包邮拓扑空间中的反例

**章 拓扑空间引言1.存在某个非离散的拓扑空间，其中每个开集都是闭集，而每个闭集也都是开集2.存在某个集X上的两个拓扑，其并不是X上的拓扑3.存在某个Hausdorff空间中的基本有界集，它不是紧有界的4.存在某个积空间X×y中的不开的子集A，使A[x]={y（x，y）∈A）与A[y]={x（x，y）.∈}分别是y与X的开集5.存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2，使τ1∩τ2，但（X，τ1）中的半开集未必是（X，τ2）中的半开集6.存在某个集X上的两个不同的拓扑τ1与τ2，使A是（X，τ1）中的半开集当且仅当A是（X，τ2）中的半开集7.存在某个S闭空间，它的一个子空间不是S闭的8.存在某个S闭空间的连续像，它不是S闭的9.存在某个集上的一族Urysohn拓扑，其中不存在*弱的拓扑10.存在某个由拓扑空间X到Y上的半同胚映射f,它在X的某个子集A上的限制fA不是A到f（A）上的半同胚映射11.存在某个拓扑空间的紧子集，它不是S紧的12.存在两个正则开集，其并不是正则开集13.存在两个正则闭集，其交不是正则闭集14.存在某个拓扑空间X，其中每个非空子集在X中都是稠密的15.存在某个有限集，其导集非空16.存在某个集的导集，它不是闭集l7.存在某个T1空间中的紧集，它不是闭的18.存在某个拓扑空间，其中每个非空闭集都不是紧的19.存在某个非Hausdorff空间，其中每个紧集都是闭的，而每个闭集也都是紧的20.存在某个紧集，其闭包不是紧集21.存在某个拓扑空间，它的每个紧集都不包含非空开集22.存在某个无限拓扑空间，其中每个子集都是紧的23.存在实数集上的一个Hausdorff拓扑，它的任何有理数子集的导集都是空集24.存在某个无限拓扑空间，其中不含有无限孤立点集25.存在某个非离散的拓扑空间，其中每个紧集都是有限集26.存在集X上两个不可比较的拓扑τ1与τ2，使（X，τ1）与（X，τ2）同胚27.存在两个拓扑空间X与y，使X同胚于y的一个子空间，而y同胚于X的一个子空间，但X与y并不同胚28.存在一维欧氏空间R的两个同胚的子空间A与B，而不存在R到R上的同胚映射f，使f（A）=B29.存在某个非紧的度量空间X，使X上的每个实值连续函数都是一致连续的30.R2中存在不同胚的子集31.存在两个同胚的度量空间X与y，其中X中的有界集都是全有界的，而y中的有界集并不都是全有界的32.存在两个度量空间X与y，使X2与y2等距而X与y并不等距33.存在某个非紧的度量空间，它不能与其真子集等距34.存在某个拓扑空间X，X的点都是函数，其拓扑相当于逐点收敛，而X不是可度量化的空间35.存在某个函数序列{fn}，其图像序列{G（fn）}收敛，但{fn}并不一致收敛 第二章 映射与极限引言1.存在无界的收敛实数网2.存在某个序列的子网，它不是子序列3.存在某个网{xαα∈A}及A的一个无限子集B，使{xββ∈B}不是子网4.存在某个序列闭集，它不是闭集5.存在某个拓扑空间的序列，它收敛于该空间的每一个点6.存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2，凡{xn}依τ1收敛于x必蕴涵{xn}依τ2收敛于x,但τ1并不强于τ27.至多有一个聚点的拓扑空间8.1°子集A以点x为聚点;2°A/{x}中存在序列收敛于x;3°A{x}中存在完全不同的点所成的序列收敛于x.上述三个命题彼此不等价9.存在某个具有聚点的可数集S，而在S中不存在收敛于该聚点的序列10.存在某个非**可数空间，使得每个集的每个聚点必是该集中某个序列的极限11.存在两个拓扑空间，其中每个集的每个聚点必是该集中某个序列的极限，但其积空间却无此性质12.聚点、w聚点与凝聚点这三个概念两两相异13.一个非Hausdorff空间，其中收敛序列的极限都是唯一的14.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的，但既不是开的也不是闭的15.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是开的和闭的，但不是连续的16.