代数学教程:第一卷:Volume Ⅰ:集合论:Set theory

**部分 朴素集合论
**章 集合及其运算//3
§1 集合的基本概念 //3
1.1 集合及其表示 //3
1.2 集合的相等·子集 //6
1.3 数集 //8§2 集合的运算 //9
2.1 集合的幂集·集合的后续 //9
2.2 集合的并与交 //12
2.3 集合的差 //15
2.4 集合的对称差 //19
2.5 有序对·集合的直乘积 //21
2.6 维恩图·容斥原理与抽屉原理 //27 §3 集合族·集合序列 //31
3.1 集合族 //31
3.2 集合序列的极限 //34 第二章 关系·映射//41
§1 关系的基本概念 //41
1.1 关系及其相关概念 //41
1.2 等价关系 //44
1.3 数学的公理结构·同构 //46 §2 集合的划分 //48
2.1 集合的划分与覆盖 //48
2.2 等价关系与划分的联系 //51
2.3 划分的乘法与加法 //54
§3 映射 //56
3.1 映射的基本概念 //56
3.2 满射·单射·一一映射·映射的复合 //61
3.3 映射的逆 //64
3.4 子集的正象和逆象 //68
3.5 映射的限制与延拓·映射的并与相容性 //73
3.6 映射族·映射族的并//75
3.7 元素族 //79
3.8 集合族的超积·选择公理 //81
§4 集合的特征函数与模糊子集 //83
4.1 集合的特征函数 //83
4.2 模糊子集合//86
§5 有限集合的映射与组合论 //92
5.1 组合论的基本原理 //92
5.2 组合论的基本公式 //94
第三章 基数理论//97
§1 有限集 //97
1.1 历史摘述 //97
1.2 集合的等价·有限集合的基本定理 //98
1.3 有限集合的元素的个数·有限集合的性质 //101
§2 无限集 //103
2.1 无穷集的特征·戴德金意义下的有穷与无穷 //103
2.2 可数集 //105
2.3 可数集的例子 //111
2.4 不可数集合 //114§3 集合的比较 //118
3.1 基数的概念//118
3.2 自然数作为有限集合的基数 //121
3.3 具有连续统基数的集合的例子 //123
3.4基数的比较//127
3.5 大于 的基数·康托定理 //133
3.6 集合论悖论·连续统假设 //136§4 基数的运算 //138
4.1 基数的和与积及其初等性质 //138
4.2基数的幂 //144
4.3 基数运算的进一步性质 //150
4.4 葛尼格定理//154
第四章 序型理论//158
§1 序型的基本概念 //158
1.1 有序集 //158
1.2 有序集的相似 //161
1.3 序型 //163
1.4 稠密的序型与连续的序型·有序集的分割 //165
1.5 有序n元组的推广·任意个集合的直乘积 //168 §2 序型的运算 //171
2.1 序型的和 //171
2.2 序型的积 //174
2.3 势§。与 的型 //179§3 良序集 //182
3.1 良序集 //182
3.2 选择公理与良序定理 //186 3.3 部分序集·佐恩引理 //191
3.4 需用选择公理的数学定理的例子 //194
§4 序数 //197
4.1 序数及其大小 //197
4.2 超限归纳法·超限递归定义 //201
4.3 序数的运算//204
4.4 乘法的推广·康托积 //207
4.5 自然和与自然积 //211
4.6 普遍的积概念 //213§5 可数超限数 //217
5.1 可数超限数 //217
5.2 可数超限数的进一步性质·敛尾性概念 //220§6 阿列夫·数类 //222
6.1 阿列夫 //222
6.2数类及其始数//225
6.3 规则的与不规则的序数·给定序型所敛尾的*小初始数 //232
第二部分 公理集合论
第五章 策梅罗与弗伦克尔的公理系统//239
§1 引论 //239
1.1 集论与数学基础 //239
1.2 逻辑与记号 //241
1.3 抽象公理模式与罗素悖论 //242
1.4 其他悖论 //245§2 一般的展开//249
2.1 序言、公式和定义 //249
2.2 外延性公理和分出公理 //253
2.3 集合的交，并和差 //257
2.4 对偶公理和有序对 //262
2.5 抽象定义 //264
2.6 联集公理和集合的簇 //266 2.7 幂集公理 //272
2.8 集合的卡氏积 //274
2.9 正规性公理 //277
2.10 公理综述 //279
§3 关系和函数 //279
3.1 对二元关系的运算 //279
3.2 次序关系//287
3.3 等价关系和分类 //294
3.4 函数 //298
参考文献