自然哲学之数学原理

定义1 物质的量是联合同一物质的密度和体积的度量。 将空气密度提高一倍，容纳的空间扩大一倍，可得到四倍的空气；将容纳的空间扩大两倍，可得六倍的空气。对通过压缩或液化而凝固的雪或粉状物质，以任何方式、任何原因而凝固的物体，也可同理理解。也许存在一种介质，能自由进入物体各部分间的缝隙，而我在这里不考虑这种介质。在本书其余部分，我所说的物体或物质的量就是这个量。所有物体的重量也按同理解释，通过钟摆实验发现，物质的量与它的重量成比例，该实验将在后面介绍。 定义2 运动的量是联合物体的速度和量的度量。 整体的运动是物体各部分运动的总和；因此，当物体的量扩大一倍，速度不变，则运动的量是原来的两倍，如速度加快一倍，则运动的量为原来的四倍。 定义3 物质固有的力(vis insita）是一种抵抗力，能让所有物体尽量保持自身静止或一直向前做匀速运动的状态。 该力一直与物体自身成比例，和物体的惯性一样，差别在于我们对这两个概念的理解。由于物质的惯性，改变物体本身的静止或运动状态存在困难。因此，固有的力也可以改为一个更广为人知的名字：惯性力（vis inertiae）。但是只有外力施加在物体上，想改变它自身的状态时，固有的力才会发挥作用；在不同的观点下，固有的力的使用既是阻力也是推动力；站在物体保持自身状态，抵抗外加的力的角度，它是阻力；站在物体不会轻易屈服于外力，而外力是想改变物体状态的角度，它是推动力。通常阻力归因于静止物体，而推动力归因于运动物体；然而运动和静止，在人们通常的认知中，只是一种相对性的区分；通常人们认为静止之物，其实并非处于静止状态。 定义4 外力作用于一个物体之上，目的在于改变它的静止或一直向前匀速运动的状态。 这个力只存于作用之中，作用结束后并不会保留在物体中。因为物体的新状态只会由惯性力保持。另外，外力有不同的来源，比如击打、挤压和向心力。 定义5 向心力会将物体拖往、推向或以其他任何方式趋向一个作为中心的点。 这一类力中有重力，它使物体趋向地心；有磁力，使铁块受磁石吸引；还有一种力，无论它名称为何，它将行星不断从直线运动上拉回，迫使行星做曲线运动。当石头系在投石器上旋转时，它试图逃离让它旋转的手，石头的运动继续拉伸了投石器，旋转越快，拉伸也越大；当松开投石器时，石头会弹射出去。与石头努力挣脱投石器相反的力，驱使投石器不断把石头拉回手的位置，保持石头在运动轨道上，这个力的方向指向轨道中心位置的手，我称这个力为向心力。对于所有物体，当它们被迫在轨道上运动时，道理是一样的。它们都在努力逃脱轨道的中心，除非有某个与逃脱方向相反的力留住它们，迫使它们在轨道上运动，所以我称这种力有向心作用，否则它们会以匀速运动沿直线离开。一个抛出的物体，如没有重力，不会落回地面，而是会沿直线飞向太空，如果不计空气阻力的话。自身重力将抛出的物体从直线路径拉回，不断向地面偏移，运动的轨迹基本由其重力和速度决定。它的重力越小，或说它的物质的量越小，或者它在抛出时的速度越大，它的运动轨迹就越接近抛物线，它也能飞到更远的地方。假设一个铅球，在山顶由大炮射出，它得到一个给定的速度，运动方向和地平线平行，它会沿着曲线前进两英里，然后落到地面；同理，如果不计空气阻力，铅球得到两倍或十倍速度时，前进的距离也将会是两倍或十倍。只要增加速度，抛出的物体飞行的距离可随意增加，同时它的运动曲线的曲率也会减小，使它以10度，30度或90度的角度落地；甚至能环绕地球，飞入太空，继续运动直至无穷。对于一个抛射体，同理，受到重力影响，可能在轨道上绕着地球飞行，而月球的情况也一样，如果它自身有重力，则受重力影响，或其他的力的影响，驱使它向地球运动，偏离它固有的力作用的抛物线运动，按照它现在的轨道运动；没有这个力，月球也不会在自己的轨道上运动。