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是闭的，但既不是开的也不是连续的17.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的和开的，但不是闭的18.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是开的，但既不是连续的也不是闭的19.存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的和闭的，但不是开的20.存在某个一对一的闭映射，其逆映射不是闭映射21.存在某个拓扑空间X到另一个拓扑空间Y的两个连续而不相等的映射，它们在X的某个稠密子集上取值相同22.存在某个不连续映射，它把紧集映成紧集23.存在两个连续闭映射f与g,使f×g不是闭映射24.存在半连续而不连续的映射25.存在两个半连续映射，它们的和与积并不半连续26.存在某个半连续映射序列的逐点极限，它并不半连续27.弱*连续映射与弱连续映射互不蕴涵28.弱连续映射与序列连续映射互不蕴涵29.序列连续且弱连续而不弱*连续的映射30.序列连续且弱*连续而不弱连续的映射31.弱连续且序列连续而不连续的映射32.存在某个具有强闭图像的弱连续映射，它并不连续33.存在某个具有强闭图像的映射，它并不弱连续34.存在某个具有闭图像的映射，它的图像并不强闭35.存在某个Darboux映射，它不是连续映射36.闭映射、诱导闭映射与伪开映射之间的关系37.存在某个闭包连续映射，它却无处连续38.存在拓扑空间X，Y及映射f:X→Y，使f在某点连续而不闭包连续39.存在某个正则空间X到拓扑空间Y的映射f，使f在某点闭包连续而不连续40.存在弱连续而非θ-s连续的映射第三章 可分性与可数性引言1.存在某个不可分的拓扑空间，它满足可数链条件2.可分性与**可数公理互不蕴涵3.可分空间与紧空间互不蕴涵4.可分空间与Lindelof空间互不蕴涵5.**可数空间与Lindelof空间互不蕴涵6.**可数空间与紧空间互不蕴涵7.**可数空间与Hausdorff空间互不蕴涵8.存在不满足**可数性公理的可数拓扑空间9.存在某个T1空间，其中每个紧子集都是闭的，但它不是Hausdorff空间10.存在满足**可数公理而不满足第二可数公理的拓扑空间11.存在某个满足**可数公理且可分的Lindelof空间，它不满足第二可数公理12.存在不满足第二可数公理的遗传可分空间13.存在某个可分的紧空间，它不是稠密可分的14.存在某个不可分空间，它有可分的Stone-Cech紧化15.存在不可数个可分空间，其积空间并不可分16.存在某个可分空间的闭子空间，它不是可分的17.存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2,τ1n，不存在m点紧化空间26.存在两个Hausdorff空间，它们都有n点紧化空间，而其积空间没有n点紧化空间27.存在某个*强的紧拓扑，它不是Hausdorff拓扑28.存在某个*弱的Hausdorff拓扑，它不是紧拓扑29.存在某个可度量化的局部紧空间，其一点紧化不可度量化30.存在可数亚紧而非亚紧的拓扑空间31.存在亚紧而不仿紧的拓扑空间32.存在一个仿紧空间，它不是紧空间33.存在可数亚紧而不可数仿紧的拓扑空间34.存在可数仿紧而不可数紧的拓扑空间35.存在可数仿紧而不仿紧的拓扑空间36.亚紧空间与可数仿紧空间互不蕴涵37.存在仿紧而不全体正规的拓扑空间38.存在正规而不全体正规的拓扑空间39.存在全体正规而不超全体正规的拓扑空间40.存在正规而不族正规的拓扑空间41.存在族正规而不完全族正规的拓扑空间42.存在σf仿紧而非正规的拓扑空间43.存在某个可数亚紧空间的开连续像，它不是可数亚紧的44.存在两个仿紧空间，其积空间并不仿紧45.存在某个仿紧空间的子空间，它不是仿紧空间46.存在某个完全正规的仿紧空间与某个可分的度量空间，其积空间不是正规空间47.存在某个亚紧的Moore空间，它不是可遮空间48.存在某个可遮的Moore空间，它并不正规49.存在不可度量化的完全正规的仿紧空间50.存在不可度量化的Moore空间51.存在某个仿紧的遗传可分的半度量空间，它不是可展的第七章 线性拓扑空间引言1.