定法 84 3.3.2 函数的极值及其求法 86 习题3.3 89 3.4 *大值和*小值问题 90 习题3.4 93 3.5 曲线的凹凸性、拐点及函数图像的描绘 94 3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 94 3.5.2 函数图像的描绘 96 习题3.5 99 3.6 曲线的曲率 100 3.6.1 曲率的概念 100 3.6.2 曲率的计算公式 102 3.6.3 曲率圆 103 习题3.6 104 本章小结 104 综合习题3 107 应用实践项目3 110 拓展阅读 111 第4章 不定积分 112 4.1 不定积分的概念 112 4.1.1 原函数 112 4.1.2 不定积分的定义 113 4.1.3 不定积分的几何意义 113 4.1.4 不定积分的性质 114 习题4.1 114 4.2 基本积分公式和运算法则 115 4.2.1 基本积分公式 115 4.2.2 不定积分的运算法则 116 习题4.2 118 4.3 换元积分法 119 4.3.1 **类换元法(凑微分法) 119 4.3.2 第二类换元法 121 习题4.3 123 4.4 分部积分法 125 习题4.4 127 本章小结 128 综合习题4 130 应用实践项目4 132 拓展阅读 132 第5章 定积分及其应用 133 5.1 定积分的概念 133 5.1.1 引例 133 5.1.2 定积分的定义 135 5.1.3 定积分的几何意义 136 5.1.4 定积分的性质 137 习题5.1 139 5.2 微积分基本定理 139 5.2.1 引例 139 5.2.2 变上限的定积分 139 5.2.3 微积分基本定理 141 习题5.2 142 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 142 5.3.1 定积分的换元积分法 142 5.3.2 定积分的分部积分法 144 习题5.3 144 5.4 定积分的应用 145 5.4.1 定积分的微元法 145 5.4.2 平面图形的面积 146 5.4.3 旋转体的体积 148 5.4.4 平行截面面积为已知的立体的体积 149 习题5.4 150 本章小结 151 综合习题5 153 应用实践项目5 156 拓展阅读 156 第6章 微分方程 157 6.1 微分方程的基本概念 157 习题6.1 160 6.2 可分离变量的微分方程 161 习题6.2 163 6.3 一阶线性微分方程 163 习题6.3 166 6.4 二阶常系数线性微分方程 167 6.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程 167 6.4.2* 二阶常系数非齐次线性微分方程 170 习题6.4 172 本章小结 173 综合习题6 175 应用实践项目6 177 拓展阅读 177 第7章 向量代数与空间解析几何 178 7.1 空间直角坐标系与向量 178 7.1.1 空间直角坐标系和向量的概念 178 7.1.2 向量的线性运算 180 7.1.3 向量的坐标 181 7.1.4 向量的模与方向余弦 181 7.1.5 向量的线性运算的坐标表示 183 习题7.1 183 7.2 向量的数量积与向量积 184 7.2.1 向量的数量积 184 7.2.2 向量的向量积 185 习题7.2 186 7.3 平面及其方程 187 7.3.1 平面的点法式方程 187 7.3.2 平面的一般方程 188 7.3.3 两平面的位置关系 189 习题7.3 190 7.4 空间直线及其方程 190 7.4.1 空间直线的对称式方程 190 7.4.2 空间直线的参数方程 191 7.4.3 空间直线的一般方程 192 7.4.4 两直线的夹角 193 7.4.5 直线与平面的夹角 193 习题7.4 194 7.5 曲面与空间曲线 194 7.5.1 曲面及其方程 194 7.5.2 柱面 195 7.5.3 旋转曲面 196 7.5.4 二次曲面 197 7.5.5 空间曲线 199 7.5.6 空间曲线在坐标面上的投影 200 习题7.5 201 本章小结 201 综合习题7 204 应用实践项目7 205 拓展阅读 206 第8章 多元函数微分学及其应用 208 8.1 多元函数 208 8.1.1 多元函数的概念 208 8.1.2 二元函数的极限 210 8.1.3 二元函数的连续性 211 习题8.1 212 8.2 偏导数 213 8.2.1 偏导数的定义及其计算方法 213 8.2.2 高阶偏导数 214 习题8.2 215 8.3 全微分 216 8.3.1 全微分的定义 216 8.3.2 全微分在近似计算中的应用 218 习题8.3 218 8.4 多元复合函数的导数与隐函数的导数 219 8.4.1 多元复合函数的导数 