程序员的数学

第 1章 0 的故事——无即是有

本章学习内容　2

小学一年级的回忆　2

10进制计数法　3

什么是10进制计数法　3

分解2503　3

2进制计数法　4

什么是2进制计数法　4

分解1100　5

基数转换　6

计算机中为什么采用2　进制计数法　8

按位计数法　10

什么是按位计数法　10

不使用按位计数法的罗马数字　11

指数法则　12

10的0次方是什么　12

10–1是什么　13

规则的扩展　14

对20进行思考　14

2–1是什么　15

0所起的作用　16

0的作用：占位　16

0的作用：统一标准，简化规则　16

日常生活中的0　17

人类的极限和构造的发现　18

重温历史进程　18

为了超越人类的极限　19

本章小结　20

第　2章 逻辑——真与假的二元世界

本章学习内容　22

为何逻辑如此重要　22

逻辑是消除歧义的工具　22

致对逻辑持否定意见的读者　23

乘车费用问题—兼顾完整性和排他性　23

收费规则　23

命题及其真假　24

有没有“遗漏”　24

有没有“重复”　25

画一根数轴辅助思考　26

注意边界值　27

兼顾完整性和排他性　28

使用if　语句分解问题　28

逻辑的基本是两个分支　29

建立复杂命题　29

逻辑非—不是A　30

逻辑与—A并且B　32

逻辑或—A或者B　34

异或—A或者B（但不都满足）　37

相等—A和B相等　39

蕴涵—若A则B　40

囊括所有了吗　45

德摩根定律　46

德摩根定律是什么　46

对偶性　47

卡诺图　48

二灯游戏　48

首先借助逻辑表达式进行思考　49

学习使用卡诺图　50

三灯游戏　52

包含未定义的逻辑　54

带条件的逻辑与（&&）　55

带条件的逻辑或（||）　57

三值逻辑中的否定（!）　58

三值逻辑的德摩根定律　59

囊括所有了吗　60

本章小结　60

第3章　余数——周期性和分组

本章学习内容　64

星期数的思考题(1)　64

思考题（100　天以后是星期几）　64

思考题答案　65

运用余数思考　65

余数的力量—将较大的数字除一次就能分组　65

星期数的思考题(2)　66

思考题（10100　天以后是星期几）　66

提示：可以直接计算吗　67

思考题答案　67

发现规律　68

直观地把握规律　68

乘方的思考题　70

思考题（1　234 567987 654 321）　70

提示：通过试算找出规律　70

思考题答案　70

回顾：规律和余数的关系　71

通过黑白棋通信　71

思考题　71

提示　73

思考题答案　73

奇偶校验　74

奇偶校验位将数字分为2　个集合　74

寻找恋人的思考题　74

思考题（寻找恋人）　74

提示：先试算较小的数　75

思考题答案　75

回顾　76

铺设草席的思考题　77

思考题（在房间里铺设草席）　77

提示：先计算一下草席数　78

思考题答案　78

回顾　79

一笔画的思考题　79

思考题（哥尼斯堡七桥问题）　79

提示：试算一下　80

提示：考虑简化一下　81

提示：考虑入口和出口　82

思考题答案　82

奇偶校验　85

本章小结　86

第4章　数学归纳法——如何征服无穷数列

本章学习内容　88

高斯求和　88

思考题（存钱罐里的钱）　88

思考一下　89

小高斯的解答　89

讨论一下小高斯的解答　89

归纳　91

数学归纳法—如何征服无穷数列　91

0　以上的整数的断言　92

小高斯的断言　93

什么是数学归纳法　93

试着征服无穷数列　94

用数学归纳法证明小高斯的断言　95

求出奇数的和—数学归纳法实例　96

通过数学归纳法证明　96

通过数学归纳法证明　97

图形化说明　98

黑白棋思考题—错误的数学归纳法　99

思考题（黑白棋子的颜色）　99

提示：不要为图所惑　100

思考题答案　101

编程和数学归纳法　101

通过循环表示数学归纳法　101

循环不变式　104

本章小结　107

第5章　排列组合——解决计数问题的方法