线性度量空间中的一个度量有界集，它不有界2.一个非局部凸的线性度量空间，其中度量有界集与有界集是一致的3.存在某个有界集，它的凸包不是有界的4.存在某个相对紧集，它的平衡凸包不是相对紧的5.局部有界而不局部凸的线性拓扑空间6.局部凸而非局部有界的线性拓扑空间7.xn→o并不蕴涵的线性拓扑空间8.存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同约有界集9.存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同的连续线性泛函10.存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同的闭子空间11.有界集必为全有界集的无穷维线性拓扑空间12.存在某个赋范线性空间X的子集B，使B是σ（X，X'）全有界而不范数拓扑全有界13.存在某个无穷维线性拓扑空间，其申的有界闭集都是紧的14.存在某个线性拓扑空间，其申存在紧而不序列紧的子集15.一个线性空间上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下收敛序列是相同的，但紧集并不相同16.Mackey相对紧而非Mackey相对序列紧的子集17.有界而不连续的线性映射18.连续而不强有界的线性映射19.无处连续的自反开映射20.非线性的等距映射21.不存在非零连续线性泛函的线性拓扑空间22.一个非局部凸空间，在它上面存在非零连续线性泛函23.一个线性拓扑空间中的两个闭子空间，其和不闭24.代数相补而不拓扑相补的闭子空间25.一个线性拓扑空间，其中每个有限维子空间都没有相补子空间26.存在某个*强的线性拓扑，它不是局部凸的27.存在两个线性拓扑，其交不是线性拓扑第八章 局部凸空间引言1.一个局部凸的Frechet空间，它不是Banach空间2.不可度量化的完备的局部凸空间3.序列完备而不有界完备的局部凸空间4.有界完备而不完备的局部凸空间5.完备而不Br完备的局部凸空间6.全完备而不超完备的线性拓扑空间7.不可度量化的超完备的局部凸空间8.不完备的G空间9.两个相容的拓扑，其中一个完备而另一个不完备10.存在某个不可分的局部凸空间，它的每个有界子集都是可分的11.存在某个完备空间的稠密的真子空间，它是序列完备的12.一个局部凸空间的对偶空间中的弱*紧集，它并不强*有界13.一个局部凸空间中的凸紧集，它不是其端点集的凸包14.一个局部凸空间中的平衡闭凸集，它没有端点15.具有稠密端点的凸集16.一个线性拓扑空间申的紧凸集，它没有端点17.一个局部凸Hausdorff空间中的两个凸紧集A与B，使ext（A十B）≠ext（A）十ext（B）18.存在某个紧集，其绝对凸闭包不是紧的19.一个对偶空间（X，Y），使X上的一个相容拓扑并不位于σ（X，Y）与m（X，Y）之间20.一个线性空间，在它上面的所有相容局部凸拓扑都是相同的21.一族局部凸空间Xa的归纳极限X，使X的某个有界集不包含于任何一个Xa内22.一个局部凸空间族Xa的归纳极限X，使在某个Xa上由X诱导出来的拓扑不等于Xa的原拓扑23.存在某个局部凸空间中的两个赋范子空间的代数直接和，它不可度量化24.非局部凸的几乎弱*拓扑25.几乎弱*闭而不弱*闭的集合26.存在某个全完备空间到另一个全完备空间上的连续线性映射，它不是开的27.伪完备而不完备的线性拓扑空间28.一个线性拓扑空间上的平移不变的距离，它不能连续扩张成为完备化空间上的距离29.一个局部凸空间的凸紧子集，它关于度量空间有绝对扩张，而关于紧Hausdorff空间没有绝对扩张30.准上半连续而不上半连续的映射31.弱上半连续而不准上半连续的映射32.一个可分的线性拓扑空间，它有不可分的闭线性子空间33.可分而不序列可分的线性拓扑空间34.一个可度量化空间序列的严格归纳极限，它不可度量化35.一个完备的局部凸空间，它的一个商空间并不完备36.存在两个全完备空间，其积并不全完备37.存在一族全完备空间，其直接和并不全完备38.存在一族超完备空间，其直接和并不超完备39.一个全完备空间序列的严格归纳极限，它不是全完备空间40.