219 8.4.2 隐函数的导数 221 习题8.4 222 8.5 多元函数的极值与*值 222 8.5.1 二元函数的极值 222 8.5.2 二元函数的*值 225 8.5.3 条件极值与拉格朗日乘数法 226 习题8.5 227 本章小结 228 综合习题8 231 应用实践项目8 232 拓展阅读 233 第9章 二重积分及其应用 234 9.1 二重积分的概念与性质 234 9.1.1 引例 234 9.1.2 二重积分的定义 236 9.1.3 二重积分的性质 237 习题9.1 238 9.2 二重积分的计算 239 9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 239 9.2.2 极坐标系下二重积分的计算 243 习题9.2 246 9.3 二重积分的应用 247 9.3.1 二重积分在几何上的应用 247 9.3.2 平面薄片的质量 249 习题9.3 250 本章小结 250 综合习题9 253 应用实践项目9 254 拓展阅读 255 第10章 无穷级数 256 10.1 常数项级数的概念与性质 256 10.1.1 常数项级数的概念 257 10.1.2 收敛级数的性质 260 习题10.1 261 10.2 常数项级数的审敛法 262 10.2.1 正项级数及其审敛法 262 10.2.2 交错级数及其审敛法 266 10.2.3 绝对收敛与条件收敛 266 习题10.2 268 10.3 幂级数 269 10.3.1 函数项级数的概念 269 10.3.2 幂级数及其收敛性 270 10.3.3 幂级数的性质 273 习题10.3 274 10.4* 函数展开成幂级数 275 10.4.1 泰勒级数与麦克劳林级数 275 10.4.2 函数展开成幂级数的方法 276 10.4.3 幂级数的应用 279 习题10.4 279 本章小结 280 综合习题10 283 应用实践项目10 285 拓展阅读 285 第11章 线性代数 287 11.1 行列式的概念 287 11.1.1 二阶行列式 287 11.1.2 三阶行列式 289 11.1.3 n阶行列式 291 习题11.1 293 11.2 行列式的性质与计算 294 11.2.1 行列式的性质 294 11.2.2 行列式的计算 298 习题11.2 301 11.3 线性方程组(m=n)的解法 302 习题11.3 304 11.4 矩阵的概念及运算 305 11.4.1 矩阵的概念 305 11.4.2 特殊矩阵 307 11.4.3 矩阵的运算 307 习题11.4 314 11.5 逆矩阵 315 11.5.1 逆矩阵的概念 315 11.5.2 逆矩阵的求法 316 11.5.3 逆矩阵的性质 318 11.5.4 矩阵方程 318 习题11.5 320 11.6 矩阵的初等变换 320 11.6.1 矩阵的初等变换 321 11.6.2 初等矩阵 322 11.6.3 求逆矩阵的初等变换法 323 11.6.4 用初等变换法求解矩阵方程AX=B 324 习题11.6 325 11.7 矩阵的秩 326 11.7.1 矩阵的秩的概念 326 11.7.2 矩阵的秩的求法 326 习题11.7 329 11.8 线性方程组(m≠n)的解法 329 11.8.1 线性方程组的一般形式 329 11.8.2 高斯消元法 330 11.8.3 线性方程组解的判定 332 习题11.8 338 本章小结 339 综合习题11 341 应用实践项目11 344 拓展阅读 346 第12章 概率论 347 12.1 随机事件 347 12.1.1 随机现象和随机事件 347 12.1.2 事件间的关系及运算 348 习题12.1 350 12.2 随机事件的频率和概率 350 12.2.1 概率的统计定义 351 12.2.2 概率的古典概型 352 12.2.3 概率的加法公式 354 习题12.2 356 12.3 条件概率和事件的独立性 357 12.3.1 条件概率 357 12.3.2 乘法公式 358 12.3.3 全概率公式 359 12.3.4 事件的独立性 360 习题12.3 363 12.4 随机变量及其分布 363 12.4.1 随机变量 363 12.4.2 离散型随机变量及其概率分布 365 12.4.3 连续型随机变量及其概率密度 366 12.4.4 分布函数及其随机变量函数分布 367 12.4.5 几种常用随机变量的分布 369 习题12.4 373 12.5 随机变量的数字特征 374 12.5.1 随机变量的数学期望 374 12.5.2 随机变量的方差 376 12.5.3 常用随机变量分布的数学期望和方差 378 习题12.5 379 本章小结 380 综合习题12 383 应用实践项目12 385 拓展阅读 386 附录 标准正态分布表 388 参考文献 390