大夏书系·小学教师怎么用好数学课程标准

数与代数关联的核心素养 数与代数是小学数学课程的重要学习内容，大约占数学课程内容的60%，主要包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与运算”包括整数、小数、分数的认识及其四则运算。 数是代数的研究对象，数是事物“量”的一种抽象，自然数是自然量的抽象，负数是相反意义的量的抽象，小数和分数是非自然量的抽象。整数、小数和分数都有相应的计数单位，这里体现了数的一致性，自然数的计数单位是“1”，负整数的计数单位是“-1”，分数的计数单位是“几分之一”，一位小数的计数单位是“0.1”，两位小数的计数单位是“0.01”。整数、小数、分数都具有可数性，这又是数的一致性的体现，它们都能用相应的计数单位“数一数”，通过“数数”的方法就可以产生新的数，从而形成相应的数集。因此，在数的认识中，关联的核心素养主要是“数学眼光”，主要表现在数感和符号意识。教师应该引导学生初步体会数是对量的抽象，并用对应的数学符号进行表示，理解数的意义，掌握数的读写法，感悟数的本质的一致性，形成和发展数感和符号意识。 运算是关系的一种抽象，加减法运算的本质是计数单位的累计，乘除法运算的本质是几个几的累计，加法运算是四则运算的重要基础，减法是加法的逆运算，乘法是相同加数和的一种简便运算，除法是乘法的逆运算，加减乘除四种运算构成了四则运算体系。因此，在数的运算中，关联的核心素养主要是“数学思维”，主要表现在运算能力和推理意识。教师应该引导学生经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质的一致性，形成和发展运算能力和推理意识。 数量关系主要是指用数学符号（包括字母）或含有符号的式子表达数量关系或变化规律。数量关系主要蕴含在具体情境或数学问题之中，从这个角度看，数的四则运算本质上是简单数量关系的一种抽象。因此，在数量关系中，关联的核心素养主要是“数学语言”，主要表现在模型意识和应用意识。教师应该让学生经历在具体情境中抽象出数量关系并列式解答的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成模型意识和应用意识。 下面主要介绍数感、符号意识、推理意识及其相关的教学问题。 数感是核心素养“会用数学的眼光观察现实世界”的主要表现之一，《2022年版》指出：“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。”数感是一种直观感悟，是形成抽象能力的经验基础，建立数感有助于理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。数感的形成主要体现在以下几个方面：一是能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；二是能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；三是能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。 符号意识是核心素养“会用数学的眼光观察现实世界”的主要表现之一，《2022年版》指出：“符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。”符号是数学的语言，是数学的工具。数学符号具有抽象性、可操作性、简约性和通用性的特点，它在数学发展中具有不可替代的作用，从本质上说，数学符号是数学抽象的结果。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础，符号意识的形成主要体现在以下几个方面：一是知道符号表达的现实意义；二是能够初步运用符号表示数量、数量关系和一般规律；三是知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；四是初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。 因此，在数的认识教学中，教师应该注意通过培养数感和符号意识，发展学生的数学核心素养，主要包括以下几个方面。 **，让学生在真实情境中理解数的意义。自然数有两种意义：一是表示“基数”，即物体的个数；二是表示“序数”，即事物的顺序。分数通常有三种意义：一是表示“数量”，二是表示部分与整体的“关系”，三是表示一个量与另一个量的“比”。小数是一种十进分数。教学时，教师可以借助真实情境，让学生经历数的抽象过程，感悟数的本质一致性，用数学符号进行表示，理解数的意义，掌握数的读写法，从而培养学生的数感和符号意识，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，形成和发展数学核心素养。 第二，让学生在数形结合中理解数的大小。数是量的一种抽象，量有多有少，数就有大有小，数的大小直接决定了数具有“可比性”。数的大小本质上体现的是一种数量关系，因此，整数、小数和分数具有一致性。教学时，教师可以借助小棒、圆片等直观教具，让学生初步体会数的大小关系。同时，还可以借助“数线”，通过数形结合的方式，让数的大小关系直观体现在“数线”的位置上。引导学生观察“数线”上对应的位置，直观感悟整数、小数和分数之间的大小关系，培养数感，发展数学核心素养。 第三，让学生在“数一数”中体会数系的关系。整数、小数、分数都是离散量的抽象，因此，整数、小数、分数都具有“可数性”。教学时，教师可以借助直观图，引导学生用相应的计数单位数一数，直观感悟小数与整数、分数与整数的关系。比如，用0.1为单位数一数，1个0.1就是0.1，2个0.1就是0.2，……，10个0.1就是1，从而感悟小数计数单位“0.1”与自然数计数单位“1”之间的关系。用为单位数一数，1个就是，2个就是，3个就是，4个就是1，从而感悟分数计数单位“”与自然数计数单位“1”之间的关系。直观感悟计数单位之间的关系，对于培养学生的数感具有重要意义。 推理意识是核心素养“会用数学的思维思考现实世界”的主要表现之一，《2022年版》指出：“推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。”推理是我们日常生活和数学思考的重要方式，推理包括合情推理和演绎推理。合情推理是指从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳或类比推断结果的一种思维方式，包括归纳推理和类比推理。合情推理的结果不一定正确，但是常常会创新。演绎推理是指从已有的事实或命题出发，依据逻辑规则推断结果的一种思维方式，演绎推理的结果一定正确，但是往往不会创新。在数学学习中，二者常常相辅相成，用合情推理探索思路、获得猜想，用演绎推理解决问题、证明结论。 推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。推理意识的形成主要体现在以下几个方面：一是能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；二是知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论；三是通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程；四是对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。上述**方面是合情推理的主要表现，另外三个方面是演绎推理的主要表现。 数的运算关联的核心素养主要是“数学思维”，主要表现在运算能力和推理意识。因此，对于运算的教学，我们不能仅仅停留在理解算理、掌握算法的层面上，而应从推理的高度重新思考运算的教学价值。运算是培养学生推理意识的重要载体，应该引起我们足够的重视。一般地，算法常常蕴含着合情推理，算理常常蕴含着演绎推理。比如，在12×34的整数乘法基础上，要学习1.2×3.4的小数乘法，教师可以引导学生回顾12×34竖式计算的算法，然后启发学生通过类比推理的方式，获得1.2×3.4竖式计算方法的基本猜想，在这个过程中就培养了学生类比推理的意识。引导学生进一步思考——小数乘法竖式计算都是这样吗？再列举两个例子进行验证，引导学生进行观察，通过归纳的方式发现小数乘法竖式计算的一般规律，从而得出小数乘小数的一般算法，这个过程就培养了学生归纳推理的意识。在此基础上，教师可以进一步引导学生思考——为什么可以这样算呢？让学生理解算理，学生说理或合理解释的过程本质上就是演绎推理的过程，这个过程就培养了学生演绎推理的意识。这样，在小数乘法的教学中，我们就让学生经历了算理和算法的探索过程，感悟了整数乘法与小数乘法运算的一致性，培养了运算能力和推理意识，让学生逐步学会用数学的思维思考现实世界，促进学生数学核心素养的形成与发展。