一个完备局部凸空间族的归纳极限，它并不完备第九章 桶空间、圃空间和Bare空间引言1.存在某个赋范空间，它不是桶空间2.**纲的桶空间3.不可度量化的桶空间4.不可度量化的围空间5.桶空间与圃空间互不蕴涵6.存在某个拟桶空间，它既不是围空间，也不是桶空间7.一个拟M桶空间，它不是拟桶空间8.一个半圃空间，它不是s圃空间9.c序列空间与，圃空间互不蕴涵10.存在某个完备的局部凸空间，它不是拟桶空间11.存在某个特异空间，它不是半自反的12.存在某个局部凸的Frechet空间，它的强对偶既非围空间，也非桶空间13.存在某个特异空间，它的强对偶不可分14.存在某个特异空间，它的强对偶不可度量化15.存在某个特异空间，它不是拟桶空间16.存在某个有界完备的局部凸空间，它不是序列桶空间17.存在某个囿空间，它的强双对偶不是囿空间18.存在某个可数桶空间，它不是桶空间19.存在某个可数拟桶空间（因而是σ拟桶空间），它不是σ桶空间20.存在某个序列桶空间，它不是σ拟桶空间21.存在某个具有性质（c）的局部凸空间，它不是σ桶空间22.存在某个序列桶空间，它没有性质（s）23.存在某个（DF）空间，它不是可数桶空间24.存在某个（DF）空间，它不是拟桶空间25.存在某个K拟桶空间，它不是K桶空间26.存在某个线性空间上两个可以比较而不相等的范数，使强范数是桶空间而弱范数是Banach空间27.一个桶空间的闭子空间，它不是桶空间28.一个囿空间的闭子空间，它不是囿空间29.一个桶空间，它的一个稠密的不可数余维子空间不是桶空间30.一个桶空间，它的一个稠密的不可数维的子空间不是桶空间31.一个Baire-like空间，它不是无序Baire-like空间32.一个赋范桶空间（从而是Baire-like空间），它不是Baire空间33.一个Mackey空间，它不是拟桶空间34.不具有性质（s）的Mackey空间35.一个具有性质（s）的Mackey空间，它不具有性质（c）36.一个半自反的Mackey空间，它不是自反的37.一个Mackey空间，它不是σ拟桶空间38.一个Mackey空间且是σ桶空间，它不是桶空间39.一个σ桶空间，它不是Mackey空间40.存在某个（LF）空间的Mackey对偶，它不是巴完备的41.存在某个半自反空间，它的强对偶不是半自反的42.一个非自反（甚至非半自反）的局部凸空间，它的强对偶是自反的43.存在某个桶空间，它不是Montel空间44.存在某个Frechet空间，它不是Schwartz空间45.存在某个Schwartz空间，它不是Montel空间46.不可分的Montel空间47.自反的非Montel空间48.不完备的Montel空间49.存在某个自反空间的闭子空间，它不是自反的50.存在某个Mackey空间的闭子空间，它不是Mackey空间51.存在某个（DF）空间的闭子空间，它不是（DF）空间52.一个具有性质（c）的Mackey空间，它的一个稠密的有限，空间却不是Mackey空间第十章 线性拓扑空间中的基引言1.没有基的可分Banach空间2.一个有基的Banach空间，其对偶空间没有基3.有基而没有无条件基的Banach空间4.具有唯一无条件基的无穷维Banach空间5.一个Banach空间的无条件基，它不是有界完全的6.一个Banach空间的无条件基，它不是收缩的7.一个Banach空间的无条件基，它不是绝对收敛基8.一个Banach空间的基，它不是正规基9.一个Banach空间的基，它不是单调基10.一个Banach空间的次对称基，它不是对称基11.有基而没有次对称基的Banach空间12.一个赋范线性空间的基，它不是Schauder基13.一个Banach空间，它的对偶空间有弱*基而没有基14.一个Banach空间，它的对偶空间的一个Schauder基不是弱*基15.一个Banach空间，它的对偶空间的一个弱*基不是弱*Schauder基16.一个赋范线性空间中的弱Schauder基，它不是基17.一个稠密子空间的基，它不是整个空间的基18.序列{xn}，它是Banach空间（X，‖·‖X）与（Y，‖·‖Y）的基，但不是（X∩Y，‖·‖=‖·‖X ‖·‖Y）的基19.不具有KMR性质的局部凸空间20.一个Frechet空间，它的一个弱Schauder基不是Schauder基参考文献