这个力如果太小，就不足以让月球偏离抛物线运动；如果太大，又会使月球过度偏离轨道，向地球移动。保持力的大小合适是关键，找到一个力让物体以指定的速度在指定的轨道上运行，这是数学家的责任；反之亦然，指定一个力，使物体偏离本身的抛物线运动，以指定的速度在指定的位置，数学家要找到它运动的曲线轨迹。 任何形式的向心力有三种量：绝对量、加速量和使动量。 定义6 向心力的绝对量是同一个力的一种度量，大小与它从中心向周围环形区域传播引发的效力成比例。 根据磁石的尺寸和磁力的强弱，磁力在一块磁石上会较强，而在另一块上会较弱。 定义7 向心力的加速量是同一个力的一种度量，与给定时间内它所得到的速度成比例。 磁石产生的磁力，距离越近则越大，距离越远就越小；或如重力，在山谷中较大，在山顶则较小，当远离地球时（书中以后会提到）就更小；然而当距离相等时，重力在各处都一样，这是因为所有下落物体，无论是重是轻，是大是小，（无论是否计算空气阻力），其加速度是一样的。 定义8 向心力的使动量是同一个力的一种度量，与指定时间内它驱使的运动成比例。 体积较大的物体更重，体积较小的物体更轻；同一物体，接近地表时更重，在空中则更轻。这个量是称为整个物体的向心性，或朝向中心的倾向，而我认为这是它的重量；有一个与它大小相等、方向相反的力能阻止物体下落，而这个量也借由这个力广为人知。 力的这些量，为求简洁，可称为运动力、加速力和绝对力；为便于区分，设定它们分别作用于物体中心，作用于物体各处，作用于力的中心；即运动力作用于物体上，由物体各个部分全力传动，如同整个物体趋向一个中心运动；加速力作用于物体的不同位置，像是某种效力，从中心向周围各处扩散，使那些位置的物质运动；绝对力作用于物体中心，它们的产生自有原因，没有它这些运动力无法在物体各处传播；这些原因可能来自物体本身（如磁力中心的磁石或重力中央的地球），也可能尚未查明。而我在此只能给出这些力的数学概念，不考虑它们的物理原因和情况。 加速力与运动力的关系，如同速度之于运动。因为运动的量来自速度和物质的量的结合；且运动力来自加速力和同一物质的量的结合。由于加速力在物体的每个部分上的作用的总和是整个物体的运动力。在地表附近，重力的加速度或重力的产生力对所有物体都是相同的，重力的运动力或物体的重量等同于物体；如果上升到一个区域，这儿的重力加速度减小，重量也减小，而且总是等于物体质量和重力加速度的结合。那么，设定物体在一个区域的重力加速度减半，质量减半或减少三分之二，则重量减为原来的四分之一或六分之一。 我会把吸引和推动与加速和运动画上等号，吸引、推动或趋向，这类指向中心的词我会不加区别地混用；以数学而非物理来考虑这些词。因此当我碰巧提到中心吸引，或中心引力时，读者请不要认为我用这些词来定义某种运动，或运动的方式、运动的缘由或物理原因，或我将这些力归因于某些真实或物理意义上的中心（它们仅仅有数学意义）。 附注 截止到目前，对于一些比较陌生的词，我已解释它们在之后讨论中该如何去理解。时间、空间、地方（locus）和运动是每个人都熟知的。但务必注意，普通人正是从他们对可感知的物体的关系来领悟这些量，从而产生一定的偏见。为了消除偏见，把这些量区分为绝对和相对的，真实和表面的，数学和普遍的比较恰当。 1.绝对的、真实的和数学的时间，它自身以及它自己的本性与外在物无关，它流逝的节奏不变，由另一个名字定义为持续的（duratio）、相对的、表面的和普遍的时间，它是可感知的和外在的运动持续时长的度量（无论是否精准），常常代替真实时间使用，例如小时、日、月、年。 2. 绝对的空间，它的自我本性与外物无关，保持相似且静止，相对的空间是该绝对空间的度量或移动的尺度（dimensio），在我们的感觉中，它通过自身相对于物体的位置而确定，常常用来代替静止的空间：如地下、空中和太空中的空间，常常以它们相对于地球的位置而定。