实变函数与泛函分析

目录 前言 第1章 集合论基础 1 1.1 集合及其运算 1 1.1.1 集合的概念 1 1.1.2 集合的表示 2 1.1.3 集合的运算 3 习题 1.1 10 1.2 集合的基数 11 1.2.1 对等性 12 1.2.2 基数的概念 13 1.2.3 基数的比较 13 习题 1.2 15 1.3 可数集合 16 习题 1.3 20 1.4 基数为 c 的集合 20 习题 1.4 25 总练习题 1 26 第2章 Rn中的点集理论 27 2.1 基本概念 27 2.1.1 n维欧氏空间 Rn 27 2.1.2 点列的收敛性 28 2.1.3 点集的几种特殊点 29 2.1.4 基本结论 30 习题 2.1 31 2.2 开集、闭集与完备集 32 2.2.1 开集与闭集 32 2.2.2 Gδ型集、Fδ型集与博雷尔集 34 2.2.3 自密集与完备集 35 习题 2.2 37 2.3 闭集套原理与覆盖定理 38 习题 2.3 40 2.4 开集的构造 40 习题 2.4 42 2.5 点集上的连续函数 42 习题 2.5 46 2.6 点集间的距离 46 习题 2.6 48 总练习题 2 49 第3章 测度理论 50 3.1 外测度的定义与性质 50 3.1.1 外测度的定义 50 3.1.2 外测度的性质 53 习题 3.1 56 3.2 可测集的定义及性质 56 3.2.1 可测集的定义 56 3.2.2 可测集的运算性质 57 习题 3.2 62 3.3 可测集类 63 习题 3.3 67 3.4 可测集的构造 67 习题 3.4 73 总练习题 3 74 第4章 可测函数 76 4.1 可测函数的概念与运算 76 4.1.1 简单函数 76 4.1.2 可测函数的概念与运算性质 78 习题 4.1 79 4.2 可测函数的刻画与性质 80 4.2.1 预备定理 80 4.2.2 非负可测函数的刻画 80 4.2.3 一般可测函数的刻画 83 4.2.4 可测函数的性质 85 习题 4.2 87 4.3 叶果洛夫定理 88 4.3.1 几乎处处的概念 88 4.3.2 叶果洛夫定理 89 习题 4.3 93 4.4 依测度收敛性 93 习题 4.4 98 4.5 鲁金定理 99 习题 4.5 104 总练习题 4 105 第5章 勒贝格积分 106 5.1 非负可测函数的积分 106 5.1.1 定义与例子 106 5.1.2 基本性质 109 习题 5.1 116 5.2 一般可测函数的积分 116 习题 5.2 122 5.3 例子 123 习题 5.3 129 5.4 勒贝格控制收敛定理 130 习题 5.4 136 5.5 R-积分与L-积分的关系 137 习题 5.5 146 5.6 富比尼定理 147 习题 5.6 150 5.7 有界变差函数 151 习题 5.7 156 5.8 绝对连续函数 157 习题 5.8 163 总练习题5 164 第6章 空间理论 166 6.1 距离空间 166 6.1.1 定义与例子 166 6.1.2 完备距离空间 168 6.1.3 开集与闭集 171 6.1.4 可分距离空间 173 6.1.5 连续映射 173 6.1.6 列紧空间 176 6.1.7 压缩映射原理 179 习题 6.1 183 6.2 赋范线性空间 185 6.2.1 定义与例子 185 6.2.2 有限维赋范线性空间 190 习题 6.2 193 6.3 内积空间 196 6.3.1 内积空间的概念与基本性质 196 6.3.2 正交分解 200 6.3.3 正规正交系 202 习题 6.3 208 6.4 拓扑空间简介 209 6.4.1 拓扑空间 209 6.4.2 连续映射与同胚 212 习题 6.4 212 总练习题 6 213 第7章 巴拿赫空间上的有界线性算子理论 216 7.1 有界线性算子 217 7.1.1 定义、例子与基本性质 217 7.1.2 有界线性算子的范数 221 7.1.3 算子空间与巴拿赫代数 225 习题 7.1 228 7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理 230 7.2.1 线性泛函的延拓 230 7.2.2 有界线性泛函的存在性 235 习题 7.2 236 7.3 有界线性泛函的表示 237 7.3.1 n维空间 Kn上的有界线性泛函 237 7.3.2 lp(K)上的有界线性泛函 (1