本章学习内容　110

计数—与整数的对应关系　110

何谓计数　110

注意“遗漏”和“重复”　111

植树问题—不要忘记0　111

植树问题思考题　111

加法法则　115

加法法则　115

乘法法则　118

乘法法则　118

置换　121

置换　121

归纳一下　122

思考题（扑克牌的摆法）　123

排列　124

排列　124

归纳一下　126

树形图—能够认清本质吗　128

组合　130

组合　130

归纳一下　131

置换、排列、组合的关系　133

思考题练习　134

重复组合　135

也要善于运用逻辑　137

本章小结　140

第6章　递归——自己定义自己

本章学习内容　144

汉诺塔　144

思考题（汉诺塔）　145

提示：先从小汉诺塔着手　145

思考题答案　148

求出解析式　150

解出汉诺塔的程序　151

找出递归结构　152

再谈阶乘　154

阶乘的递归定义　154

思考题（和的定义）　155

递归和归纳　156

斐波那契数列　156

思考题（不断繁殖的动物）　157

斐波那契数列　159

帕斯卡三角形　162

什么是帕斯卡三角形　162

递归定义组合数　165

组合的数学理论解释　165

递归图形　167

以递归形式画树　167

实际作图　168

谢尔平斯基三角形　170

本章小结　171

第7章　指数爆炸——如何解决复杂问题

本章学习内容　174

什么是指数爆炸　174

思考题（折纸问题）　174

指数爆炸　177

倍数游戏—指数爆炸引发的难题　178

程序的设置选项　178

不能认为是“有限的”就不假思索　180

二分法查找—利用指数爆炸进行查找　180

寻找犯人的思考题　180

提示：先思考人数较少的情况　181

思考题答案　182

找出递归结构以及递推公式　183

二分法查找和指数爆炸　185

对数—掌握指数爆炸的工具　186

什么是对数　187

对数和乘方的关系　187

以2为底的对数　188

以2为底的对数练习　189

对数图表　189

指数法则和对数　191

对数和计算尺　192

密码—利用指数爆炸加密　195

暴力破解法　195

字长和安全性的关系　196

如何处理指数爆炸　197

理解问题空间的大小　197

四种处理方法　198

本章小结　199

第8章　不可解问题——不可解的数、无法编写的程序

本章学习内容　202

反证法　202

什么是反证法　202

质数思考题　204

反证法的注意事项　205

可数　205

什么是可数　205

可数集合的例子　206

有没有不可数的集合　208

对角论证法　209

所有整数数列的集合是不可数的　209

所有实数的集合是不可数的　213

所有函数的集合也是不可数的　214

不可解问题　215

什么是不可解问题　215

存在不可解问题　216

思考题　217

停机问题　218

停机　218

处理程序的程序　219

什么是停机问题　219

停机问题的证明　221

写给尚未理解的读者　224

不可解问题有很多　226

本章小结　226

第9章　什么是程序员的数学——总结篇

本章学习内容　230

何为解决问题　233

认清模式，进行抽象化　233

由不擅长催生出的智慧　233

幻想法则　234

程序员的数学　235

附录　迈向机器学习的第 一步

本附录学习内容　238

什么是机器学习　239

受到广泛关注的机器学习技术　239

机器学习是随着时代发展诞生的技术　239

预测问题和分类问题　240

预测问题　240

分类问题　243

感知器　245

什么是感知器　245

加权求和　247

激活函数　249

感知器小结　250

机器学习是如何“学习”的　250

学习的流程　250

训练数据与测试数据　251

损失函数　252

梯度下降法　254

作为程序员要做些什么　256

神经网络　256

什么是神经网络　256

误差反向传播法　258

深度学习和强化学习　259

人类就这样没用了吗　260

附录小结　261