绝对和相对空间在种类和大小上一致；但在数值上有所差别。例如，当地球运动时，我们空中的空间是相对的，且相对地球保持不变，它有时会成为绝对空间的一部分，空气从中通过；有时会成为绝对空间的另一部分，所以，它会在绝对空间中不停变化。 3. 场所是物体占据的空间的一部分。它既是绝对的，也是相对的，由空间的性质而定。我在这所指的场是空间的一部分，并非指物体在空间的位置，也不是说物体的外表面。这是因为，如果两个固体相等，则占据的空间也相等，但场所的表面却往往因为形状各异而不同。位置不存在量的概念。所以，它们不是场所，它们和场所只是一种从属关系。物体总体的运动等于各部分运动的总和，亦即，物体总体离开场所的位移，相当于其各个部分离开场所的位移之和，同时，物体总体占据的空间等于各部分占据空间的和。从这一点来说，场所是内在性质，位于整体物体之内。 4. 绝对运动和相对运动。物体从一个绝对场所移往另一个绝对场所，称为绝对运动，物体从一个相对场所移往另一个相对场所称为相对运动。一艘正在航行的船，物体的相对场所就是其在船上占据的位置，它正是船舱中堆放物体的那块区域，这块区域和船一起运动。而相对静止是指物体堆放在船或船舱的同一区域。实际上，绝对静止是指物体堆放在静止空间中的相同区域，相对于这个区域，船、船舱和船上所载的货物都在运动中。所以，如果地球真的处于静止状态，相对于船来说，船上的物品是相对静止的，此时，物体会以船行驶的速度，进行真正的、绝对的运动。然而，如果地球此时也在运动，那么物体真正的绝对运动应该如此描述：一部分是地球在静止空间里的真实运动；一部分是船在地球上的相对运动。如果物体在船上也在相对运动，这时物体的绝对运动就成了：一部分是地球在静止空间里的真实运动，一部分是船在地球上的相对运动，和物体在船上的相对运动。而这些相对运动决定了物体在地球上进行的相对运动。比如，船所在的地球这一区域，向东做真实运动，将速度设为10010小节；此时，大风中船在向西航行，速度是10小节；而有一位水手在船上向东走，速度为1小节；这时，水手在静止空间所做的运动是向东运动，速度为10001小节，而相对地球表面而言，水手在向西运动，速度为9小节。 在天文学中，用通俗时间的平均值或纠正值，来区分绝对时间和相对时间。因为，虽然人们认为自然日是相等的，并以此作为衡量时间的一种单位。可事实上，它们是有差异的。天文学家纠正这种差错，目的在于能更准确地测量天体的运动规律。用匀速运动来精确测量时间是个巧妙的办法，但可能无法实现。所有的运动都可以加速或减速，但绝对时间的流逝永远是真实而稳定的，不会因外界变化而有所改变。无论运动快慢，还是已经停止，物体本身能持续存在且保持不变。所以，应该将这一持续性和只能靠感知的时间进行区分。对这一问题，我们可以用天文学中的均值对它进行计算。计算这种均值的必要性，在对现象的时间测量中已经体现了出来，例如，钟摆实验和木星的卫星的日蚀。 如同时间各部分的次序无法改变，空间各部分的秩序也一样。现假设将空间中的一部分移出它们的场所，那么它们也会移出自身。因为时间和空间就是它们自身和其他一切事物的场所。所有的事物在时间里有着先后次序，在空间中排列出位置。它们的本性就是场所，因此认为物体的主要场所能够移动是荒谬的。所以，这些场所是绝对场所，离开这些场所而进行的运动，也是绝对运动。 因为空间的那一部分我们看不见，也无法通过感知来分辨，所以我们用感知的度量来替代。从物体的位置到公认是静止物体的移动距离中，我们可以定义出各种场所。之后，再根据物体在这些场所中的相对位移，便能估算出物体在场所间做的所有运动。因此，我们一般使用相对场所和相对运动，而非绝对场所和绝对运动，这样做并不会让问题变得更难。但是，如果是做哲学研究，我们应该凭借感知对事物进行抽象处理，同时对事物的特性进行思索，从而分析出一些信息，这与单凭感知去衡量事物全然不同。因为牵涉到相对于其他运动物体的场所和运动，所以不存在真正的静止物体。 凭借事物的自身特点、原因和结果，我们可以将一种事物和其他事物的静止和运动，绝对与相对进行区分。静止的属性是，真正静止的物体对于另一个静止的物体来说，它应该也是静止的。实际上，在恒星存在的遥远太空，或更远的地方，很有可能存在一些所谓的绝对静止的物体。但在我们的世界中，我们不可能依靠物体的相对位置，来研究这个世界中的物体是否与那遥远太空中的物体保持着同样的位置。这等于说，在我们的世界里，物体的位置不能确定为绝对的静止。 当物体运动时，其中一部分保持原本在整体中的给定位置，并参与整体中的一系列运动，这是运动的性质。在一个旋转的物体中，它的每一部分都有可能离开旋转轴；向前运动的物体的冲力等于物体所有部分冲力之和。所以，如果周围的物体开始运动，那么，原先在里面那些相对静止的物体，也将和它们一起运动。这表明，那些看上去是静止的物体的位移不能决定物体真实而绝对的运动，这是因为，外围的物体不能只当作形式上的静止物体，它应该是真正静止的状态。同时，所有包括在内的物体，除了从它们邻近的物体处进行位移外，它们也参与到了真正的运动。即使它们没有发生位移，也不会是真正的静止，只是看上去如此。因为，周围的物体与它们所包围的物体的关系，像是一个物体外表部分和内里部分的关系，亦或是果壳和果仁的关系；然而，当果壳运动时，果仁作为整体的一部分，也会随之运动，而果仁在靠近果壳处并没有运动。 与前述内容相关的运动的另一特性是，如果场所移动了，位于该场所的物体也会随之移动；因此，当物体移出所在场所时，物体也参与了所在场所的运动。因此，所有离开场所的运动，都只能是整体运动和绝对运动中的一部分。并且，每个整体运动都是物体和所在场所移出原来位置而作出的运动所组成的，直到*后到了一个不能再移动的场所，比如，我们前面提及的船在海中航行的例子。所以，只有静止场所能决定整体和绝对运动。我在前面将静止场所与绝对运动放在一起，将可移动场所和相对运动连起来也是这个道理。除了那些从无限到无限的事物之外，没有任何场所是完全静止的，而那些做无限运动的事物保持相对的、给定的位置不变，它们一直保持静止不动，从而构成了静止的空间。 真实运动和相对运动之所以不同，是因为力施加在物体上，使物体发生运动。如果没有力施加于物体上，促使其移动，真实的运动既不会产生，也不会改变，但相对运动就是另外一回事了，即使没有力施加在物体上，相对运动也可能产生，也会发生改变。只要对和前一个物体进行比较的其他物体施加某种力，就足以说明这件事。由于其他物体的退让，先前存在于其他物体中相对静止或相对运动的关系也会随之改变。而且，当一种力施加到运动物体上时，真实运动通常肯定会有所变化，而相对运动则不会发生改变。如果用相同的力施加到作比较用的其他物体上，相对位置可能会得以保持，相对运动依托的条件也能保持。所以，当真实运动保持不变时，相对运动可能会有变化，反之，真实运动改变时，相对运动又可能保持不变。从这个角度说，真实运动绝不可能在这种关系中产生。 凭借脱离旋转轴的力，能从成效上区分绝对运动和相对运动。因为，对于纯粹的相对运动，这种力根本不会存在。这种力只存在于真正的绝对运动中，但运动的量决定了这种力的大小。如果我们将一个容器挂在一条长绳上，使其频繁旋转，从而拧紧长绳，然后往容器中注满水，让容器和水都处于静止；这时，突然施加另外一个力，使容器向反方向旋转，这时候长绳会自动松开，而容器的运动会持续一段时间。开始时，水的表面是平静的，因为容器的运动尚未开始，但随着容器不断将运动传播到水，水会开始旋转，水逐渐地脱离中央，沿着容器壁上升，形成一个小漩涡。运动速度越快，水会上升得越高，到*后，它会和容器一起旋转而进入一种相对静止状态。水的升高预示着它有脱离运动轴的趋势，这时，水的真实而绝对的旋转运动与它的相对运动产生矛盾，不过这种趋势可以用来衡量这种矛盾。开始时，容器中的水的相对运动达到峰值时，它没有脱离运动轴的倾向，也没有表现出旋转的趋势，更不会沿容器壁上升，此时水面保持平静，因为水真正的旋转运动还没开始。可是，此后，水的相对运动开始减弱，它沿着容器壁升高，显示出要脱离运动轴的倾向，这种倾向在预告水真正的旋转运动持续加强，直到获得*大的量，水在容器中才会实现相对静止。所以，这种倾向不会由水和它周边物体的移动来决定，同时，这样的移动也无法对真正的旋转运动下定义。任何一个旋转物体都只会在一个真实的旋转运动中存在，它也只和一种力（试图让它脱离运动轴的力）相关，这是一个合适而恰当的结果。然而，同一个物体内的相对运动的数量是不可数的，这一点可以凭借它和外界物体间的多种关系来界定，和其他关系相同，它们绝大多数都没有真实的成效，除非它们可能参与了独一无二的真实运动。对于天体世界，可按照以下方式理解：天空和行星一起，围绕着恒星旋转。天空中的一部分区域是静止的，行星相对于天空也是静止的，可是，它们却是真正地在运动中。因为它们不停变换着彼此的位置（而真正静止的物体不会如此），并且由于行星的场所在天空中，因此它们也参与了天空的运动，成为旋转整体的一部分，而且也有要逃离运动轴的倾向。 因此，相对的量并非那些人们赋予其名字的量本身，而是一种可感知的量（不一定正确），它们常常用来代替*本身的度量。如果这些词的定义来自它们的用途，那么像时间、空间、场所和运动这样的词，它们的度量的解释是正确的。假如度量的量代表自身，那么这种表述就很特别，它代表了纯粹的数学意义。这些词的词意本该言简意赅，而有些人在解读这些词意时，却误解了词意。另有些人混淆了真实的量和与它们相关的可感知的度量，这简直玷污了数学和哲学真理的纯洁性。 要对特定物体的真实运动有真正的认识，并区分这种真实运动和表象上的运动，实非易事。这是因为，对于运动中的静止空间的那部分，单凭人类的感官是感知不到的。然而此事也不是说毫无希望，因为尚有一些论据可以指导我们，部分论据源自表象运动，它们和真实运动不同，另外的一部分来自力，力是真实运动的原因和结果。比如，用一根细绳将两个球相连，然后始终保持它们的距离，使它们围绕着共同的重心旋转，从细绳的张力上，我们得知球在尝试脱离运动轴，从这里我们可以计算出旋转量。如果将一个相同的力施加在球的两侧，以求增大或减少它们的旋转量，再根据细绳张力的加强或减弱，我们就能计算出运动量的增减。而且，我们还能发现力应施加在球的哪一面上才能*大程度地增加球的运动量。即，我们能知道它们的*后面，也就是旋转运动中位置较后的一面，知道了这后面的一面，以及和它对应的一面，便可知道球的运动方向。所以，我们可以知道这种运动的量和方向，即使是在一个巨大的真空体系中，不存在任何外界物体能为我们感知，能与球进行比较，也能办到这一点。然而，如果是在真空中，有一些遥远的物体，它们相互的位置保持不变，和我们这的恒星世界相同，那么，我们就无法对球在那些物体中的相对运动进行判定，该运动是属于球还是属于那些物体。但是，如果我们观察绳子，会发现绳子的张力刚好是球要运动所需的力度。所以我们可得出结论：运动的是球，而物体是静止的；*后，根据球在物体间的运动，我们还能找到它们运动的方向。可是怎样通过原因、成效和表象差异来推断出真正的运动，以及如何进行反向推导，我会在后续篇章中详细解释和说明，同时，这也是我创作本书的目的。